弧长和扇形面积讲义(学生版)

二、知识点回顾
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新课：
一、导入
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二、知识梳理+经典例题
1.弧长公式
圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是
360
R
2π。

n °的圆心角所对的弧长是180
R
n π 180
R
n π=
∴l
*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

2.扇形面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角
为n °的扇形面积是： R 2
1360R n S 2l =π=扇形
（n 也是1°的倍数，无单位） 3. 圆锥的概念
观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。

其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。

也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。

其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。

另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA 、SA 1、SA 2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。

母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

P 122 4. 圆锥的性质 由图可得
（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧
长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系： 180
n c l
π=
同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是： l l r c 2
1S π==圆侧面
圆锥的全面积为：2r r π+πl
圆柱侧面积：rh 2π。

例题赏析
1.在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半径为___________cm 。

2.若扇形的圆心角为120°，弧长为cm 10π，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。

3.如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。

4.已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm2，则它的半径为____________cm 。

5.两个同心圆被两条半径截得的π=⋂10AB ，
π=⋂6CD ，又AC=12，求阴影部分面积。

6. 例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。

7.已知AB、CD为⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，
⋂
AB的度数与
⋂
CD的度数的和为180°，
那么圆中的阴影部分的总面积为？
8.在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画
⋂
AB，以AB为直径
作半圆，求阴影部分的面积。

9.①、②……
○m是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……
（1）图①中3条弧的弧长的和为_________________
图②中4条弧的弧长的和为_________________
（2）求图
○m中n条弧的弧长的和（用n表示）
10.如图，在Rt △ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C'处，那么AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积为？
11.如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=13cm ，一条直角边AC=5cm ，以直线AC 为轴旋转一周得一个圆锥。

求这个圆锥的表面积。

如果以直线AB 为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？
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三、随堂检测
1. 已知扇形的弧长为6πcm ，圆心角为60°，则扇形的面积为____________
2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a ，则这个弓形的面积是__________。

3. 如图，在平行四边形ABCD 中，34AB =，32AD =，BD ⊥AD ，以BD 为直径的⊙O 交AB 于E ，交CD 于F ，则图中阴影部分的面积为___________。

4. 如图，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN//AB ，且MN 与⊙O 2相切于C 点，
若⊙O 1的半径为2，则O 1B 、⋂
BN 、CN 、⋂C O 1所围成的阴影部分的面积是_____________。

5. 如图，△ABC 为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m ，为了美化环境，计划在住宅区周围5m ，（虚线以，△ABC 之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。

6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的cm 6AB π=⋂，cm 10CD π=⋂，⊙O'与⋂
AB ，⋂CD 都相切，则
图中阴影部分的面积为____________。

7. 如图，OA 是⊙O 的半径，AB 是以OA 为直径的⊙O ’的弦，O ’B 的延长线交⊙O 于点C ，且OA=4，∠OAB=45°，则由⋂
AB ，⋂
AC 和线段BC 所围成的图形面积是______。

8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30cm ，贴纸部分BD 长为20cm ，贴纸部分的面积为（ ）
A.
2cm 3
800
π B.
2cm 3
500
π C. 2cm 800π D. 2cm 500π
9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ）
A. π4
B. π2
C.
π3
4 D. π
10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A.
2
3π
B.
3
4π C. 4 D. 2
32π+
11. （2004·黄冈）如图，要在直径为50cm 的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？
.
12.在相距40km 的两个城镇A 、B 之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km ，圆心恰好位于A 、B 连线的中点处，现要绕过湖泊从A 城到B 城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。

（1）的路线：线段→⋂
→CD AC 线段DB
（2）的路线：线段→⋂
→EF AE 线段FB （其中E 、F 为切点）
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四、归纳总结
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五、课后作业
1.一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。

2.若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。

3.例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。

4.例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。

5.例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。

（1）画出它的展开图；
（2）计算这个展开图的圆心角及面积。

6.例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

7.例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为2
9 ，高为3.5m，
m
外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？
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