最新平面向量复习课教案

平面向量复习课

一．考试要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 二．知识梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)

(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ

设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2

（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=0

3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥

· =0

设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程

（一）基础知识训练

1.下列命题正确的是 （ ）

)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线

2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=AB a ， =FA b ，则=BC （ ）

)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +2

1

3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）

)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ

4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。 （二）．典例分析

例1：（1）设a r 与b r

为非零向量，下列命题：

①若a r 与b r 平行，则a r 与b r

向量的方向相同或相反；

②若,, AB a CD b ==r r a r

与b r 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；

③若a r 与b r 共线，则a b a b +=+r r r r ；④若a r 与b r 反向，则a a b b =-r r

r r

其中正确命题的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（2）下列结论正确的是 （ ）

（A ）a b a b =r r r r g

（B ）a b a b -<-r r r r （C ）若()()0a b c c a b -=r r r r r r

g g （D ）若a r 与b r 都是非零向量，则a b ⊥r r 的充要条件为a b a b +=-r r r r

错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A 或B 或C 。

分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。

第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a r 与b r

共

线）的充要条件中所存在的常数λ可看作为向量b r

作伸缩变换成为另一个向量a r 所作的伸缩量；若a r ，b r 为非零向量，则共线的a r 与b r 满足a r 与b r

同向时

b a a b =r r r r ，a r 与b r 反向时b

a a

b =-r

r r r 。

第（2）小题中，正确答案为（D ）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D 同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。

例2 设a 、b 是两个不共线向量。AB=2a +k b BC=a +b CD=a -2b A 、B 、D 共线则k=_____(k ∈R) 解：BD=BC+CD=a +b +a -2b =2a -b 2a +k b =λ(2a -b )=2λa -λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1

例3 梯形ABCD ，且|AB|=2|DC|,M 、N 分别为DC 、AB 中点。 AB=a AD=b 用a ，b 来标DC 、BC 、MN 。

解：DC= 21AB=21

a

BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a + 21a =b - 2

1

a

MN=DN-DM=21a-b -41a = 4

1

a-b

例4 |a |=10 b =(3,-4)且a ∥b 求a

解：设a =(x,y)则 x 2+y 2=100 （1） 由a ∥b 得 -4x-3y=0 （2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8

∴ a =(6,-8)或(-6,8) 四． 归纳小结

1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形

中发现向量间的关系。

2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意

零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

五．作业：

1、下列命题正确的是（ ）

A ．若0||=，则0=a

B ．若||||=，则b a =或b a -=

C ．若||，则||||=

D ．若=，则=-

2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ，则顶点D 的坐标为（ ）

A ．)2,1(

B ．)2,2(

C ．)1,2(

D ．)2,2(--

3、设)0(||>=m m ，与反向的单位向量是0b ，则用0b 表示为

A ．0b m =

B ．0b m -=

C ．01b m a =

D ．01b m

a -= 4、D 、E 、F 分别为ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的中点，且=，=，下列命题中正确命题的个数是（ ）

①b a AD --=21；②b a BE 21+=；③b a CF 2

1

21+-=；

④=++。

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5、化简：--+=__________。