3刚体的定轴转动
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式中
解得
二．如图，一质量为 的黏土块以水平速度 甩向长为 质量为 的杆的末端，并粘在杆端。求系统获得的角速度。
有人这样解：取黏土块与杆为系统，碰撞中水平方向动量守恒，有 ，解得 ， 。这样解对吗？为什么？
讨论：
上述计算方法是错误的!其根源在于没有认真分析守恒定律成立的条件。
在黏土块甩在杆上瞬时，杆的上端受到一个很大的力，这个力对黏土块与杆组成的系统而言是外力，其水平分量亦不可忽略，故水平方向动量不守恒。但这个力通过转轴，其力矩为零，且系统的重力矩也为零，即系统的合外力矩为零，角动量守恒。
D．切向加速度的大小变化，法向加速度的大小恒定。
答：C
2．两个匀质圆盘A和B的密度分别为 和 ，且 ，但两圆盘质量和厚度相同。如两盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量分别为 和 ，则
A． ；
B． ；
C． ；
D．不能确定。
答：B
(解 即 ， 则 ，又 ， )
3．关于力矩有以下几种说法
(1)力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量；
答：D
5．工程技术上的摩擦离合器是通过摩擦实现传动的装置，其结构如图所示。轴向作用力可以使A、B两个飞轮实现离合。当转动的A轮与B轮接合通过摩擦力矩带动B轮转动时，此刚体系统在两轮接合前后
A．角动量改变，动能亦改变；
B．角动量改变，动能不变；
C．角动量不变，动能改变；
D．角动量不变，动能亦不改变。
答：C
黏土块开始与杆碰撞的瞬时，系统的角动量仅为黏土块对转轴的角动量，其 ， ，
碰撞结束时，系统的角动量为
由碰撞过程中角动量守恒
解得
典型例题
例一如图，质量 、半径 的定滑轮两边挂着质量分别为 和 的滑块，滑块 在倾角 的斜面上滑动，它们之间的摩擦系数为 。设滑轮与转轴间无摩擦，绳与轮间无相对滑动，求滑块的加速度和绳中力的大小。
6．如右图所示，一均匀细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑轴 旋转，初始状态为静止悬挂，现有一个小球从左方水平打击细杆，设小球与轴杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统
A．机械能守恒
B．动量守恒
C．对转轴 的角动量守恒
D．机械能，动量和角动量都不守恒
答：C
第三关
1．一飞轮绕轴作变速转动，飞轮上有两点 和 ，它们到转轴的距离分别为 和 ，则在任意时刻， 和 两点的加速度大小之比 为
基本容
本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律，难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。
一．角量与线量的关系
二．描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系，有关的数学方程完全相同,为便于比较和记忆，列表如下。只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的 、 、 和 、 换成 、 、 和 、 ,就成为刚体定轴转动的公式。
《
第三章刚体的定轴转动
教学要求
一．理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。
二．理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。
三．了解力矩的功和转动动能的概念。
四．了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。
五．理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。
）
4．水平刚性轻杆上对称地串着两个质量均为 的小球，如图所示。现让细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到 时，两球开始向杆的两端滑动，此时便撤去外力，任杆自由转动（不考虑转轴和空气的摩擦），当两球都滑至杆端时，系统的角速度为
A．
B．
C．
D．
答：C
（解：由角动量守恒
5．长为 质量为 的均匀细棒，绕一端点在水平面作匀速率转动，已知棒中心点的线速率为 ，则细棒的转动动能为
有人这样解：放手后杆受重力矩 ，
细杆绕点 的水平轴转动的转动惯量为 ，
由转动定律 ，解得 ；又根据 ， ， 得 。这种解法对吗？为什么？
讨论：
上述计算方法是错误的!其根源在于忽视了转动定律的瞬时性。
刚放手时重力矩 ，角加速度 ，但随着杆的转动，重力矩越来越小，在 处，为 ；角加速度也随之减小，在 处，为 。到竖直位置， ， 。也就是说，在杆转动过程中，角加速度是变量，杆的摆动是变加速运动，不可用匀变速转动的公式 。
B．它的动量不变，对圆心的角动量不断改变；
C．它的动量不断改变，对圆心的角动量不变；
D．它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
答：C
第二关
1．刚体绕定轴作匀变速转动时，刚体上距转轴为 的任一点的
A．切向、法向加速度的大小均随时间变化；
B．切向、法向加速度的大小均保持恒定；
C．切向加速度的大小恒定，法向加速度的大小变化；
D．转速可能变,也可能不变。
答：正确答案是D
5．如图所示，四个质量相同、线度相同而形状不同的均质物体，它们对各自的几何对称轴的转动惯量最大的和最小的是
A．（1）和（2）；
B．（1）和（4）；
C．（2）和（3）；
D．（2）和（4）。
答：B
6．一质点作匀速率圆周运动时
A．它的动量不变，对圆心的角动量也不变；
A． ；
B． ；
C． ；
D． 。
答：D
(解： ， ， )
第四关
1．定轴转动刚体的运动方程是 ， 时刚体上距转轴 的一点的加速度的大小是
A． ；
B． ；
C． ;
D． 。
答：B
（解：
当 ，
）
2．有一半径为 的匀质水平圆转台，绕通过其中心且垂直圆台的轴转动，转动惯量为 ，开始时有一质量为 的人站在转台中心，转台以匀角速度 转动，随后人沿着半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为
A．
B．
C．
D．
答：A
(解 )
4．一质点从静止出发绕半径为 的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为 ，当质点走完一圈回到出发点时，所经历的时间是
A．
B．
C．
D．不能确定
答：B
（解 由 ，式中 ， ， ， ）
5．一人开双臂，手握哑铃，坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的
(2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和为零；
(3)大小相同方向相反两个力对同一轴的力矩之和一定为零；
(4)质量相等，形状和大小不同的刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。
在上述说法中
A．只有(2)是正确的；
B．(1)和(2)是正确的；
C．(3)和(4)是正确的；
D．(1)、(2)和(3)是正确的。
A．转速加大，转动动能不变；
B．角动量和转动动能都不变；
C．转速和角动量都加大；
D．角动量保持不变，转动动能加大。
答：D
(解：开双臂转动惯量为 大于收回双臂转动惯量为 ，收回双臂的过程外力矩 ，角动量守恒， ，因此
；
而
。)
6．两质量为 和 的质点分别沿半径为 和 的同心圆周运动，前者以 的角速度沿顺时针方向，后者以 的角速度沿逆时针方向。以逆时针方向为正向，则该二质点组成的系统的角动量是
B．法向加速度 恒大于零，切向加速度 也恒大于零；
C．对定轴转动刚体而言，刚体上一点的线速度 、切向加速度 、法向加速度 的大小都与该质点距轴的距离 成正比；
D．因 ，所以，上面( C )中关于法向加速度的叙述不正确。
答：C
2．在下列说法中，错误的是：
A．刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同，线速度则不同；
A． ；
B． ；
C． ；
D． 。
答：B
(解：细棒的转动转动惯量为 ，棒中心点的线速率为 ，故 。细棒的转动动能为 。)
6．原来开双臂以 角速度旋转的冰上芭蕾舞演员其转动动能为 ，将手臂收回使转动惯量减少到原来的 ，则其转速和动能分别变为
A． ； ；
B． ； ；
C． ； ；;
D． ；
答：A
（解： 由角动量守恒 ， ； 。）
常量 常量
系统的动量守恒定律系统的角动量守恒定律
若 ,则若 ,则
常量 常量
三．对于质点、刚体组成的系统，动能定理仍然适用，系统的动能包括系统所有质点的平动动能和刚体的转动动能。当系统力只有保守力作功，其外力和非保守力作的总功为零，则整个系统机械能守恒。
问题讨论
一．一长为 、质量为 的匀直细棒一端固定，可在竖直平面转动，最初棒静止在水平位置，问放手后它下摆到竖直位置时的角速度。
此题的解法有多种，我们介绍两种从功和能的角度求解的方法。
解法一：用动能定理
杆摆到任一 角时，其所受的重力矩为
杆从水平位置转到竖直位置时，重力对杆所作的功为
由刚体的动能定理
式中 ，
解得
解法二：用机械能守恒求解
取杆和地球为系统，除重力外无其它力作功，机械能守恒。取竖直位置时杆的质心位置为重力势能零点，有
第五关
1．一轻绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一物体，物体的质量为 ，此时滑轮的角加速度为 ，若将物体卸掉，而用大小等于 、方向向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将
A．变大
B．不变；
C．变小；
D．无法判断。
答：A
(解:挂物体时：
解得
用大小等于 、方向向下的力拉时
因此
）
2．可绕水平轴转动的飞轮，直径为 ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘，在绳的一端加一不变的拉力，如果从静止开始在 钟绳被展开 ，则绳端点的加速度和飞轮的角加速度分别为
解：这是一个质点、刚体组成的系统，需隔离物体，分析各物体所受力(力矩)。
作受力分析图，由牛顿第二定律和转动定律立出动力学
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
解得
例二如图,均匀细杆可绕距其一端 （ 为杆长）的水平轴 在竖直平面转动，杆的质量为 、当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度 ，如杆恰能持续转动而不摆动（不计一切摩擦），则 必须如何取值？杆处于水平位置时角速度角和加速度为多少？
解:由平行轴定理，杆绕水平轴的转动惯量为
杆和地球组成的系统在转动过程中机械能守恒。要使杆恰能持续转动而不摆动，杆转过 时 ，此时杆的势能增加为
动能增加为
由 解得
由 得
杆处于水平位置时势能增加为
动能变化
由 解得
杆处于水平位置时重力矩为
由转动定律
过关测试
第一关
1．选出下述说法中的正确者。
A．公式 中， 是速率。因为 只能取正值，所以 也只能取正值；
B．刚体定轴转动的转动定律为 ，式中 、 、 均为对同一条固定轴而言的，否则该式不成立；
C．刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和；
D．对给定的刚体而言，它的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定的。
答：D
3．细棒可绕光滑轴转动，该轴垂直地通过棒的一个端点，今使棒从水平位置开始下摆，在棒转到竖直位置的过程中，下述说确的是
A． ；
B． ；
C．要由该时刻的角速度决定；
D．要由该时刻的角加速度决定。
答：A
（解： ， ， ， ）
2．下列说法中哪个或哪些是正确的
（1）作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度应越大；
（2）作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大；
（3）作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零；
A．角速度从小到大，角加速度从大到小；
B．角速度从小到大，角加速度从小到大；
C．角速度从大到小，角加速度从小到大；
D．角速度从大到小，角加速度从大到小。
答：正确答案是A
4．几个力同时作用于一个具有固定转轴的刚体上。如果这几个力的矢量和为零，则正确答案是
A．刚体必然不会转动；
B．转速必然不变；
C．转速必然会变；
A． ；
B． ；
C． ；
D． 。
答：A
(解：人和转台组成的系统外力矩 ，角动量守恒。转台的转动惯量为 ，人在台心时人的转动惯量为 ，人在台边时人的转动惯量为 ， ， 。)
3．质量 长 的细棒对通过距一端 、与棒垂直的轴的转动惯量为
A． ；
B． ；
C． ；;
D． 。
（解：棒对通过质心与棒垂直的轴的转动惯量为 ，由平行轴定理
答：B
4．水平刚性轻杆上对称地串着两个质量均为 的小球，如图所示。现让细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到 时，两球开始向杆的两端滑动，此时便撤去外力，任杆自由转动（不考虑转轴和空气的摩擦）。在此过程中球和杆组成的系统
A．动能守恒和动量守恒；
B．动能守恒和角动量守恒；
C．只有动量守恒；
D．只有角动量守恒。
（4）作用在定轴转动刚体上合力矩越大，刚体转动的角加速度越大；
（5）作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角加速度为零。
A．（1）和（2）是正确的；
B．（2）和（3）是正确的；
C．（Leabharlann Baidu）和（4）是正确的；
D．（4）和（5）是正确的。
答：D
3．如下图 、 、 、 是附于刚性轻细杆上的4个质点，质量分别为 ， ， 和 ，系统对 轴的转动惯量为
表3—1
质点的直线运动刚体定轴转动
位置 角位置
位移 角位移
速度 角速度
加速度 角加速度
匀速直线运动 匀角速转动
质量 转动惯量
力 力矩
牛顿第二定律 定轴转动定律
力的功 力矩的功
动能 动能
动能定理 动能定理
冲量 冲量矩
动量 角动量(动量矩)
动量定理 角动量定理
系统的机械能守恒定律系统的机械能守恒定律
若 ,则若 ,则
解得
二．如图，一质量为 的黏土块以水平速度 甩向长为 质量为 的杆的末端，并粘在杆端。求系统获得的角速度。
有人这样解：取黏土块与杆为系统，碰撞中水平方向动量守恒，有 ，解得 ， 。这样解对吗？为什么？
讨论：
上述计算方法是错误的!其根源在于没有认真分析守恒定律成立的条件。
在黏土块甩在杆上瞬时，杆的上端受到一个很大的力，这个力对黏土块与杆组成的系统而言是外力，其水平分量亦不可忽略，故水平方向动量不守恒。但这个力通过转轴，其力矩为零，且系统的重力矩也为零，即系统的合外力矩为零，角动量守恒。
D．切向加速度的大小变化，法向加速度的大小恒定。
答：C
2．两个匀质圆盘A和B的密度分别为 和 ，且 ，但两圆盘质量和厚度相同。如两盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量分别为 和 ，则
A． ；
B． ；
C． ；
D．不能确定。
答：B
(解 即 ， 则 ，又 ， )
3．关于力矩有以下几种说法
(1)力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量；
答：D
5．工程技术上的摩擦离合器是通过摩擦实现传动的装置，其结构如图所示。轴向作用力可以使A、B两个飞轮实现离合。当转动的A轮与B轮接合通过摩擦力矩带动B轮转动时，此刚体系统在两轮接合前后
A．角动量改变，动能亦改变；
B．角动量改变，动能不变；
C．角动量不变，动能改变；
D．角动量不变，动能亦不改变。
答：C
黏土块开始与杆碰撞的瞬时，系统的角动量仅为黏土块对转轴的角动量，其 ， ，
碰撞结束时，系统的角动量为
由碰撞过程中角动量守恒
解得
典型例题
例一如图，质量 、半径 的定滑轮两边挂着质量分别为 和 的滑块，滑块 在倾角 的斜面上滑动，它们之间的摩擦系数为 。设滑轮与转轴间无摩擦，绳与轮间无相对滑动，求滑块的加速度和绳中力的大小。
6．如右图所示，一均匀细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑轴 旋转，初始状态为静止悬挂，现有一个小球从左方水平打击细杆，设小球与轴杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统
A．机械能守恒
B．动量守恒
C．对转轴 的角动量守恒
D．机械能，动量和角动量都不守恒
答：C
第三关
1．一飞轮绕轴作变速转动，飞轮上有两点 和 ，它们到转轴的距离分别为 和 ，则在任意时刻， 和 两点的加速度大小之比 为
基本容
本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律，难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。
一．角量与线量的关系
二．描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系，有关的数学方程完全相同,为便于比较和记忆，列表如下。只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的 、 、 和 、 换成 、 、 和 、 ,就成为刚体定轴转动的公式。
《
第三章刚体的定轴转动
教学要求
一．理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。
二．理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。
三．了解力矩的功和转动动能的概念。
四．了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。
五．理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。
）
4．水平刚性轻杆上对称地串着两个质量均为 的小球，如图所示。现让细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到 时，两球开始向杆的两端滑动，此时便撤去外力，任杆自由转动（不考虑转轴和空气的摩擦），当两球都滑至杆端时，系统的角速度为
A．
B．
C．
D．
答：C
（解：由角动量守恒
5．长为 质量为 的均匀细棒，绕一端点在水平面作匀速率转动，已知棒中心点的线速率为 ，则细棒的转动动能为
有人这样解：放手后杆受重力矩 ，
细杆绕点 的水平轴转动的转动惯量为 ，
由转动定律 ，解得 ；又根据 ， ， 得 。这种解法对吗？为什么？
讨论：
上述计算方法是错误的!其根源在于忽视了转动定律的瞬时性。
刚放手时重力矩 ，角加速度 ，但随着杆的转动，重力矩越来越小，在 处，为 ；角加速度也随之减小，在 处，为 。到竖直位置， ， 。也就是说，在杆转动过程中，角加速度是变量，杆的摆动是变加速运动，不可用匀变速转动的公式 。
B．它的动量不变，对圆心的角动量不断改变；
C．它的动量不断改变，对圆心的角动量不变；
D．它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
答：C
第二关
1．刚体绕定轴作匀变速转动时，刚体上距转轴为 的任一点的
A．切向、法向加速度的大小均随时间变化；
B．切向、法向加速度的大小均保持恒定；
C．切向加速度的大小恒定，法向加速度的大小变化；
D．转速可能变,也可能不变。
答：正确答案是D
5．如图所示，四个质量相同、线度相同而形状不同的均质物体，它们对各自的几何对称轴的转动惯量最大的和最小的是
A．（1）和（2）；
B．（1）和（4）；
C．（2）和（3）；
D．（2）和（4）。
答：B
6．一质点作匀速率圆周运动时
A．它的动量不变，对圆心的角动量也不变；
A． ；
B． ；
C． ；
D． 。
答：D
(解： ， ， )
第四关
1．定轴转动刚体的运动方程是 ， 时刚体上距转轴 的一点的加速度的大小是
A． ；
B． ；
C． ;
D． 。
答：B
（解：
当 ，
）
2．有一半径为 的匀质水平圆转台，绕通过其中心且垂直圆台的轴转动，转动惯量为 ，开始时有一质量为 的人站在转台中心，转台以匀角速度 转动，随后人沿着半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为
A．
B．
C．
D．
答：A
(解 )
4．一质点从静止出发绕半径为 的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为 ，当质点走完一圈回到出发点时，所经历的时间是
A．
B．
C．
D．不能确定
答：B
（解 由 ，式中 ， ， ， ）
5．一人开双臂，手握哑铃，坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的
(2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和为零；
(3)大小相同方向相反两个力对同一轴的力矩之和一定为零；
(4)质量相等，形状和大小不同的刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。
在上述说法中
A．只有(2)是正确的；
B．(1)和(2)是正确的；
C．(3)和(4)是正确的；
D．(1)、(2)和(3)是正确的。
A．转速加大，转动动能不变；
B．角动量和转动动能都不变；
C．转速和角动量都加大；
D．角动量保持不变，转动动能加大。
答：D
(解：开双臂转动惯量为 大于收回双臂转动惯量为 ，收回双臂的过程外力矩 ，角动量守恒， ，因此
；
而
。)
6．两质量为 和 的质点分别沿半径为 和 的同心圆周运动，前者以 的角速度沿顺时针方向，后者以 的角速度沿逆时针方向。以逆时针方向为正向，则该二质点组成的系统的角动量是
B．法向加速度 恒大于零，切向加速度 也恒大于零；
C．对定轴转动刚体而言，刚体上一点的线速度 、切向加速度 、法向加速度 的大小都与该质点距轴的距离 成正比；
D．因 ，所以，上面( C )中关于法向加速度的叙述不正确。
答：C
2．在下列说法中，错误的是：
A．刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同，线速度则不同；
A． ；
B． ；
C． ；
D． 。
答：B
(解：细棒的转动转动惯量为 ，棒中心点的线速率为 ，故 。细棒的转动动能为 。)
6．原来开双臂以 角速度旋转的冰上芭蕾舞演员其转动动能为 ，将手臂收回使转动惯量减少到原来的 ，则其转速和动能分别变为
A． ； ；
B． ； ；
C． ； ；;
D． ；
答：A
（解： 由角动量守恒 ， ； 。）
常量 常量
系统的动量守恒定律系统的角动量守恒定律
若 ,则若 ,则
常量 常量
三．对于质点、刚体组成的系统，动能定理仍然适用，系统的动能包括系统所有质点的平动动能和刚体的转动动能。当系统力只有保守力作功，其外力和非保守力作的总功为零，则整个系统机械能守恒。
问题讨论
一．一长为 、质量为 的匀直细棒一端固定，可在竖直平面转动，最初棒静止在水平位置，问放手后它下摆到竖直位置时的角速度。
此题的解法有多种，我们介绍两种从功和能的角度求解的方法。
解法一：用动能定理
杆摆到任一 角时，其所受的重力矩为
杆从水平位置转到竖直位置时，重力对杆所作的功为
由刚体的动能定理
式中 ，
解得
解法二：用机械能守恒求解
取杆和地球为系统，除重力外无其它力作功，机械能守恒。取竖直位置时杆的质心位置为重力势能零点，有
第五关
1．一轻绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一物体，物体的质量为 ，此时滑轮的角加速度为 ，若将物体卸掉，而用大小等于 、方向向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将
A．变大
B．不变；
C．变小；
D．无法判断。
答：A
(解:挂物体时：
解得
用大小等于 、方向向下的力拉时
因此
）
2．可绕水平轴转动的飞轮，直径为 ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘，在绳的一端加一不变的拉力，如果从静止开始在 钟绳被展开 ，则绳端点的加速度和飞轮的角加速度分别为
解：这是一个质点、刚体组成的系统，需隔离物体，分析各物体所受力(力矩)。
作受力分析图，由牛顿第二定律和转动定律立出动力学
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
解得
例二如图,均匀细杆可绕距其一端 （ 为杆长）的水平轴 在竖直平面转动，杆的质量为 、当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度 ，如杆恰能持续转动而不摆动（不计一切摩擦），则 必须如何取值？杆处于水平位置时角速度角和加速度为多少？
解:由平行轴定理，杆绕水平轴的转动惯量为
杆和地球组成的系统在转动过程中机械能守恒。要使杆恰能持续转动而不摆动，杆转过 时 ，此时杆的势能增加为
动能增加为
由 解得
由 得
杆处于水平位置时势能增加为
动能变化
由 解得
杆处于水平位置时重力矩为
由转动定律
过关测试
第一关
1．选出下述说法中的正确者。
A．公式 中， 是速率。因为 只能取正值，所以 也只能取正值；
B．刚体定轴转动的转动定律为 ，式中 、 、 均为对同一条固定轴而言的，否则该式不成立；
C．刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和；
D．对给定的刚体而言，它的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定的。
答：D
3．细棒可绕光滑轴转动，该轴垂直地通过棒的一个端点，今使棒从水平位置开始下摆，在棒转到竖直位置的过程中，下述说确的是
A． ；
B． ；
C．要由该时刻的角速度决定；
D．要由该时刻的角加速度决定。
答：A
（解： ， ， ， ）
2．下列说法中哪个或哪些是正确的
（1）作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度应越大；
（2）作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大；
（3）作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零；
A．角速度从小到大，角加速度从大到小；
B．角速度从小到大，角加速度从小到大；
C．角速度从大到小，角加速度从小到大；
D．角速度从大到小，角加速度从大到小。
答：正确答案是A
4．几个力同时作用于一个具有固定转轴的刚体上。如果这几个力的矢量和为零，则正确答案是
A．刚体必然不会转动；
B．转速必然不变；
C．转速必然会变；
A． ；
B． ；
C． ；
D． 。
答：A
(解：人和转台组成的系统外力矩 ，角动量守恒。转台的转动惯量为 ，人在台心时人的转动惯量为 ，人在台边时人的转动惯量为 ， ， 。)
3．质量 长 的细棒对通过距一端 、与棒垂直的轴的转动惯量为
A． ；
B． ；
C． ；;
D． 。
（解：棒对通过质心与棒垂直的轴的转动惯量为 ，由平行轴定理
答：B
4．水平刚性轻杆上对称地串着两个质量均为 的小球，如图所示。现让细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到 时，两球开始向杆的两端滑动，此时便撤去外力，任杆自由转动（不考虑转轴和空气的摩擦）。在此过程中球和杆组成的系统
A．动能守恒和动量守恒；
B．动能守恒和角动量守恒；
C．只有动量守恒；
D．只有角动量守恒。
（4）作用在定轴转动刚体上合力矩越大，刚体转动的角加速度越大；
（5）作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角加速度为零。
A．（1）和（2）是正确的；
B．（2）和（3）是正确的；
C．（Leabharlann Baidu）和（4）是正确的；
D．（4）和（5）是正确的。
答：D
3．如下图 、 、 、 是附于刚性轻细杆上的4个质点，质量分别为 ， ， 和 ，系统对 轴的转动惯量为
表3—1
质点的直线运动刚体定轴转动
位置 角位置
位移 角位移
速度 角速度
加速度 角加速度
匀速直线运动 匀角速转动
质量 转动惯量
力 力矩
牛顿第二定律 定轴转动定律
力的功 力矩的功
动能 动能
动能定理 动能定理
冲量 冲量矩
动量 角动量(动量矩)
动量定理 角动量定理
系统的机械能守恒定律系统的机械能守恒定律
若 ,则若 ,则