信号与系统 第六章、连续时间系统的系统函数解析
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信号与系统-连续时间LTI系统的稳定性_图文
但在系统有参数是未定，或需要判断系统参数满足什么条件下系统是否稳 定一类问题时，应用上面的方法就很不方便了。 必须借助于其他稳定性的判别方法
劳斯（Rooth)判据 霍尔维茨(Horwitz)判据 简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用3阶或3阶 以下系统稳定的简化的判别方法。
霍尔维茨（Hurwitz）判断法
考虑因果系统的稳定性。
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即
二．系统稳定性的判断
由系统函数判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性 H(s) 的假分式时，不稳定。
H(s) 的真分式，有可能稳定。 由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不在虚轴上，则系统
是稳定的。
（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于
平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
的极点时，系统是不稳定的。
二．系统稳定性的判断
当系统的参数都是给定具体数值时，当然可以应用上面讨论的方法，计算 出系统函数的每一个极点，然后根据极点位置来判断系统是否稳定 。
（2）阵列中首列元素有变号时，则含有 右半平面根，右半平面根的个数 为变号次数，则系统为不稳定系统。
通常联合使用罗斯—霍尔维茨准则：（简化判别过程）
(1)使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。 (2)满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确
定其稳定性。
【例5-7-6】已知某因果系统的系统函数为 为使系统稳定， 应该满足什么条件？
劳斯（Rooth)判据 霍尔维茨(Horwitz)判据 简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用3阶或3阶 以下系统稳定的简化的判别方法。
霍尔维茨（Hurwitz）判断法
考虑因果系统的稳定性。
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即
二．系统稳定性的判断
由系统函数判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性 H(s) 的假分式时，不稳定。
H(s) 的真分式，有可能稳定。 由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不在虚轴上，则系统
是稳定的。
（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于
平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
的极点时，系统是不稳定的。
二．系统稳定性的判断
当系统的参数都是给定具体数值时，当然可以应用上面讨论的方法，计算 出系统函数的每一个极点，然后根据极点位置来判断系统是否稳定 。
（2）阵列中首列元素有变号时，则含有 右半平面根，右半平面根的个数 为变号次数，则系统为不稳定系统。
通常联合使用罗斯—霍尔维茨准则：（简化判别过程）
(1)使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。 (2)满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确
定其稳定性。
【例5-7-6】已知某因果系统的系统函数为 为使系统稳定， 应该满足什么条件？
《信号与系统》总结：第六章(统编)
第六章.连续时间信号与时域系统分析一.拉氏变换定义1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换 原因：信号衰减太慢或不衰减（为了克服这种困难，可以用一个收敛因子与()f t 相乘）。
2.拉氏变换的导出 ()[()]()()ttj tj t FT f t ef t eedt f t e dt σσωσω∞∞----+-∞-∞=⋅=⎰⎰令s j σω=+ 则：象函数：()[()]()st F s LT f t f t e dt ∞--∞==⎰原函数：11()[()]()2j st j f t LT F s F s e ds j σωσωπ+--==⎰3.拉氏变换的收敛域 ()F s 存在的条件：0()st f t e dt -∞-<∞⎰lim ()0t t f t e σ-→∞=（充分条件）信号特点收敛域特点有始有终，能量有限坐标轴落于-∞，全部s 平面都属于收敛区幅度即不增长也不衰减而等于稳定值，或随时间,n t t 成比例增长的信号 收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛区 按指数规律增长的信号t e α， 只有当σα>时才收敛，所以收敛坐标为0σα= 右边信号 收敛域在收敛轴以右的s 平面，即σα> 左边信号 收敛域在收敛轴以左的s 平面，即σβ< 双边信号收敛域为s 平面的带状区域，即ασβ<<二.拉氏反变换部分分式展开法11112121111()()()()()p p p K K K F s F s s s s s s s -=++⋅⋅⋅++--- 11111111211111111()()[()()]1[()()](1)!p s s p s s i ps s i K s s F s dK s s F s ds d K s s F s i ds==-=-=-=-=--留数法1i s p =一阶级点的留数 Re [()][()()]i st st i s p s F s e s p F s e ==-⋅2i s p =是k 阶极点 111Re [()][()()](1)!i k stst i s p k d s F s e s p F s e k ds-=-=-⋅- 注意：留数法中的()F s 应是真分式，若不是应用长除法变成真分式后再用留数法。
信号与系统ch6
转移阻抗
Z 21 t ( s )
U 2 (s) I1 (s)
转移导纳
Y 21 t ( s )
I 2 (s) U 1 (s)
电压传输系数 电流传输系数
T u 21 ( s )
T i 21 ( s )
U 2 (s) U 1 (s)
I 2 (s) I1 (s)
3.系统函数表示系统激励与响应之间的因果关系
H i (s) (s a) 0
2
a j 0
at
ω0
-ω0 σ
hi ( t ) e
Cos 0 t
－a 0 ×
(二) 极点在虚轴上 1． 在原点 p a 0
i
——减幅的余弦振荡
H i (s)
1 s
hi (t ) (t )
2． 不在原点上
N (s) 0
a n s a n 1 s
N (s)
z1 的根： , z 2 , , z m称为函数 H ( s ) 的零点，使 H ( s ) 0
极零图：把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就 成为极点零点分布图，简称极零图。 ( s 2 )( s 4 ) H (s) 例
令 复因式 ( j z i ) 矢量 j 与 z i 之差＝ z i点至 j 的矢量 ＝ B i e j i ( A k , B i 模 ) 令 j k （差矢量） ( k , i 辐角 ) ( j p k ) 矢量 j 与 p k 之差＝ p k 点至 j 的矢量 ＝ A k e
0 : B 1 0 , Z 0 , 1 2 0 , ( ) 90 : A1 , A 2 , B1 , Z 0 , 1 2 180 , ( ) 90 0 : Z 最大值 , 90 , ( ) 0 （谐振）
信号与系统第六章连续时间系统的系统函数-pdf
第 三 步 ， 阵 列 中 的 第 一 列 数 称 为 罗 斯 -霍 维 茨 数 列 ， 在 此 数 列 中 ， 如无符号变化，则系统稳定，反之，不稳定。 顺序计算的符号变化的次数等于方程具有的实数为正的根数。
例1： 试判别特征方程
2s s s 6 0
3 2
的系统是否稳定
解：罗斯－霍维茨排列
n 1
... a 1 s 1 a 0 0 s 开平面上的充要条件是 ：
要使 D ( s ) 0 的根全部位于左半 ①多项式的全部系数 ②无缺项； ③罗斯 — 霍维茨阵列中第一列数
a i 符号相同；
的符号相同。若第一 D ( s ) 0所
列数符号不全相同，则 具有的正实部根的个数
0
2 2 2
s
2
(s 0 ) (s 0 )
0s
(s 0 )
2 2 2
y 2 ( t ) L [ Y 2 ( s )]
1
1 2
t sin( 0 t ) u ( t )
显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。
二、反馈系统 指系统的输出或部分输 引起输出本身变化的闭 出反过来馈送到输入处 环系统。
1/ 2 s
2 s 1
1/ 2 s2
y 1 ( t ) L [ Y1 ( s )] (
1
1 2
2e
t
1 2
e
2t
)u (t )
显然输出也有界，所以系统稳定。
（2）极点为±j0，是虚轴上的一对共轭极点。
若激励为有界输入sin(0 t )u(t)，则其输出为
Y2 ( s ) F ( s ) H 2 ( s )
例1： 试判别特征方程
2s s s 6 0
3 2
的系统是否稳定
解：罗斯－霍维茨排列
n 1
... a 1 s 1 a 0 0 s 开平面上的充要条件是 ：
要使 D ( s ) 0 的根全部位于左半 ①多项式的全部系数 ②无缺项； ③罗斯 — 霍维茨阵列中第一列数
a i 符号相同；
的符号相同。若第一 D ( s ) 0所
列数符号不全相同，则 具有的正实部根的个数
0
2 2 2
s
2
(s 0 ) (s 0 )
0s
(s 0 )
2 2 2
y 2 ( t ) L [ Y 2 ( s )]
1
1 2
t sin( 0 t ) u ( t )
显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。
二、反馈系统 指系统的输出或部分输 引起输出本身变化的闭 出反过来馈送到输入处 环系统。
1/ 2 s
2 s 1
1/ 2 s2
y 1 ( t ) L [ Y1 ( s )] (
1
1 2
2e
t
1 2
e
2t
)u (t )
显然输出也有界，所以系统稳定。
（2）极点为±j0，是虚轴上的一对共轭极点。
若激励为有界输入sin(0 t )u(t)，则其输出为
Y2 ( s ) F ( s ) H 2 ( s )
信号与系统第六章
2 ( k) T n
1 X p ( j ) X ( j ( ks )) T k
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号，就意味着要能够从 X p ( j ) 中不失真地分离
出 X ( j ) 。这就要求 X p ( j ) 在周期性延拓时不能
1. 如何用连续时间信号的离散时间样本来表示
连续时间信号——采样定理。
2. 如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。 3. 欠采样导致的后果——频谱混叠。 4. 连续时间信号的离散时间处理。 5. 离散时间信号的采样、抽取及内插。 6. 频域采样。
6.1 用样本表示连续时间信号: 采样定理
Theorem of Sampling 一. 采样: Sampling 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的 过程称为采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表 示？
H ( j )
T
e
j
T
2
T
2 T
0
H r ( j )
1
T
T
0
H r ( j )
2
T
T
0
T
2
0
T
实际上，H r ( j ) 不能真正实现，常对其做充分近似设计。 零阶保持输出本身可被认为是一种对原始信号的充分近似， 是一种比较 粗糙的内插，下一节将更详细地介绍通过内 插从信号样本重建信号。
x(t )
t
0
采样函数 p (t )
2T
T
t
0
T
2T
x p (t ) x(2T ) x(T )
信号与系统第6章 连续信号的复频域分析
14
6.2 拉普拉斯变换的性质 与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列 重要性质。利用这些性质，再结合基本信号的拉普 拉斯变换，是求解复杂信号拉普拉斯变换的重要方 法。此外，这些性质也是线性系统复频域分析的重 要基础。
15
6.2.1 线性性质
线性性质说明，信号的拉普拉斯变换满足齐次 性和叠加性。根据该性质，如果某信号能分解为一 些基本信号的线性组合，则可由这些基本的拉普拉 斯变换通过简单的代数运算求出该信号的拉普拉斯 变换。
6.1.2 拉普拉斯变换的零极点及收敛域 首先考虑如下例子。 例 6.1.1 求单边指数信号 f（t）= e-atu（t）（ 实数 a >0）的拉普拉斯变换 F（s）。
3
图 6.1.1 s平面、零极点图与收敛域
4
例 6.1.2 求反因果信号 f（t）= - e-atu（ - t）（ 实数 a >0）的拉普拉斯变换 F（s）。 解 根据拉普拉斯变换的定义得到
16
例 6.2.1 求 f（t）= sinω0tu（t）的拉普拉斯变 换 F（s）。 解 根据欧拉公式有
17
6.2.2 时移性质
需要注意的是，单边拉普拉斯变换的时移性质 只适用于因果信号向右平移后得到的信号。如果 f （t）为双边信号，则根据此性质，由 f（t）的单边 拉普拉斯变换 F（s）求 f（t-t0）的单边拉普拉斯变 换将得到错误的结果。
40
41
33
①求出真分式项 F（s）的所有极点。 ②对每一个各不相同的极点 p，分别按下式求 出其留数，即
③所有极点的留数相加后乘以 u（t）即得到真 分式项对应的反变换，再与多项式项对应的 反变换相加得到最后拉普拉斯反变换结果 f（t）。
34
信号与系统 第六章
2
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
信号与系统 连续时间LTI系统的系统函数
信号与系统
§5.6 系统函数
信号与系统
一．系统函数
e(t ) E (s) h (t ) H (s)
r (t )
1.定义
R( s)
所以
r (t ) e(t ) h(t ) R( s) E ( s) H ( s) 零状态响应的拉 R( s ) H ( s) 氏变换与激励的 E ( s) 拉氏变换之比
系统函数的求解方法:
h(t ) H ( s)
微分方程两端取拉氏变换
Yzs ( s) H ( s) X (s)
利用电路网络的 s 域元件模型图，列 s 域方程 从系统框图或信号流图写出系统函数（Mason公式）
H ( s)
R( s ) E ( s)
信号与系统
二．系统函数的求解（从微分方程求解）
例：电路如图，响应分别为 uC (t ), iL (t ) ，求对应的系统函数
t iLiLt C + C + x tt uCCt t u x L 1Hs 解：设系统的初始储能为0，各器件写出其复数阻抗 - 1 s 1F SL + +
U C ( s) I L ( s) H1 ( s) , H2 s X ( s) X ( s)1 x (t ) 2 s) 1 - II11((s )) 1 2 s 1
1 + 1Fs +
I 2 ( s) s 2 2s 1 H ( s) 2 X ( s ) s 5s 2
信号与系统
二．系统函数的求解（从电路的S模型求解）
信号与系统
二．系统函数的求解（从电路的S模型求解）
例：给定电路如图所示，求对应的系统函数 H ( s) I 2 ( s) X ( s) 解：设系统的初始储能为0，各器件写出其复数阻抗 1 1 电阻 R 1 电容 sC s
§5.6 系统函数
信号与系统
一．系统函数
e(t ) E (s) h (t ) H (s)
r (t )
1.定义
R( s)
所以
r (t ) e(t ) h(t ) R( s) E ( s) H ( s) 零状态响应的拉 R( s ) H ( s) 氏变换与激励的 E ( s) 拉氏变换之比
系统函数的求解方法:
h(t ) H ( s)
微分方程两端取拉氏变换
Yzs ( s) H ( s) X (s)
利用电路网络的 s 域元件模型图，列 s 域方程 从系统框图或信号流图写出系统函数（Mason公式）
H ( s)
R( s ) E ( s)
信号与系统
二．系统函数的求解（从微分方程求解）
例：电路如图，响应分别为 uC (t ), iL (t ) ，求对应的系统函数
t iLiLt C + C + x tt uCCt t u x L 1Hs 解：设系统的初始储能为0，各器件写出其复数阻抗 - 1 s 1F SL + +
U C ( s) I L ( s) H1 ( s) , H2 s X ( s) X ( s)1 x (t ) 2 s) 1 - II11((s )) 1 2 s 1
1 + 1Fs +
I 2 ( s) s 2 2s 1 H ( s) 2 X ( s ) s 5s 2
信号与系统
二．系统函数的求解（从电路的S模型求解）
信号与系统
二．系统函数的求解（从电路的S模型求解）
例：给定电路如图所示，求对应的系统函数 H ( s) I 2 ( s) X ( s) 解：设系统的初始储能为0，各器件写出其复数阻抗 1 1 电阻 R 1 电容 sC s
信号与系统-第6章信号与系统的时域和频域特性
19
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
信号与系统中的连续时间系统分析
信号与系统中的连续时间系统分析信号与系统是电子工程、自动控制等领域重要的基础学科，与我们日常生活息息相关。
在信号与系统中，连续时间系统分析是其中的重要内容之一。
本文将着重介绍连续时间系统分析的基本概念、方法和应用。
一、连续时间系统的概念连续时间系统是指信号的取样频率大于或等于连续时间信号的变化频率，信号在任意时间均有定义并连续可取值。
连续时间系统包括线性系统和非线性系统两种，其中线性系统是一类常见且具有重要意义的系统。
二、连续时间系统的表示连续时间系统可以通过微分方程或差分方程来表示，其中微分方程常用于描述线性时不变系统，而差分方程常用于描述线性时变系统。
在实际应用中，可以通过拉普拉斯变换或傅里叶变换对连续时间系统进行分析和求解。
三、连续时间系统的性质连续时间系统具有多种性质，包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等。
其中线性性是指系统对输入信号的响应是可叠加的，时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的推移而改变。
四、连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析是通过傅里叶变换来实现的，可以将时域中的信号转换为频域中的频谱。
通过频域分析，我们可以获得系统的幅频特性和相频特性，进一步了解系统对不同频率信号的响应。
五、连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析是通过微分方程或差分方程来实现的，可以确定系统的时域特性。
通过时域分析，我们可以获得系统的阶数、单位阶跃响应、单位冲激响应等关键信息。
六、连续时间系统的应用连续时间系统的分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制、解调、编码、解码等处理，这些过程都需要借助连续时间系统的分析方法。
此外，连续时间系统的分析也在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着重要的应用。
结语：连续时间系统分析是信号与系统学科中的重要内容，具有广泛的理论基础和实际应用。
通过深入学习连续时间系统的概念、表示、性质、频域分析、时域分析和应用，我们可以更好地理解和掌握信号与系统的基本原理和方法，为相关领域的研究和应用提供理论指导和技术支持。
连续时间系统的系统函数课件
传递函数的零点和极点
掌握传递函数的零点和极点的概念及其在系统分析中的作用。
极点、零点和增益
1 2
极点和零点的定义
了解极点和零点的定义及其在系统函数中的作用 。
增益的概念
掌握增益的概念及其在系统分析中的应用。
3
极点、零点和增益的关系
了解极点、零点和增益之间的关系及其对系统性 能的影响。
03
系统函数的分析方法
通过系统函数，可以分析 系统的频率响应、稳定性 、阻尼特性等性能指标。
控制系统的设计
系统函数是控制系统设计 的基础，通过改变系统函 数可以设计出不同性能的 控制系统。
系统辨识
通过对实际系统的输入输 出数据进行辨识，可以得 到系统的系统函数，进而 进行系统分析和控制。
02
系统函数的数学表达
微分方程与系统函数的关系
频率响应分析
频率响应的定义
01
频率响应是系统对正弦波输入的稳态响应，它反映了系统在不
同频率下的输出振幅和相位变化。
频率响应的求解方法
02
通过拉普拉斯变换将时域系统函数转化为复频域系统函数，然
后求解出系统的幅频特性和相频特性。
频率响应分析的意义
03
频率响应是系统稳定性和性能的重要指标，通过对频率响应的
线性时不变性分析
线性时不变性的定义
如果系统对于任何输入信号的响应都是线性的，并且具有时不变 性，则称该系统是线性时不变系统。
线性时不变性的性质
线性时不变系统具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。
线性时不变性分析的意义
线性时不变性是许多控制系统的重要性质，通过对线性时不变性的 分析可以了解系统的控制性能和稳定性特性。
描述
三阶系统函数，由电阻R、电容C 、电感L和阻尼电阻Rd组成。
掌握传递函数的零点和极点的概念及其在系统分析中的作用。
极点、零点和增益
1 2
极点和零点的定义
了解极点和零点的定义及其在系统函数中的作用 。
增益的概念
掌握增益的概念及其在系统分析中的应用。
3
极点、零点和增益的关系
了解极点、零点和增益之间的关系及其对系统性 能的影响。
03
系统函数的分析方法
通过系统函数，可以分析 系统的频率响应、稳定性 、阻尼特性等性能指标。
控制系统的设计
系统函数是控制系统设计 的基础，通过改变系统函 数可以设计出不同性能的 控制系统。
系统辨识
通过对实际系统的输入输 出数据进行辨识，可以得 到系统的系统函数，进而 进行系统分析和控制。
02
系统函数的数学表达
微分方程与系统函数的关系
频率响应分析
频率响应的定义
01
频率响应是系统对正弦波输入的稳态响应，它反映了系统在不
同频率下的输出振幅和相位变化。
频率响应的求解方法
02
通过拉普拉斯变换将时域系统函数转化为复频域系统函数，然
后求解出系统的幅频特性和相频特性。
频率响应分析的意义
03
频率响应是系统稳定性和性能的重要指标，通过对频率响应的
线性时不变性分析
线性时不变性的定义
如果系统对于任何输入信号的响应都是线性的，并且具有时不变 性，则称该系统是线性时不变系统。
线性时不变性的性质
线性时不变系统具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。
线性时不变性分析的意义
线性时不变性是许多控制系统的重要性质，通过对线性时不变性的 分析可以了解系统的控制性能和稳定性特性。
描述
三阶系统函数，由电阻R、电容C 、电感L和阻尼电阻Rd组成。
(NEW)管致中《信号与线性系统》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
4．能量信号与功率信号 信号的能量，功率公式为：
如果信号总能量为非零的有限值，则称其为能量信号；如果信号平 均功率为非零的有限值，则称其为功率信号（power signal）。
二、信号的简单处理
1．信号的相加与相乘 两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间函数相加（乘），反映 在波形上则是将相同时刻对应的函数值相加（乘）。图1-1所示就是两 个信号相加的一个例子。
形状不变的同时，沿时间轴右移 的距离；如 为负值则向左移动。图
1-2为信号延时的示例。
图1-2
3．信号的尺度变换与反褶
信号 经尺度变换后的信号可以表示为 显然在 为某值 时的值 ，在
，其中 为一常数。
的波形中将出现在 ＝ / 的位置。因此，如 为正数，当 ＞1 时，信号波形被压缩（scale—down）；而 ＜1时，信号波形被展宽 （scale up）。如 ＝-1，则 的波形为 ，波形对称于纵坐标轴的 反褶（reflection）。
若
则
系统若具有上式表示的性质则为非时变系统，不具有上述性质则为 时变系统。
3．连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统（continuous-time system）和离散时间系统（discretetime system）是根据它们所传输和处理的信号的性质而定的。前者传输 和处理连续信号，它的激励和响应在连续时间的一切值上都有确定的意 义；与后者有关的激励和响应信号则是不连续的离散序列。
（4）错误。例如
与
（门函数）却是能量信号。
均为功率信号，但两者之和
（5）错误。例如
与 均为功率信号，但两者之积
（门函数）却是能量信号。
（6）错误。例如 为功率信号， 为能量信号，但两者之积 却不是能量信号。
信号与系统_第六章 系统函数与零极点分析
并不失一般性! 令m=n并不失一般性! 并不失一般性
F ( s) Y ( s ) = H ( s) F ( s) = N ( s ) D( s) F ( s) 设一个中间变量 X ( s) = 则: D( s)
Y ( s) = N ( s) X ( s)
E-mail:lynwindsent@
U ( s) H ( s) = = Zin ( s) I ( s)
输入阻抗或策动点阻抗
返 回
E-mail:lynwindsent@
Tel:22896276
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信号与线性系统
(2)
+ U1(s) -
I1(s) 系 统
I2(s) + U2(s)
U2 ( s) H ( s) = U1 ( s) I2 ( s) H ( s) = I1 ( s) H ( s) =
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信号与线性系统
回忆一下在频域中,系统函数的定义: 回忆一下在频域中,系统函数的定义: 称为系统的频率特性, 关系为: 关系为 H( jω) 称为系统的频率特性,与h(t)关系为:
H( jω) = ∫ h(t )e jωt dt
∞
∞
1 jωt h( jω) = ∫ H( jω)e dt 2π ∞
返 回 E-mail:lynwindsent@ Tel:22896276
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信号与线性系统
6.2系统函数的零, 6.2系统函数的零,极点 系统函数的零
N ( s) 一,系统函数可以表示为 H ( s) = D( s) 分母多项式的根称为函数的极点, 分母多项式的根称为函数的极点,分子多项式的根称
(a s (b s
F ( s) Y ( s ) = H ( s) F ( s) = N ( s ) D( s) F ( s) 设一个中间变量 X ( s) = 则: D( s)
Y ( s) = N ( s) X ( s)
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U ( s) H ( s) = = Zin ( s) I ( s)
输入阻抗或策动点阻抗
返 回
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信号与线性系统
(2)
+ U1(s) -
I1(s) 系 统
I2(s) + U2(s)
U2 ( s) H ( s) = U1 ( s) I2 ( s) H ( s) = I1 ( s) H ( s) =
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信号与线性系统
回忆一下在频域中,系统函数的定义: 回忆一下在频域中,系统函数的定义: 称为系统的频率特性, 关系为: 关系为 H( jω) 称为系统的频率特性,与h(t)关系为:
H( jω) = ∫ h(t )e jωt dt
∞
∞
1 jωt h( jω) = ∫ H( jω)e dt 2π ∞
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信号与线性系统
6.2系统函数的零, 6.2系统函数的零,极点 系统函数的零
N ( s) 一,系统函数可以表示为 H ( s) = D( s) 分母多项式的根称为函数的极点, 分母多项式的根称为函数的极点,分子多项式的根称
(a s (b s
信号与系统§6.5系统稳定性及其判定
r
t
h
et
d
r0
h
e
d
h
d
此式表明： 若
必要性得证。
ht
d
t无界，则
r0也无界
由H(s)的极点位置判断系统稳定性
1．稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足
lim h(t) 0
的产生无界界的有无界则至少有一个如果dtrtetth????????????????????????????010001sgnththththte????????trththte则响应这表明???????????dtehtr???????????????????dd0???????????hehr????0d也无界无界则若此式表明
号与系统 信
§6.5 系统稳定性及其判定
1.系统的稳定性
2.系统稳定性判据
引言
某连续时间系统的系统函数
Hs 1 0.001
s1 s2
当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
0.005 1
Rzs
s
1
0.005 s
s
1 1
0.005 s2
rzs t 1 et 0.005 e2t ut
rt MeM
充分性得证。
必要性
如果 ht d t无界，则至少有一个 有界的e(t)产生无界
的r(t)。选择如下信号：
1
e t sgnht 0
1
ht 0 ht 0 ht 0
信号与系统 第六章、连续时间系统的系统函数解析
如图所示，画出了有两个 极点和两个零点的网络， 显然A1=B1 , A2=B2，所以， |H(jω)|=H0 （常数）。
还可以看出：
1 180 1 , 2 180 2 , 1 2 360 (1 2 ) 2(1 2 )
这种网络的幅频 特性与频率无关 为常数，而相位 与频率有关，因 此常作为相位校 正电路使用。
Z(s)
1
1 1
sC
1 C
s2
s 1 s
1
R sL
RC LC
1
s
c (s p1)(s p2 )
1 ( 1 )2 4 1
则：H 0
1 C
,
z1 0 ,
p1,2
RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
令：
1 2RC
,
0
1， LC
且设： 0
则：p1 , p2 为一对共轭复根
m
Bi
m
n
j( i k )
H0
i1 n
e i1 k1 H ( j) e j()
Ak
k 1
m
Bi
m
n
其中 H ( j) H0
i 1 n
，()
i
k
Ak
i 1
k 1
k 1
当ω沿虚轴变化时|H(jω)|，φ(ω)也随之变
化。因此，由系统函数的矢量图可以估计 出系统的幅频特性和相频特性曲线。
0
说明在s 处有一个(n m)阶零点；
3、m
n时lim H(s) s
lim s
bmsm an s n
说明在s 处有一个(m n)阶极点；
4、极、零点数目相等；
还可以看出：
1 180 1 , 2 180 2 , 1 2 360 (1 2 ) 2(1 2 )
这种网络的幅频 特性与频率无关 为常数，而相位 与频率有关，因 此常作为相位校 正电路使用。
Z(s)
1
1 1
sC
1 C
s2
s 1 s
1
R sL
RC LC
1
s
c (s p1)(s p2 )
1 ( 1 )2 4 1
则：H 0
1 C
,
z1 0 ,
p1,2
RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
令：
1 2RC
,
0
1， LC
且设： 0
则：p1 , p2 为一对共轭复根
m
Bi
m
n
j( i k )
H0
i1 n
e i1 k1 H ( j) e j()
Ak
k 1
m
Bi
m
n
其中 H ( j) H0
i 1 n
，()
i
k
Ak
i 1
k 1
k 1
当ω沿虚轴变化时|H(jω)|，φ(ω)也随之变
化。因此，由系统函数的矢量图可以估计 出系统的幅频特性和相频特性曲线。
0
说明在s 处有一个(n m)阶零点；
3、m
n时lim H(s) s
lim s
bmsm an s n
说明在s 处有一个(m n)阶极点；
4、极、零点数目相等；
信号与系统——系统函数
36
对于非最小相移函数
(s s2 )(s s ) H b ( s) (s s1 )(s s ) * (s s2 )(s s ) (s s2 )(s s2 ) * (s s1 )(s s ) (s s2 )(s s2 )
* 2 * 1 * 2 * 1
st s j
e
jT
因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位 圆上(|z|=1)也收敛
bm e
j 1
jT
z j
H (e jT )
e
n i 1
jT
pi
j
bm B1B2 ...Bme j 1 2 ...m A1 A2 ...An e j 1 2 ... n
1 极点：p1 ， R1C1 1 p2 R2C 2 零点： z1 0 2/7/2019
-π/2
33
最小相移函数
零、极点均位于s平面左半开平面
* (s s2 )(s s2 ) H a ( s) * (s s1 )(s s1 )
极点位于s平面左半开平面，零点位于s平 面右半开平面
2/7/2019
11
几种典型情况
jω0
j
α
O
α
jω0
2/7/2019
12
2.离散系统:
Z平面:
单位圆内:p=-1/3,h(k)= (-1/3)k (k)
单位圆上:p=1,h(k)= (1)k(k),有限值. 单位圆外:p=2,h(k)= (2)k (k) →∞
Im[z] Z平面
→0
增幅
θ0 z 1 单位圆内
单位圆外
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这种形式不能直观地看出系统的特 性，所以，常根据不同的需要用图 示的方法来表示，常用的有三种：
1、频率特性 若系统是稳定的，则：
H(s) sj H( j) , H( j) H( j) e j()
H( j) — 幅频特性，() — 相频特性
例如：RLC并联电路
Z ( j) 1
1
1 jC
R jL
(s
s p1)( s
p2
)
H(
j)
H0
(
j
j p1)( j
p2 )
H0
B1 A1 A2
e j(90 (12 ))
其中：j B1 e j90 j p1 A1 e j1 , j p2 A2 e j2
1、ω=0+ B1=0 ,
H(jω)|=0 ; (α1+α2)=0 ,
§6.3 系统函数极点和零点 的分布
极点、零点或位于s平面的 实轴上，或以一对共轭复根的 形式出现，或是r阶重根（也称 r阶极点或零点），总之它们是 对称于实轴的。
1、系统函数一般有n个有限极点和m个 有限零点；
2、n
m时lim s
H
(s)
lim
s
bmsm an s n
0
说明在s 处有一个(n m)阶零点；
当ω: -∞→ - ω0 → 0 →ω0 → ∞
ξ: ∞→0 →∞→0→-
∞
, () tg1
2、复轨迹 将H(jω)写成实部和虚部的形式： H(jω)=U(ω)+jV(ω)以为U(ω)横坐标，V(ω) 为纵坐标作出的图称为复轨迹。
上例中
Z ( j) R 1 j
1
R
2
j
1
R
2
u( )
jv( )
第六章、连续时间系统的系统函数
§6.1引言
系统函数（转移函数）H(s)，定义为系统零状 态响应象函数R(s)与激励的象函数E(s)之比。它是 由系统本身决定的，而与其输入、输出并没有关 系。它是反映系统特性的重要函数。
h(t) H(s)
若系统稳定 ：
sj
H (s)
H ( j)
s 域形式 sj 频域形式
u
1
R
2
v
1
R
2
(1) (2)
由(1)得 2 (R u) / u 代入(2)
v2
R2 2 (1 2 )2
Ru u2
(u R )2 v2 ( R )2 为圆方程
2
2
当 ω : - ∞ → - ω0 → 0 →ω0 → ∞
ξ: ∞→0 →∞ →0→-∞ 复轨迹顺时针方向 重复两次。
3、m
n时lim H(s) s
lim s
bmsm an s n
说明在s 处有一个(m n)阶极点；
4、极、零点数目相等；
5、稳定系统的极点必位于左半平面，虚 轴上可有一阶极点存在；
6、两个特殊的点s=0，s=∞ 根据复变函
数理论，认为它们是在虚轴上的，因此
系统稳定在s=0，s=∞只能有一阶极点，
3、极零点表示
H (s)
ห้องสมุดไป่ตู้
N (s) D(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
若 N (s) 0 有m个根：z1, z2 ,zm 称m个零点 D(s) 0 有n个根：p1, p2 , pn 称n个极点
则
H (s)
H0
(s z1)( s (s p1)( s
Ak
k 1
m
Bi
m
n
其中 H ( j) H0
i 1 n
，()
i
k
Ak
i 1
k 1
k 1
当ω沿虚轴变化时|H(jω)|，φ(ω)也随之变
化。因此，由系统函数的矢量图可以估计 出系统的幅频特性和相频特性曲线。
例：系统函数的极、零点分布如图所示， 估计其幅频与相频特性曲线。
解：
H
(s)
H0
h(t) H ( j)
主要内容
系统函数的表示法 (极零点表示 ) 系统函数极点、零点与系统频率 特性的关系 系统的稳定性
§6.2 系统函数的表示法
一线性非时变系统可用线性常系
数微分方程表示，所以H(s)的一般形 式可表示为：
H (s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
即：若m>n 则 m-n≤1。
7、虽然系统函数对零点没有限制（只要 对称于实轴），但在网络理论中，阻抗 和导纳互为倒数，因此，对于这种情况 对零点的限制与极点相同。
§6.4 系统函数极点、零点与系统频率 特性的关系
一、H(s)的矢量表示
则
H (s)
H0
(s z1)( s (s p1)( s
z2 )(s zm ) p2 )(s pn )
,
H0
bm an
其中的s，z，p都可用矢量表示，进一步 (s-z)，(s-p)也可表示为矢量。
对于稳定的系统： H (s) sj
H
(
j)
H0
( j ( j
z1 )( p1 )(
j j
z2 )( j zm ) p2 )( j pn )
显然(jω-z)，(jω-p)也是可以表示为矢量的， 将它们表示为模和复角的形式：
R sL
RC LC
1
s
c (s p1)(s p2 )
1 ( 1 )2 4 1
则：H 0
1 C
,
z1 0 ,
p1,2
RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
令：
1 2RC
,
0
1， LC
且设： 0
则：p1 , p2 为一对共轭复根
p1,2 j 02 2
jRL R 2RLC
jL 1
j
R
R
(1 2LC)
L
令 0
1, LC
Q 0L
R
则：Z ( j)
1
R
j 1 (0
)
Q 0
令 1 (0 ) Q 0
Z ( j) R R e jtg1 1 j 1 2
Z( j) R , () tg1 12
Z( j) R 12
1 (0 ) Q 0
z2 )(s zm ) p2 )(s pn )
,
H0
bm an
可见一个系统的极点零点确定后， 系统函数就基本确定了。若再确定H0， 则H(s)就完全确定。但H0为常数与变量s 无关，仅是一个比例因子而已。
我们还是以RLC并联电路为例将jω换成s
Z(s)
1
1 1
sC
1 C
s2
s 1 s
1
j p A() e j() 称极点矢量，简记为 A e j
j z B() e j () 称零点矢量，简记为 B e j
H(jω)可写为：
H(
j)
H0
B1B2 Bm A1 A2 An
e j( 12 m 12 n )
m
Bi
m
n
j( i k )
H0
i1 n
e i1 k1 H ( j) e j()