假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现

多面体欧拉公式的发现

多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。

发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。

多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。

欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。

欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。

这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。

让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。

首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。

立方体有8个顶点，12条边和6个面。

代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。

这意味着欧拉公式在立方体上成立。

接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。

八面体有6个顶点、12条边和8个面。

再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。

欧拉公式在八面体上同样成立。

通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。

这提示我们欧拉公式可能是普适的。

更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。

假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。

现在考虑多面体增加一个面的情况。

如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。

通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。

总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。

通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。

§910多面体欧拉定理的发现

§ 9.10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(1)教学目标：1•通过探现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；教学重点：教学难点：2.体会数学家的创造性工作，掌握“实验一归纳一猜想一证明”的研究方法；3.通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神如何发现欧拉公式怎样证明欧拉公式教学过程:创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现Ceo有重大贡献的三位科学家如图，C60是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体•这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出Ceo中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的尖系•我们知道'在平面多边形中'多边形的边数b,顶点数d之间有尖系b=d ;而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2.实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表:多面体F V E四面体446正方体6812五棱柱71015四棱锥558非凸多面体6610正八面体8612“屋顶”体9916截顶立方体71015(问题1 :你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的尖系吗?(1)由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。

并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；(2 )对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6, V=8 , E=12 正八面体：F=8 , V=6 , E=12。

这说明了什么？好像隐约透露出某种联系•为了弄清这个问题'整理资料'将上表按E 增加的顺序重排，得:多面体F V E四面体446四棱锥558非凸多面体6610正方体68121.观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V随E的增加而增加。

多面体欧拉定理的发现

6 20
12
8 12
20
12 30
30
2 2
2
什么样的多面体符合 V+F-E=2?
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果向内部充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
简单多面体概念：表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。我们所学的几何体，如棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。凸多面体棱锥
正方体正四面体
棱柱Байду номын сангаас
正多面体
简单多面体
欧拉定理:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。要Face,不要Edge
欧拉定理的应用
利用欧拉定理可解决一些实际问题
例1．一个简单多面体各面都是三角形，顶点数V=6,求面数F、棱数E .
例2．一个简单多面体的棱数可能是6吗？
§9.10 研究性课题: 多面体欧拉定理的发现
一：复习
1、什么叫正多面体？ ①每个面都是有相同边数的正多边形； ②每个顶点都有相同数目的棱数。 2、正多面体有哪几种？
正多面体顶点数V 正四面体正六面体 4 8
面数F 4 6
棱数E 6 12
V+F-E 2 2
正八面体正十二面体
正二十面体
数学家欧拉
欧拉，瑞士数学家，欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从 19岁开始发表论文，直到76岁，他一生共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。

多面体欧拉定理的发现课件

多面体欧拉定理的发现
多面体是一种几何体，展示了独特的定义和基本特征。
欧拉定理的介绍
欧拉定理是一项重要的数学定理，它描述了多面体中的顶点、边和面之间的关系。
欧拉定理的证明方法
学者通过数学推导和逻辑推理，发展出了证明欧拉定理的有效方法。
欧拉定理的应用举例
欧拉ห้องสมุดไป่ตู้理在计算机图形学、拓扑学和材料科学等领域有着广泛的应用。
欧拉定理的局限性和扩展
尽管欧拉定理非常有用，但在某些情况下可能无法适用。研究者正在不断探索和扩展这一理论。
对欧拉定理的意义和影响
欧拉定理的发现深刻影响了数学和科学领域的发展，为我们理解几何学和拓扑学提供了重要的基础。
总结和展望
多面体欧拉定理是数学世界中的重要成就，它激发了更多的数学研究和发现。

多面体欧拉定理的发现

总结多面体欧拉公式的发现过程
，nF边形，各面的 (4)图2中全体多边形的内角和是多少？它是否等于(V-2) × （5）研究欧拉(Leonhard Euler)的一生（包括他的故事、成就等） (V-m)×360 +(m-2)×180 所有其他多边形的内角和是多少？
左图中多面体某个面是n边形，右图中相应的多边形仍为n边形利用多边形的内角
（4）由欧拉公式你能得出什么新的结论（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。
（3）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作形的面各有12个和20个。这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。
二利、用多多面边（体形欧的5拉内）公角式研的发究现欧拉(Leonhard Euler)的一生（包括他的故事、成就等） (V-m)×360 +2(m-2)×180 =(V-2)×360
解：设C60分子中形状为五边形和六
边形的面各为x个和y个
多面体的顶点数V=60,面数F=x+y
棱数E 1 (360) 代入欧拉公式，可得
2
60 (xy)1(36)02 2
另一方面，棱数可以由多边形的边
数来表示，即 1(5x6y)1(36)0
2
2
由以上两个方程可解出 x=12，y=20
答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个。
（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。
（3）尝试证明猜测的结论。
这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。
三、多面体欧拉公式的应用（1）1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重要贡献的三位科学家。C60是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各个面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各是多少？

高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(3)

多面体欧拉定理的发现(3)一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

欧拉的惊人成就并不是偶然的,是他顽强意志的必然结果，他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文。

欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，30年以后，他的另一只眼睛也失明了。

他双目失明以后，从没有停止过他的数学研究。

他以惊人的毅力和坚忍不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，口述著作了几本书和400篇左右的论文。

由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。

在欧拉的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。

他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。

尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如,cos ,sin x x ……等等现今已经成为数学的国际语言。

欧拉1720年秋入读巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的赏识，并给以特别的指导，在此期间欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。

欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯，以后陆续得奖多次。

多面体欧拉定理的发现1

多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。

(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。

为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。

2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。

他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。

他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

3.发现关系：V+F-E=2。

是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。

4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

5. 欧拉定理定理简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。

将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。

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多面体欧拉定理的发现 (1)2

多面体欧拉定理的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。

多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。

在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。

以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。

探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。

教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。

表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。

多面体欧拉定理的发现(g)

特征
多面体的顶点数、面数和棱数之间存在一定的关系，这是多面体的基本特征。
03 欧拉定理的发现过程
欧拉之前的学者研究
欧拉之前，数学家们已经对多面体的几何特性进行了一些研究，例如希腊数学家欧几里得（Euclid）在他的《几何原本》中证明了“一个多面体的所有面都是三角形”的定理。
文艺复兴时期，意大利数学家莱昂纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）也对多面体进行了研究，他发现了多面体的顶点数、边数和面数之间的关系，但未能完全证明。
多面体欧拉定理的发现(g)
contents
目录
• 引言 • 多面体的基本概念 • 欧拉定理的发现过程 • 欧拉定理的应用 • 结论
01 引言
欧拉与多面体研究
01
欧拉是多面体研究的先驱之一，他对多面体的性质进行了深入的研究，并取得了许多重要的成果。
02
欧拉对多面体的研究始于他对数学的热爱和探索，他通过观察、分析和证明，揭示了多面体的许多内在规律和性质。
弹性力学
在弹性力学中，欧拉定理用于分析弹性体的应力、应变和位移之间的关系。
流体动力学
在流体动力学中，欧拉定理用于研究流体的运动规律，如流体中的涡旋和流动稳定性。
在其他领域的应用
化学
在化学中，欧拉定理用于分析分子结构，了解分子的几何形状和化学键的性质。
生物学
在生物学中，欧拉定理用于研究细胞形态和生物体的复杂结构。
等。
几何形状分析
通过欧拉定理，我们可以分析多面体的几何形状，了解其对称性、边数和面数之间的关系。
几何建模
在计算机图形学中，欧拉定理被用于几何建模，通过控制顶点数和边数来创建复杂的3D模型。

多面体欧拉定理

多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。

定理一证分析：以四面体ABCD为例。

将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。

因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。

例如去掉BC，就减少一个面ABC。

同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。

例如去掉CA，就减少一个顶点C。

同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

公式对任意简单多面体都是正确的。

定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。

我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。

多面体欧拉定理的发现

多面体欧拉定理的发现【新课引入】让学生观察足球,提问：足球表面有哪些图形?足球表面有几个顶点,几条棱,几个面?以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。

看一看能否找到一些规律.【设计意图】从生活的实际问题引入,可以调节课堂气氛,激发学生的学习兴趣, 培养学生的观察能力和动手操作的能力,同时可以自然地过渡到数多面体的顶点数,面数,棱数.【新课讲解】1.尝试猜想:以小组为单位,要求学生自己再举一些多面体,数一数它们的面数,棱数,顶点数,把数据填入统计表内，看一看能否找出规律。

多面体顶点数面数棱数规律在个人思考、分组讨论的基础上，由小组的组长总结归纳规律：顶点数+面数-棱数=2教师指出这就是有名的欧拉公式:V+F E=2【设计意图】让学生学会分析、总结，从现象看到本质，掌握从特殊到一般的规律.同时可以培养学生的动手,创新能力和交流协作的能力。

2．介绍欧拉（利用电脑制作一段有关欧拉生平的录像）(大约1-2分钟)欧拉，瑞士数学家，16岁获硕士学位，毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文.欧拉的成功不是偶然，而是靠他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。

既使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。

他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用 f ( x )表示.函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

【注】更多介绍见最后【阅读材料】。

【设计意图】通过录像，声情并茂介绍大数学家欧拉，使学生能够更好地了解欧拉的科学精神与顽强地毅力,促进学生非智力因素地发展.3．构造反例先让学生举反例，如果学生举不出，教师用几何画板进行引导演示过程中，要求学生计算这些多面体的顶点数，面数，棱数，然后将数据填入下表中情况1：正方体挖去一个四棱锥（可以动画展示）如下图1图1情况2：拖动O点使之下移（可以动画展示）如下图2图3图2情况3：拖动O点使之上移（可以动画展示）如上图3情况4：侧面两个四棱锥挖掉多面体顶点数棱数面数顶点数+面数棱数图1图2图3图4【设计意图】深入探究，完善猜想. 可以培养学生空间想象能力,表达能力及创造能力。

多面体欧拉定理的发现word资料10页

研究性课题：多面体欧拉定理的发现第一课时欧拉定理（一）教学目标：（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.教学重点欧拉公式的发现.教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.教学过程情境设置欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。

种种磨难，并没有把欧拉搞垮。

大火以后他立即投入到新的创作之中。

资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。

他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。

他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。

简单多面体欧拉公式证明

简单多面体欧拉公式证明简单多面体是一个空间中有限多个平面多边形围成的立体。

欧拉公式是简单多面体的基本性质之一。

本文将介绍并证明简单多面体的欧拉公式。

欧拉公式的表述如下：对于一个简单多面体，其顶点数、边数和面数满足以下关系式：顶点数 + 面数 = 边数 + 2。

这个公式是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，被认为是数学界中的一项重要成果。

首先，我们来证明这个公式对于一个简单的多面体是成立的。

假设我们有一个简单多面体，记作P，其顶点数为V，边数为E，面数为F。

我们可以从P中选择一个面来分割这个多面体，将其分成两个部分：一个新的面和一个较小的多面体P'。

根据分割操作，我们会将一个面分成两个，因此P'的面数比P少一个，即F' = F - 1。

而分割后，新的面增加了一个，因此新的多面体的面数为F + 1。

同时，分割操作使得多面体的边数也发生了变化。

每个面都会贡献出一条边，因此分割前的边数为E，分割后的边数为E + F。

分割后，新的多面体也有一条新的边，因此边数为E + F + 1。

顶点的数目也会随着分割操作发生变化。

每个面在分割操作中都会贡献出一个顶点，因此分割前的顶点数为V，分割后的顶点数为V + F。

而分割后的多面体有一个新的顶点，因此顶点数为V + F + 1。

根据分割操作的结果，我们可以得到以下三个等式：V' = V + F + 1E' = E + F + 1F' = F - 1我们将这三个等式相加：V' + E' + F' = (V + F + 1) + (E + F + 1) + (F - 1)= V + E + F + 2由于分割操作并不改变多面体的拓扑性质，因此P'也是一个简单多面体。

我们可以继续对P'进行分割操作，重复上述步骤。

每次分割操作都会使得V' + E' + F' 增加2。

多面体欧拉定理的发现

验证
成功
V + F – E = 16 + 16 – 32 = 0
失败
第四步：
修正猜想
简单多面体付合猜想
非简单多面体不符合猜想
第五步：进一步猜想欧拉公式
一般地，简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间有关系：
V+F–E=2
三、简单多面体欧拉公式的证明
１、去掉一个面将多面体压缩为平面图形
Ａ
ＢＡＢＣＤＣＤ
２、将所得平面图形外围的线段逐一去掉
Ｂ
Ａ
ＤＢ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ并没有改变
３、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，
直至只剩一条线段
ＢＡＤＡＤＡ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ依然没有改变
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２＋０－１＋１＝２
欧拉生平：（Euler 公元1707-1783年）
同学们再见！
研究性学习课题：
多面体欧拉定理的发现
课件制作:雷应宇
一、平面多边形的顶点数与边数
平面多边形的顶点数与边数相等
二、多面体的顶点数，面数和棱数
之间有没特定的关系呢
第一步：
观察
正多面体正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体
顶点数 V
面数 F
棱数 E
第二步：
猜想Leabharlann V+F–E=2第三步：
练习： 1、正十二面体的面数,棱数,顶点数分别是:（ A.12 30 30 C.12 20 30 B.12 20 20 D.12 30 20
）
2、Ｃ7０是由7０个Ｃ原子构成的分子，它的结构为简单多面体．这个多面体有7０个顶点，在每个顶点处都有3条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计出Ｃ7０有多少个五边形和六边形吗？

多面体欧拉定理的发现PPT16页

A
体会欧拉的证法：
D V+F－E的
B
值暂不知道
C
V+F1－E变化情况
压扁
不变
V+F1－E变化情况
不变不变
不变
V+F1－E变化情况
不变
不变
上图中V+F1－E＝2+0－1＝1 那么 V+F－E= V+（F1+1）－E =1+1=2
2、多面体欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E、
及面数F间有关系：V+F－E=2
多面体欧拉定理的发现
研究性课题：多面体欧拉定理的发现
3、验证提高
简单多面体顶点数V 面数F 棱数E
N棱锥
N+1
N+1
2N
N棱柱
2N
N+2
3N
V、F、E 间的关系
V+F的顶点数V、棱数E、及
面数F间有关系：V+F－E=2
四、尝试证明
1、下面我们以四面体ABCD为例
五、欧总拉结证回明顾的思想是一种拓朴思想---化“空间”问题为 “平面”问题，化“大”为 “小”，化“繁”为“简”的思想。这种拓朴的思想奠定了现代数学的分支拓朴学的基础。运用这一方法成功地解决了“七桥”总问题。
欧拉公式的发现和证明是得益于 “多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的” 这一观念上的创新，是得益于“向它们内部冲气”和“底面剪掉，然后其余各面拉开铺平”这一方法的创新。
希望同学们能够象欧拉那样善于思考、乐
于创新！
六、作业：以正六面体为例验证多面体
欧拉定理
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

多面体欧拉定理的发现

多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导．有许多关于欧拉的传说。

比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。

有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。

欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。

而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。

瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。

欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π（1736年）,i（1777年）,e （1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁．据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。

研究性课题：多面体欧拉定理的发现47814

研究性课题：多面体欧拉定理的发现温州中学 325000 苏德超案例设计前言著名数学教育家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学．从这个方面看．数学像是一门系统的演绎科学，但是另一方面，在创造过程中的数学．看来都像是一门实验性的归纳科学。

而本课题是研究性课题，它偏向后者，可以看成是一门实验性的归纳数学学习，它的教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。

在这个课题的研究过程中可以让学生充分体验归纳——猜想——证明这一知识的发生过程，在证明中，将三维问题转化为二维问题，这种拓扑的证明给学生以数学奇特美的享受，而证明的简化与欧拉公式本身也体现了数学的简洁美。

学生是研究的主体，这一阶段（高二）的学生，已经初步掌握了开展研究性活动的知识，这一年龄段的学生参加此类活动的积极性较高，且求知欲强，所以在活动中可让学生充分展开自由的想像，展开热烈的讨论，进行数学交流。

由此看来，本案例还是有很多值得挖掘、设计的地方，所以本人尝试编写此教案，与同仁一起交流。

教学目标（一）知识目标了解简单多面体的概念；了解公式的发现过程及证明方法；理解多面体欧拉公式；会用欧拉公式及其相关知识进行计算和推理。

（二）能力目标1．初步了解并体验数学概念和结论的产生过程，培养学生的观察、归纳、猜想数学问题的能力；提高学生独立思考、发现问题和解决问题的能力。

2．进一步培养学生的空间想像能力和逻辑思维能力。

3．在小组活动中，培养学生的人际交往和协作能力。

4．提高学生的创新意识和创新能力。

（三）德育目标1．通过学生对数学大师欧拉这一生的了解，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求。

.2．以欧拉公式为载体，让学生建立严谨的科学态度；让学生感受数学的奇异美和简洁美，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：欧拉公式的发现及证明。

教学难点：欧拉公式的证明及应用。

教学环境：数学实验室（具备网络功能）。