最新常见曲线的参数方程
参数方程_精品文档
参数方程参数方程是一种数学中常用的表示曲线的方法，它是通过一组参数来描述曲线上的点的位置。
与直角坐标系中的函数表示方式不同，参数方程给出的是曲线上每一个点在某个参数下的坐标值。
参数方程的一般形式为：x = f(t) y = g(t)其中，x 和 y 是曲线上某一点的坐标，t 是参数。
通过改变参数 t 的取值，可以得到曲线上的不同点坐标，从而描绘出整个曲线。
参数方程的表示形式参数方程的表示形式可以有多种，常见的包括：•二维参数方程：x = f(t), y = g(t)•三维参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)以二维参数方程为例，可以通过给定不同的参数 t 的取值范围，来绘制出对应的曲线。
参数 t 通常是一个连续的变化的数值，可以是时间、角度或其他物理量。
通过改变参数t，我们可以得到曲线上的点的坐标变化情况，从而得到曲线的形状。
参数方程的应用参数方程在数学和物理中有广泛的应用，特别是在几何学、物理学和计算机图形学中。
在几何学中，参数方程可以用来表示各种曲线，例如抛物线、椭圆、双曲线等，通过调整参数的取值范围，可以绘制出不同形状的曲线。
参数方程还可以用来表示曲线的长度、曲率等几何性质。
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个抛出的物体在空中的运动可以用参数方程来表示。
通过改变参数 t 的取值，可以得到物体在不同时刻的位置坐标，从而得到物体的运动轨迹。
在计算机图形学中，参数方程可以用来生成各种图形。
通过给定不同的参数t，可以计算出曲线上的点的坐标，然后将这些点连接起来，就可以生成各种精美的图形，如曲线、曲面等。
参数方程的优缺点参数方程相较于直角坐标系的表示方法，有一些明显的优点和缺点。
优点：•对于复杂的曲线，参数方程可以更加简洁地描述其形状。
•参数方程可以处理直角坐标系中无法表示的曲线，如极坐标系下的曲线。
缺点：•参数方程需要额外的参数 t，增加了计算的复杂度。
曲线的参数方程与切线
曲线的参数方程与切线在数学中，曲线的参数方程是描述曲线上每个点坐标与参数之间的关系的一种表示方法。
通过参数方程可以更直观地描绘曲线的形态与特征，同时也可以方便地进行计算和分析。
一、参数方程的概念与作用参数方程是由参数组成的函数，用参数的取值来确定曲线上各个点的坐标。
常见的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别表示点的横纵坐标，t为参数。
通过给定参数t的取值范围，就能够确定曲线上的点。
通过参数方程可以描述多种曲线形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
此外，参数方程还可以方便地计算曲线上的点的坐标、切线、法线以及曲率等重要概念，为进一步分析曲线的性质提供了基础。
二、曲线的参数方程的确定方法确定曲线的参数方程需要结合具体的曲线形状和条件进行。
下面以几种常见曲线为例进行说明：1. 圆的参数方程：以圆心坐标为中心，给定半径r，可以得到圆的参数方程为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中t的取值范围为0≤t≤2π。
2. 抛物线的参数方程：对于一个开口朝上（或朝下）的抛物线，给定焦点F、准线l的直线方程、离心率e等条件，可以通过计算得到抛物线的参数方程。
3. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴，t的取值范围为0≤t≤2π。
三、曲线的切线与参数方程的关系切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线，切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。
对于参数方程表示的曲线，求取曲线在某一点处的切线可以通过以下步骤实现：1. 计算参数方程的导数，即dx/dt和dy/dt。
2. 根据导数值得到曲线在该点处的切线斜率。
3. 使用点斜式或一般式方程得到切线的方程。
通过参数方程求取曲线切线的过程与使用一般方程求取切线的方法类似，只是计算切线斜率时需要借助参数方程的导数。
四、参数方程与曲线研究的应用参数方程不仅仅可以描述和分析各种曲线形状，还可以应用于其他领域。
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
汇报人：XX
contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
参数方程与曲线的切线
参数方程与曲线的切线参数方程是用参数表示自变量 x 和 y 的方程。
在数学中，参数方程常用于描述曲线的运动和变化规律。
与之相关的概念是曲线的切线，它表示曲线在某一点上的斜率和方向。
一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量的方程。
通常用 t 表示参数，将自变量 x 和 y 表示为 t 的函数。
参数方程可以描述出不同种类的曲线，包括直线、圆、椭圆等。
常见的参数方程表示如下：1. 直线的参数方程：x = at + by = ct + d2. 圆的参数方程：x = r cos(t)y = r sin(t)3. 椭圆的参数方程：x = a cos(t)y = b sin(t)二、参数方程与曲线的关系参数方程描述了曲线上每个点的坐标，通过改变参数 t 的值，可以得到曲线上的不同点。
当参数方程中 t 的取值范围确定时，曲线上的点也就确定了。
例如，对于直线的参数方程 x = at + b，y = ct + d，当 t 取遍所有实数时，可以得到一条直线。
直线上的不同点由不同的 t 值确定。
同样地，对于圆的参数方程 x = r cos(t)，y = r sin(t)，通过改变 t 的值，我们可以得到圆上的不同点，当 t 取遍所有实数时，可以得到一个完整的圆。
三、曲线的切线曲线的切线是指曲线上某一点处的切线。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
可以通过参数方程来求解曲线的切线。
对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，可以先求出曲线上某一点 P 的切线斜率 k，然后利用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 或一般式方程 Ax + By + C = 0 来表示切线。
具体求解过程如下：1. 求得曲线的导数：dy/dx = dy/dt / dx/dt2. 求得某一点 P 的斜率 k：在参数方程中取 t = t0，求得点 P 的坐标 (x0, y0)，计算 dy/dx 的值，即可得到切线斜率 k。
3. 利用点斜式方程或一般式方程表示切线：根据切线的斜率 k 和点 P 的坐标 (x0, y0)，可以得到切线的方程。
曲线的参数方程 课件
【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：
常见曲线的参数方程PPT课件
2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
添加
添加
添加 标题
标题
标题
添加
标题
此处结束语
点击此处添加段落文本 . 您的内容打在这里，或通过 复制您的文本后在此框中选择粘贴并选择只保留文字
46
常见曲线的参数方程总结
x
a
曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的
x
来看动点的慢动作
2a
2a
0
y
x
a
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
t 的几何意义如图示
t
a
当 t 从 0 2，x从 0 2a
即曲线走了一拱
a
.
参数方程
o
a
C
A
x
y
这就是旋轮线的参数方程。
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
B
A
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
4.
0
x
y
x+y+a = 0
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
0
x
y
P
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =
.
.
.
.
.
距离之积为a2的点的轨迹
直角系方程
8.双纽线
0
x
y
.
所围面积
.
.
.
由对称性
.
例1 求双纽线
曲线参数方程
曲线参数方程
曲线参数方程是数学中的一种表示曲线的方法，它是由参数方程得到的。
参数方程是指将一条曲线的x和y坐标都表示为一个值t的函数，这个t值称为参数。
曲线参数方程可以用于描述各种复杂的图形，它常用于物理、工程和计算机图形学等领域。
曲线参数方程的一般形式是：
x=f(t)
y=g(t)
其中，函数f(t)和g(t)都是关于参数t的函数。
通过不同的参数值t，我们可以得到曲线上的不同点坐标(x,y)。
例如，对于一个圆形，它的参数方程可以表示为：
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
其中，r为圆的半径，参数t在0～2π之间取值，表示圆上的点的位置。
类似地，对于其他的曲线形状，可以通过不同的f(t)和g(t)函数来表示。
使用曲线参数方程可以使得我们更加方便地进行坐标运算和图像变换。
同时，在一些数学问题中，例如求曲线长度、曲线与坐标轴围成面积等，使用参数方程可以更加方便地进行计算。
需要注意的是，在使用曲线参数方程时，我们需要根据实际问题确定参数t的取值范围，以确保我们得到的曲线上的点都是符合要求的。
总之，曲线参数方程是一种非常有用的数学工具，它为我们的数学和工程问题提供了方便、快捷的解决方案。
无论是从理论上还是实际应用中来看，曲线参数方程都是一种非常值得探究和研究的数学工具。
2.4一些常见曲线的参数方程
t1
,1
1 2
t1
),
B(1
3 2
t
2
,1
1 2
t
2
)
将直线的参数方程代入圆的方程 x2 y2 4
并整理得 t 2 ( 3 1)t 2 0
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
| PA| | PB|
(
3 2
t1)2
(
1 2
t1
)2
(
3 2
t 2 )2
如下图轮子在滚动过程中会形成如下图形设b为圆心圆周上的定点为m开始时位于o处圆在直线上滚动时点m绕圆心滚动作圆周运动转过角后圆与直线相切于点a线段oa的长等于弧ma的长即oar这就是圆周上定点m在圆b沿直线滚动过程中满足的几何条件我们把该曲线的叫平摆线简称摆线又称旋轮线根据题意建立如图直角坐标系设圆的半径为r设开始时定点m在原点圆滚动了从点m分别作abx轴的垂线垂足为cd设点m的坐标为xy取为参数依题意得cbabacdmmcoadaoaodcossin10一
1.曲线 x 1 t 2, y 4t 3 与X轴交点的直角坐标为（）
Α(1,4) Β( 25 ,0) C(1,3) D( 25 ,0)
16
16
2.直线 x 2 3t上对应两点间的距离为（）
y -1 t
Α.1 Β. 10 C10 D2 2
x 3 t sin200
使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方 便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计 这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.
1.当
时，θ 求π2出, 32渐π 开线
双曲线的四种参数方程
双曲线的四种参数方程双曲线是数学中的一种曲线，它可以通过四种不同的参数方程来描述。
在本文中，将分别介绍四种参数方程，并详细讨论每种方程的特点和性质。
第一种参数方程是极坐标方程。
极坐标方程是用极坐标系中的径向距离r和偏离角度θ表示双曲线的方程。
对于双曲线，极坐标方程可以表示为：r = c / cos(θ)其中c是双曲线的焦点到中心的距离。
这个方程表示了极坐标系中距离焦点一定距离的点在角度θ上的位置。
通过选择不同的θ值，可以得到双曲线上的所有点。
第二种参数方程是直角坐标方程。
直角坐标方程是用直角坐标系中的x和y坐标表示双曲线的方程。
对于双曲线，直角坐标方程可以表示为：(x/a)^2-(y/b)^2=1其中a和b是双曲线的参数，它们分别表示x和y轴上的方向对曲线的影响程度。
这个方程表示了满足双曲线定义的所有点。
第三种参数方程是参数化方程。
参数化方程是通过引入参数t，用参数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。
对于双曲线，参数化方程可以表示为：x = a * cosh(t)y = b * sinh(t)其中cosh和sinh是双曲函数。
这个方程表示了通过参数t控制双曲线上的点。
第四种参数方程是参数值方程。
参数值方程是通过引入参数t，用参数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。
x = a * sec(t)y = b * tan(t)其中sec和tan是三角函数。
这个方程通过三角函数来描述双曲线的形状。
以上是四种常见的双曲线的参数方程。
每种方程都有其独特的数学性质和几何特征。
它们在不同的数学和物理领域中有广泛的应用，例如椭圆轨道的描述、反应堆中的粒子运动等。
同时，通过这些参数方程，我们可以更加深入地研究和理解双曲线的形态和性质。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线和曲面是数学领域中的基本概念，它们的研究对于许多学科都有着重要的意义。
在数学中，我们经常会使用参数方程来描述曲线和曲面的性质和特征。
本文将探讨曲线与曲面的参数方程的概念、性质以及应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来描述，参数方程是将曲线上的点与参数之间的关系表示出来。
假设曲线上的每个点都由参数 t 决定，那么曲线的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上的点的坐标，f(t)、g(t)、h(t) 是参数t 的函数。
通过改变参数t 的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点。
例如，我们考虑一个简单的曲线，圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r 表示圆的半径，t 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 t 的值，我们可以获取圆上的任意一点的坐标。
二、曲面的参数方程类似于曲线，曲面也可以用参数方程来描述。
曲面的参数方程是将曲面上的点与两个参数之间的关系表示出来。
假设曲面上的每个点都由参数 u 和 v 决定，那么曲面的参数方程可以写作：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z 表示曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v) 是参数 u 和 v 的函数。
例如，我们考虑一个简单的曲面，球面的参数方程可以写作：x = R*sin(u)*cos(v)y = R*sin(u)*sin(v)z = R*cos(u)其中，R 表示球的半径，参数 u 的取值范围为 0 到π，参数 v 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 u 和 v 的值，我们可以获取球面上的任意一点的坐标。
三、曲线与曲面参数方程的应用曲线与曲面的参数方程在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用于生成曲线和曲面的图像。
通过控制参数的取值范围和函数的形式，我们可以绘制出各种各样的曲线和曲面。
各种曲线PROE的参数方程
45.梅花线(圆角五星)
方程：theta = t*360 r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
9.双弧外摆线 方程： l=2.5
b=2.5 x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)
10.星形线 方程：a=5
x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^3 11.心脏线
方程：a=10 r=a*(1+cos(theta))
theta=t*360 12.圆内螺旋线 方程：theta=t*360
r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta)
13.正弦线 方程：x=50*t y=10*sin(t*360) z=0
14.太阳线 (发光的太阳，见 73) 15.费马曲线（有点像螺纹线） 数学方程：r＊r = a*a*theta
方程：a = 10 b = 20
theta = t*360*3 x = a*cos(theta) y = b*sin(theta)
z=t*12 49.空间螺旋梅花线 方程：theta = t*360*4 r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
z = t*16 50 鼓形线 方程：r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10
方程：r = 5 theta = t*1800 z =(cos(theta-90))+24*t 21.三叶线 方程：a=1
(完整word)2.2常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)同样,中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数） 2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心,,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ,点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y .由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ====3当半径OA 绕点O 旋转一周时,就得到了点M 的轨迹,它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角,它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数,0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b+=>>中,令cos ,sin x y a b ϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数,0)a b >> 注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是:,a x a b y b -≤≤-≤≤,结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
22 rr 22 a a 2 2 2 2 rra c c a o o ss ( ) 2 ( r 2 a 2 ) 2 4 r 2 a 2 c2 o a 4 s 即
r22a2co2s
co 2 s0 (0,) (3,5) (7,2)
y
4 4 4 .4
直角系方程
(x 2y2)2 2 a 2(x 2y2)
o
P
x
2a
.
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
y
.
–a
o
ax
来看动点的慢动作
y
–a
o
ax
来看动点的慢动作
.
直角坐标方程为：
2
2
2
x3 y3 a3
y
P
. .–a
极坐标方程为
x a cos 3
y
a
sin3
0 2
P
F(a,0)
0
r
F(a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =
4
,
3 4
,
5 4
,
7 4
. .
例1 求双纽线 r22a2co2s所围面积
由对称性
S
r()d
Hale Waihona Puke acosd2a2y
4
0
2a x
. . . .
9. 阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
yrsin a sin
l i my a θ0
y a是曲线的渐近线
0
a
.
r
. .
双曲螺线
r a 当 从 0 –
0
a
.
r
.
例2 求曲r线 coθs及rcoθs分别所围成的 共图形
部分的面积
由 3cos =1+cos
r =3cos
y
得交点的坐标 θ
S = 2
π 3
1(1coθs)2dθ
]
π
4 π
6
1co 2
s
2θ
dθ
0
1x
.
例4 圆ρ1被 心 形 ρ线 1coθs分 割 为 两 部 分 部， 分
的面积。
y
=1+cos
S = (coθs)dθ
s
s2
s1
o
1
s
s
x
s
s
. . . . . .
例5.求由双纽线 (xy)a(xy) 所围而且 xy在 a 22 圆周
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
A B
A B
A
B
滑板的轨道就是这条曲线
.
y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑 动地滚动，动圆圆周上 任一点所画出的曲线。
a
o
a
x
y
.
a
o
来看动点的慢动作
a
x
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
0
r
0
r
.
0
请问：动点的轨迹什么样？
r
.
再看一遍
0
r
.
0
r
.
阿基米德螺线 r =a
0
r
.
阿基米德螺线 r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
r
.
阿基米德螺线 r =a 当 从 0 –
0
r
.
10 双曲螺线 r a 这里 从 0 +
limr 0 θ
极点是曲线的渐近点
02
π
o3
S
2
π
2 π
3
9cos2θ dθ 2
x
3
=1+cos
. . . . .
例3.求曲r线 sinθ及r2 cosθ分别所围成的共 图形
部分的面积
y
令 cos2 = 0, θ k
由 sin > 0, θ
联立后得交点坐标
θ ,
θ
[ S = 2
π 6
1
2s
i
n2θ
dθ
02
θ π 4 θ π 6
o
ax
.
6. 圆的渐伸线
一直线沿圆周滚转（无滑动） y 直线上一个定点的轨迹
参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
0
a
x
再看一遍
.
y
0
a
x
y
0
a
x
.
y
0
a
x
.
参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
y
M (x,y)
a
t
t
0
a
x
.
试由这些关系推出曲线的方程
( -t, t-1)
4. 当 t由 , 动(点 0 ,由 0 (), -) 当t由 , 动点 ( 由 ,) (0,0)
当t 由 ,
动点(0由 , 0)(0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
8.双纽线 FF2a, 到F与F距离之积为a2的点的轨迹 ( a2)
内部的面积。
令 r = 0,
θ k
双纽线化成极坐标 racoθ s
由对称性
S = 4
π 12
a2 2
+
π
4 π
6
1a2cos 2
2θ
dθ
( )a
令r a ,
y
θ k
θ π 4
θ π 6
0
a
ax
. . . . .
结束语
谢谢大家聆听！！！
47
7.狄卡儿叶形线 x 3y3 3 ax 0y (a0 )
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
当t, (x,y) (0,0) 当t 0, 也(有 x,y)(0,0)
故在原点，曲线自身相交.
x
3 at t3 1
y
3 at 2 t3 1
这就是旋轮线的参数方程。
2. 旋轮线也叫摆线（单摆） 将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
.
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
3. 旋轮线是最速降线 最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
a
x
.
x
来看动点的慢动作
参数方程
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a
at
0
a
a
2a
x
.
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
常见曲线的参数方程
主 目 录（1–10 ）
1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线 3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线 9 阿基米德螺线 10 双曲螺线
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的 曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。