最新北京科技大学-度第1学期高等数学a试题及答案

合集下载

北京科技大学高数A答案4.2

习题4-2 （A ）1.比较下列积分大小（1）211e e x x dx dx ⎰⎰和解：利用例2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x)≣0,而()baf x dx ⎰是数值，它只有是零和不是零两种可能，设若()baf x dx ⎰=0，则由已证得例2.1结果，在[a,b]上必有f(x)≡0,与f(x)不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在[a,b]上，f(x)≣0且f(x)不恒等于0，则()baf x dx ⎰>0.210(e e )x xdx -⎰在[0,1]上e x -2ex≣0且e x -2ex不恒等于0，所以21(e e )x xdx -⎰>0，所以1e xdx ⎰>210e xdx ⎰。

（2）1123x dx x dx ⎰⎰和解：11123230( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[0,1]上x 2-x 3≣0且x 2-x 3不恒等于0，所以111232300( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰>0，所以12x dx ⎰>13x dx ⎰。

（3）222311x dx x dx ⎰⎰和解：2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰，因为在[1,2]上x 2-x 3 ≤0且x 2-x 3不恒等于0，所以2222323111( )x dx x dx x x dx -=-⎰⎰⎰<0，所以221x dx ⎰<231x dx ⎰。

（4）2222sin sin x x dx dx xxππ⎰⎰和解：构造函数f(x)= sinx-x,则f ’(x)=cosx-1,在（0，2π] 上单调递减，从而有f(x)= sinx-x <f(0)=0,所以sinx <x,而在（0，2π] 上sinx ,x 都是大于0的，所以sinx/x 在（0，2π] 上小于1，所以在（0，2π] 上sin x x>22sin x x，所以222sin sin x x dx xxπ-⎰（）>0，有20sin x dx xπ⎰>222sin x dx xπ⎰（5）110arctan ln(1)1x x dx dx x++⎰⎰和解：构造函数f(x)=ln(1+x)-arctan 1x x+,在[0,1]上f ’(x)=222arctan (1)(1)(1)xx x x x ++++>0,所以f(x)在[0,1]上是增函数 f(x)>f(0)=0,有10arctan (ln(1))1x x dxx+-+⎰>0，于是1ln(1)x dx +⎰>10arctan 1x dx x+⎰。

a班大一下学期高数试题及答案

a班大一下学期高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限的概念是微积分的基础，以下哪个选项正确描述了极限的定义？A. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值小于任意正数时，函数在该点的极限存在。

B. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值小于任意正数时，函数在该点的极限不存在。

C. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值大于任意正数时，函数在该点的极限存在。

D. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值大于任意正数时，函数在该点的极限不存在。

答案：A2. 以下哪个选项正确表示了函数的连续性？A. 函数在某点的左极限与右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值。

B. 函数在某点的左极限与右极限都存在且相等，且等于该点的函数值。

C. 函数在某点的左极限与右极限都不存在。

D. 函数在某点的左极限与右极限存在但不相等。

答案：B3. 以下哪个选项是正确的导数定义？A. 函数在某点的导数是函数值的变化率。

B. 函数在某点的导数是函数值的变化量。

C. 函数在某点的导数是函数值与自变量值的比值。

D. 函数在某点的导数是函数值与自变量值的乘积。

答案：A4. 以下哪个选项正确描述了不定积分的概念？A. 不定积分是求原函数的过程。

B. 不定积分是求导数的过程。

C. 不定积分是求函数的极值的过程。

D. 不定积分是求函数的定积分的过程。

答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2，其在x=2处的导数为______。

答案：42. 若函数f(x) = sin(x)，则其不定积分为______。

答案：-cos(x) + C3. 设函数f(x) = e^x，其在x=0处的极限为______。

答案：14. 若函数f(x) = ln(x)，则其在x=1处的导数为______。

答案：1三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的导数。

答案：122. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 4的不定积分。

北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案

北京科技大学2009--2010学年第一学期高等数学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级学号姓名考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。

高数a大一期末考试题简单及答案

高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，如果对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。

以下哪个选项不是极限的定义？A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案：D2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案：B5. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案：C6. 以下哪个选项是正确的定积分？A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案：B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解？A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案：A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案：B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 型不定式，分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式，分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时除以分母的导数答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

大学数学1试题(A)参考答案

大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。

根据选项，可知C选项是正确答案。

2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。

根据选项，可知B选项是正确答案。

3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。

根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

根据选项，可知A选项是正确答案。

4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。

根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。

5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。

对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。

根据选项，可知C选项是正确答案。

二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。

根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。

2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。

根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。

3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。

根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。

北京 2023年历年真题考试：高等数学(一)历年真题汇编(共62题)

北京 2023年历年真题考试：高等数学（一）历年真题汇编（共62题）1、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C2、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D3、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D4、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B5、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C6、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D7、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C8、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C9、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C10、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D11、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B12、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D13、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A14、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D15、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B16、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D17、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B18、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是: （单选题）A.B.C.D.试题答案：A19、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A20、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D21、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A22、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C23、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D24、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a=（单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B25、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A26、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B27、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D28、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C29、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C30、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A31、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A32、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B33、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e2xB. 2+4e2xC. 2x+2e2xD. 2x+4e2x试题答案：B34、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A35、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A36、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C37、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C38、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B39、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D40、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D41、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D42、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C43、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A44、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C45、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D46、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C47、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D48、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C49、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是:（单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D50、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B51、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C52、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D53、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A54、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C55、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A56、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A57、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A58、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D59、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C60、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B61、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C62、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A。

大学数学1试题（A）参考答案

大学数学 I （A 卷）参考答案选择题选择题1．C 2. D 3. A 4. A 二、填空题二、填空题 5. xdx xsin 5ln 5cos - 6. 0 7.61 8.1,1==b a三、计算题三、计算题 9．原式xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-=® 2分xx x x11ln ln lim 1-+=® 4分21111limxx x x +=® 6分21=7分 10．A X A E =-)(1分()÷÷÷øöçççèæ----=--1101211201A E 5分÷÷÷øöçççèæ-----=-=-210111121)(1A A E X 7分11．令tdt dx t x x t 2,,2=== 2分原式ò=pcos tdt t 3分 ò-=ppsin sin tdt tt5分 2cos 0-==p t7分 12．原式òò=12xxxydy dx3分()ò-=104221dx xx x5分 241=7分13．两边求导得．两边求导得xyyyye y e y xe e +=+'' 4分xyy x exee ye y --=' 7分四、讨论题：（每小题9分，共18分） 14．将微分方程化为．将微分方程化为xx y x dxdysin 1=+ 2分其通解为其通解为xxc y cos -=7分由初始条件得1-=p c ，所求解为，所求解为xx y cos 1--=p9分15．对方程组的增广矩阵做初等变换，化为阶梯矩阵．对方程组的增广矩阵做初等变换，化为阶梯矩阵÷÷÷øöçççèæ--®÷÷÷øöçççèæ-40003130101161031011121k k 3分当4¹k 时，方程组无解。

大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印

第一学期期末考试机电一体化专业《高等数学》试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。

2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。

3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。

5．设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。

1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )；Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )；Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点Ｂ. 驻点肯定是极值点Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。

《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案

《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分，共20分)1．与函数2()f x ln x =相同的函数是[ C ]. A ．lnx B ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ]. A ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C ．511,3αβ== D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时，极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A ．－1B ．0C ．1D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在B ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<-D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A ．sin 2cos 2x x x C ++ B ．sin 2cos 2x x x C -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+ D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c满足0a b ⋅= 与0a c ⨯= ，则b c ⋅ 等于[ A ].A ．0B ．－1C ．1D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t = 1 . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . 3．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = 1 .4．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m = ，8n = ，10p = ，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯=144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学试卷教学班号序号班级学号姓名密封线1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2=(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=223cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xyy y e y x y e+'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t =⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分已知星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1）计算星形线的全长； a - 0 a x 2）求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 2224()()dy dx L dt dt dtπ=+⎰2 a - 222249sin cos a t tdt π=⎰46a = 52）面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=- 有驻点222x k -= 5 则22max132241282S k k -==+为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --= 为所求直线的方向向量得到所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分。

北京科技大学2010-2011学年第一学期高等数学AI期末A卷及答案

北京科技大学2010-2011学年第一学期高等数学A （I ）期末（A ）试卷院（系）________ 班级________学号________姓名________考场_______说明：1、要求正确的写出主要的计算或推倒过程，过程有错或只写答案者不得分；2、考场、学院、班级、学号、姓名均需全写，不写全的试卷为废卷；3、涂改学号以及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上作答，在其它纸上解答一律无效. 1.曲线{(1)0t 10y x t t e y +-=++=在t=0处的切线方程为。

2.若f （t ）=21lim (1)tx x t x→∞+，则()f t '=。

3.已知2(tan )sec f x x '=，则f （x ）= 。

4.当c=时，曲线2y x =和3(0)y cx c =>所围成的图形的面积为23。

5.幂级数21n nn e x n∞=∑的收敛半径为。

一、填空题（每小题4分，共24分）0ζ>，当(,)x a a ζζ∈-+时必有（）（A ）()(()())0x a f x f a --≥（B ）()(()())0x a f x f a --≤（C ）2()()0()()f t f x x a t x -≥≠-（D ）2()()0()()f t f x x a t x -≤≠-7.设函数f （x ）有原函数xlnx ，则()xf x dx =⎰（）（A ）211(ln )24x x c ++（B ）211(ln )42x x c ++（C ）211(ln )42x x c-+（D ）211(ln )24x x c-+8.设15sin 00sin (),()(1)xx t ta x dt x t dt tβ==+⎰⎰，则当0x →时，()()a x x β是的（）（A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶但不等价的无穷小（D ）等价无穷小9.设10(1,2,),n nn a n L a ∞=>=∑且收敛，常数,2πλ∈（0，，则级数n1-1tan )nn n a n λ∞=∑（）（（）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与λ有关10.曲线1nxy xe =（）（A ）仅有水平渐近线（B ）仅有铅直渐近线（C ）无渐近线（D ）既有铅直渐近线又有斜渐近线11.求极限22201lim (1)x t x x t e dt x -→+∞+⎰. 12.求22ln xxedx +⎰.13.求sin 2x xdx ⎰.14.求。

北京科技大学高数A答案4.3

习题4-3 （A ）1. 单项选择题（1）设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰，则当x →0时f(x)是g(x)的（ B ）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小（D ）同阶但非等价无穷小提示：洛必达法则（2）设f(x)是连续一阶导数，f(0)=0,f ’(0)≠0, 220()()()xF x x t f t dt =-⎰。

且当x →0时，F ’(x)与x k 为同阶无穷小，则k 等于（ C ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (3) 把x →0时的无穷小2230cos ,,xx t dt t dt αβγ===⎰⎰，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确次序是（ B ） (A)α,β,γ (B) α,γ,β (C) β,α,γ (D) β,γ,α2.设f(x)在(,)-∞+∞上连续，c 为某常数，且对任意的x ∈(,)-∞+∞,有3c()540xf t dt x =+⎰，则f(x)=15x 2;c=-2.3.试求函数0sin xy tdt =⎰ 当x=0和x=4π时的导数。

0(sin )'sin x dy tdt x dx ==⎰,sin 00x dydx===，4sin42x dydxππ===4.证明2sin x ，2cos x -与1cos 22x -都是同一个函数的原函数，你能解释为什么同一个函数的原函数在形式上的这种差异吗？同一个函数的原函数在形式上的差异只是一个常数C 。

例如2sin x ，2cos x -与1cos 22x -都是函数2sinxcosx 的原函数。

2sin x =12cos x -，22111cos 2(12sin )sin 222x x x -=--=-+5.用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分（1）1204x dx ⎰（2）11edx x⎰（3）0sin xdx π⎰ （4）11xdx -⎰（5）20(31)ax x dx -+⎰（6）22411()x dx x +⎰ （7）4dx ⎰ （8）21dx x+ （9）221dx a x + （10）420213311x x dx x -+++⎰ （11）240tan xdx π⎰（12）301sin )2x x dx π-⎰（13）设20()0x x f x xx ≤⎧=⎨>⎩，求11()f x dx -⎰解（1）12301444033x dx x ==⎰（2）11ln 11e e dx x x ==⎰ （3）0sin cos 20xdx x ππ=-=-⎰（4）111122()1xdx xdx xdx ---=--+=⎰⎰⎰（5）23232011(31)()022aa x x dx x x x a a a -+=-+=-+⎰（6）2234312111121()()1338x dx x x x +=-=⎰（7）392244921271)()4326dx x dx x x ==+=⎰⎰ （8）21arctan 16dx xπ==+ （9）220113dx a x a a π==+ （10）222031031)1(arctan )1141x x dx x x xπ-++=+=+-+⎰（（11）224400tan (sec 1)(tan )144xdx x dx x x ππππ=-=-=-⎰⎰（12）3300111sin )sin()cos()1323322x x dx x dx x πππππ-=-=-=-=⎰⎰（13）1010122311101111()()()10236f x dx f x dx f x dx xdx x dx x x ---=+=+=+=--⎰⎰⎰⎰⎰ 6.求下列各导数（1）0arctan x d tdt dx ⎰ （2）411b x d dt dx t +⎰ （3）32x x d dx ⎰ （4）cos 2sin cos(dt x x d t dx π⎰）（5）6)d t dt dx + （6）32()()x x d x t t dt dx ϕ+⎰，其中()x ϕ是连续函数。

高数A1练习题参考答案(原题在主页中)

2019—2020(1)高数A1(B 卷)(正考)参考答案与评分细则 2019.12.28 出题组考试时间：2020年01月07日上午9:00~11:00一、填空题（每题3分，共15分）：1、31．2、dx x x x )()(222ϕϕ'． 3、12． 4、C x F +−)23(31． 5、2π．二、单项选择题（每题3分，共15分）：1、)(D2、)(D3、)(C4、)(A5、)(B三、计算题（每小题6分，共12分）：解1：原式3020sin lim 22sin limx xx x x x x x x −=⋅−=→→ …2′203cos 1lim2x xx −=→ …4′22032lim2x x x →= …5′ 31= …6′解2：原式⋅−−→⎪⎭⎫⎝⎛−+=xx x x x x 13310131lim …3′xxx x x x x −−→→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛−+=13lim3100131lim …5′ 3e = …6′四、计算题（每小题6分，共18分）：解1：)11(2022'+++='⎰dt t x y x …1′)()(112)(22222'+++'=x x x x …3′42121x x xx +++=…4′dx y dy '= …5′dx x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=42121 …6′ 解2：y y y e x y x '⋅='−+−2)1(4 …3′yx y x e y e x y −−++='∴24， 02≠+−yx e y …4′ 5)1(='=∴y k 切 …5′切线：)1(351−=−x y …6′解3：)1()(22'+'=t t e te dx dy …1′ttt ete e 22222+= …3′ 21+=t …4′ )1()21(222'+'+=∴te t dx y d …5′ t e 221= …6′五、计算题（每小题6分，共18分）：解1： ()⎰⎰=4ln ln 43xd x dx x x …2′⎰−=)(ln 44ln 44x d x x x …4′⎰−=dx x x x 34414ln …5′C x x x +−=164ln 44 …6′解2：原积分dx x ⎰−=2|sin |2ππ …2′dx x dx x ⎰⎰+−=−204sin 2sin 2ππ …3′[][]2004cos 2cos 2ππx x −=− …5′122−= …6′解3：令12+=x t ，则2)1(2−=t x …1′且40:→x 时，有31:→t …2′故原积分⎪⎪⎭⎫⎝⎛−+=⎰2111231t d t …3′ dt t dt t t ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+−=+=31311111 …4′ 31)]1ln([+−=t t …5′ 2ln 2−= …6′六、（本题8分）：解：函数y 的定义域为R x ∈ …1′ 令0)23()(2=+−='xe x x xf …2′ 解得驻点11=x ，22=x …4′ 列表讨论如下：综述：函数)(x f 在区间]1(，−∞，)2[∞+，上单调增加，在区间]21[，上单调减少，极大值为 e f 3)1(=，极小值为2)3(e f = …8′七、（本题8分）：解：面积: ⎰−=40)21(dx x x A …2′ 42234132⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=x x …3′34=. …4′ 体积 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=4022)21()(dx x x V π…6′ 403212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=x x π …7′38π=…8′八、（本题6分）：证：设3131)(x xx f +−+=，0≥x …1′当0>x 时，0)1(1131)(32>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−='x x f …3′ 说明当0>x 时，)(x f 单调递增 …4′ 即当0>x 时，0)0()(=>f x f …5′也就是0131)(3>+−+=x x x f 故当0>x 时，3131x x+>+ …6′。

大一高数a1期末试题及答案

大一高数a1期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. 8D. 12答案：A2. 计算极限lim(x→0) (sin x / x)。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 求不定积分∫(3x^2-2x+1)dx。

A. x^3 - x^2 + x + CB. x^3 + x^2 - x + CC. x^3 - x^2 + x - CD. x^3 + x^2 + x - C答案：A4. 判断以下级数是否收敛：∑(n=1 to ∞) (1/n^2)A. 收敛B. 发散答案：A5. 求函数y=ln(x)的导数。

A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值：______。

答案：172. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值：______。

答案：1/33. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：x=1, x=24. 判断函数f(x)=x^3-3x+1的单调性。

答案：在区间(-∞, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减。

三、解答题（共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点，并说明极值类型。

（15分）答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1, x=2。

通过二阶导数测试，f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(2)=6>0，所以x=1处为极大值点，x=2处为极小值点。

2. 计算定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx，并求出原函数。

（15分）答案：原函数为F(x)=1/3x^3-x^2+x，定积分值为F(2)-F(0)=8/3-4+2=2/3。

北京科技大学2024-2025学年度第1学期高等数学A试题及答案

装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）217．在空间直角坐标系下，z 轴的对称式方程为【】．（A ）1001zy x ==-；（B ） 2300--==z y x ；（C ）001zy x ==；（D ）10z y x == ． 8．函数)(x f 在点a 可导，则ax a f x f a x --→)()(lim 22下列结论正确的是【】( A ) )('a f ( B ) )('2a f ( C ) )()('2a f a f ( D ) 09. 已知函数)(x f 具有随意阶导数，且2)]([)('x f x f =，则当n 为大于2的整数时，)(x f的n 阶导数)()(x f n 是【】（A ） 1)]([!+n x f n （B ）1)]([+n x f n （C ）n x f 2)]([ （D ）n x f n 2)]([!。

10. 设)(x f 的导数是x sin ，则)(x f 的一个原函数为【】（A ）1+x sin （B ）1-x sin （C ）1+x cos （D ）1-x cos三、（8分）计算x ->+∞四、（8分）设⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=22)1(21)1ln(t arctgt y t x 求.,22dx y d dx dy五、（8分）求不定积分⎰-dx xx1arcsin六、（8分）利用定积分定义计算极限 121lim +∞→+++p pp p n n n (0)p >)装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊七、（8分）求极限 xx x x cos 11sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛八、（8分）求定积分312x dx --⎰九、（8分）求极限 )1ln(d lim21cos 02x te xt x +⎰-→十、（5分）已知汽车行驶每小时的耗油费用为y （元），它与行驶速度x （公里 / 小时）的关系为325001x y =．若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少？装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊十一、（5分）如图：已知半径为R 的半球形水池充溢了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时，水面下降的高度。

《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷A)及参考答案

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷A ）一、选择题（每题4分，共40分）1．当0x →时，2sin x x −是x 的A ．高阶无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．低阶无穷小D ．等价无穷小2．设()g x 与()f x 互为反函数，则12f x的反函数为A ．(2)g xB ．(2)f xC ．2()f xD ．2()g x3．011lim sin sin x x x x x →− 的结果是A ．1−B ．1C ．0D ．不存在4．已知322,1()3,1x x f x x x ≤ = > ，则()f x 在1x =处的 A ．左、右导数都存在 B ．左导数存在，右导数不存在C ．左导数不存在，右导数存在D ．左、右导数都不存在5．曲线2y =+(1,2)M 处的切线 A ．不存在B ．方程为1x =C ．方程为2y =D ．方程为12(1)3y x −=−6．设函数()f x 在0x 的某个邻域内有定义，且004()()lim 0x x f x f x A x →−=>，则 A ．0()f x 一定是()f x 的一个极大值 B ．0()f x 一定是()f x 的一个极小值 C ．0()f x 一定不是()f x 的极值D ．不能断定0()f x 是否为()fx 的极值7．设()f x 是定义在[0,4]上的连续函数，且221()d x f t t x −=∫，则(2)f =A ．8B ．8−C ．48D ．48−8．设2,01()2,12x x f x x x ≤≤= −<≤ ，0()()d x F x f t t =∫且[0,2]x ∈，则A ．32,013()12,1232x x F x x x x ≤≤ = +−<≤B ．32,013()72,1262x x F x x x x ≤≤ = −+−<≤C ．332,013()2,1232x x F x x x x x ≤≤ = +−<≤D ．32,013()2,122x x F x x x x ≤≤ = −<≤9．曲线(1)(2)y x x x =−−与x 轴所围成的图形面积可表示为 A ．20(1)(2)d x x x x −−−∫B ．121(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫C ．2(1)(2)d x x x x −−∫D ．211(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫10．设1()x ϕ和2()x ϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x ′+=的两个线性无关的解，则它的通解是A ．12[()()]C x x ϕϕ+B ．12[()()]C x x ϕϕ− C ．122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+D ．122[()()]()x x x ϕϕϕ−+二、填空题（每题4分，共24分）1．设()f x 连续，且2()()d xax F x f t t x a =−∫，则lim ()x a F x →=___________．2．设()f x 为奇函数，且(1)2f ′=，则31d()d x f x x =−=___________．3．221d (1)(4)x x x +∞=++∫___________．4．设123y x =+，则()()n y x =___________．5．=___________．6．曲线1(32)e xy x =+的斜渐近线为___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22d d yxy x y x=+满足初始条件(e)2e y =的特解．2．求函数πarctan 2(1)e x y x +=−的单调区间与极值．3．计算下列积分．（1）求不定积分cos d 1cos xx x +∫．（2）求定积分1220arctan d (1)xx x +∫．4．求摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =−> =−的一拱绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．5．证明：当01x <<ln(1)arcsin x x+<．6．设()f x 在区间[0,1]上可导，1220(1)2()d f x f x x =∫，证明：存在(0,1)ξ∈，使得2()()0f f ξξξ′+=．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷A ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分）1．当0x →时，2sin x x −是x 的 A ．高阶无穷小 B ．同阶但非等价无穷小 C ．低阶无穷小D ．等价无穷小答案 B解析由洛必达法则知200sin 2cos limlim 11x x x x x xx →→−−==−，故2sin x x −是x 的同阶但非等价无穷小，应选B 项．2．设()g x 与()f x 互为反函数，则12f x的反函数为A ．(2)g xB ．(2)f xC ．2()f xD ．2()g x答案 D解析由()g x 与()f x 互为反函数可知，[()]g f x x =，1122g fx x = ，所以可得122g f x x=，故12f x的反函数为2()g x ．故选D 项．3．011lim sin sin x x x x x →−的结果是A ．1−B ．1C ．0D ．不存在答案 A解析 0001111lim sin sin lim sin lim sin 011x x x x x x x x x x x →→→−=−=−=−，应选A 项．4．已知322,1()3,1x x f x x x ≤ = > ，则()f x 在1x =处的A ．左、右导数都存在B ．左导数存在，右导数不存在C ．左导数不存在，右导数存在D ．左、右导数都不存在答案 B解析由条件可得2(1)3f =，所以 31122()(1)33(1)lim lim 211x x x f x f f x x −−−→→−−′===−−，2112()(1)3(1)lim lim 11x x x f x f f x x +−+→→−−′===∞−− 故()f x 在1x =处左导数存在，右导数不存在，应选B 项．5．曲线2y =+(1,2)M 处的切线 A ．不存在B ．方程为1x =C ．方程为2y =D ．方程为12(1)3y x −=− 答案 B解析由条件可得y ′=1lim x y →′→∞，所以在点(1,2)M 处的切线为1x =，故选B 项．6．设函数()f x 在0x 的某个邻域内有定义，且004()()lim 0x x f x f x A x →−=>，则 A ．0()f x 一定是()f x 的一个极大值 B ．0()f x 一定是()f x 的一个极小值 C ．0()f x 一定不是()f x 的极值D ．不能断定0()f x 是否为()f x 的极值答案 B解析由条件易知，在0x 的某个邻域内，0()()0f x f x −>，所以0()f x 一定是()f x 的一个极小值，故选B 项．7．设()f x 是定义在[0,4]上的连续函数，且221()d x f t t x −=∫，则(2)f =A ．8B ．8−C ．48D ．48−答案 A 解析等式221()d x f t t x −=−∫两边同时对x 求导可得(2)2f x x −=，代入4x =可得(2)8f =，应选A 项．8．设2,01()2,12x x f x x x ≤≤= −<≤ ，0()()d x F x f t t =∫且[0,2]x ∈，则A ．32,013()12,1232x x F x x x x ≤≤ = +−<≤B ．32,013()72,1262x x F x x x x ≤≤ = −+−<≤ C ．332,013()2,1232x x F x x x x x ≤≤ = +−<≤D ．32,013()2,122x x F x x x x ≤≤ = −<≤答案 B解析当01x ≤≤时，320()d 3x x F x t t==∫；当12x <≤时，21211()d (2)d 2232xx F x t t t t x =+−=+−−+∫∫2172262x x =−+−，故选B 项． 9．曲线(1)(2)y x x x =−−与x 轴所围成的图形面积可表示为A ．2(1)(2)d x x x x −−−∫B ．121(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫C ．2(1)(2)d x x x x −−∫D ．211(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫答案 D解析曲线(1)(2)y x x x =−−与x 轴的三个交点为x =0，1，2．当01x <<时，0y <，当12x <<时，0y >，所以围成曲线的面积可表示成选项D 的形式．10．设1()x ϕ和2()x ϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x ′+=的两个线性无关的解，则它的通解是A ．12[()()]C x x ϕϕ+B ．12[()()]C x x ϕϕ−C ．122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+D ．122[()()]()x x x ϕϕϕ−+答案 C解析因为1()x ϕ和2()x ϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x ′+=的两个线性无关的解，所以12[()()]C x x ϕϕ−是方程()0y P x y ′+=的通解，从而()()y P x y Q x ′+=的通解为122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+，故选C 项．二、填空题（每题4分，共24分）1．设()f x 连续，且2()()d xa x F x f t t x a=−∫，则lim ()x a F x →=___________．答案 2()a f a解析 2222()d lim ()lim ()d lim lim ()()xx a a x a x a x a x a f t t x F x f t t a a f x a f a x a x a→→→→====−−∫∫． 2．设()f x 为奇函数，且(1)2f ′=，则31d()d x f x x =−=___________．答案 6解析因为()f x 为奇函数，所以()f x ′为偶函数，由323d()3()d f x x f x x′=可得 31d()3(1)3(1)6d x f x f f x =−′′=−==． 3．2201d (1)(4)x x x +∞=++∫___________．答案π12解析这是一个反常积分，计算得2222000111111d lim d lim arctan arctan (1)(4)314362tt t t x x x x x x x x +∞→+∞→+∞ =−=− ++++ ∫∫ 11πlim arctan arctan 36212t t t →+∞ =−=． 4．设123y x =+，则()()n y x =___________．答案 1(1)!2(23)n n n n x +−⋅⋅+解析由1(23)y x −=+得2(1)(23)2y x −′=−×+×，32(1)(2)(23)2y x −′′=−×−×+×，归纳总结可得()1(1)!(2()23)n n n n n y x x +−⋅⋅=+． 5．=___________．答案C解析令tan x t =，故2d d(tan )sec d x t t t ==，则23sec d cos d sin sec t t t t t C C t ==+=∫∫．6．曲线1(32)e xy x =+的斜渐近线为___________．答案 35y x =+ 解析因为1(32)elim lim 3xx x y x kx x →∞→∞+==，111e 1lim[(32)e 3]lim 32e 51x xx x x bx x x →∞→∞−=+−=⋅+=，所以曲线1(32)e xy x =+的斜渐近线为35y x =+．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22d d yxy x y x =+满足初始条件(e)2e y =的特解．解由22d d yxy x y x=+得22d d y x y x xy+=，令yu x=，原方程可化为 d 1d u u xu x u+=+，解得22ln u x C =+，代入(e)2e y =可得2C =，故所求方程的特解为2222ln 2y x x x =+．2．求函数πarctan 2(1)e x y x +=−的单调区间与极值．解由条件易得πππ2arctan arctan arctan 222221e (1)ee11x x x x x y x x x ++++′=+−⋅=⋅++，令0y ′=，解得1x =−和0x =．当1x <−时，0y ′>；当10x −<<时，0y ′<；当0x >时，0y ′>．所以函数的单调递增区间为(,1]−∞−和(0,)+∞，单调递减区间为[1,0]−．且1x =−为极大值点，极大值为π4(1)2e y −=−；0x =为极小值点，极大值为π2(0)e y =−．3．计算下列积分．（1）求不定积分cos d 1cos xx x+∫．解222cos cos (1cos )1d d d(sin )(csc 1)d csc cot 1cos sin sin x x x x x x x x x x x C x x x −==−−=−++++∫∫∫∫．（2）求定积分1220arctan d (1)xx x +∫．解令tan x t =，则πππππ224124444224000arctan sec cos 21d d cos d d d(sin 2)(1)sec 244xt tt t t t x t t t tt t t x t+====+ + ∫∫∫∫∫ ππ224400π1cos 2ππ1[sin 2]644264168t t t =++=+− ． 4．求摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =−> =−的一拱绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．解所求体积为2π2π2π2π22233π()d πd πd π(1cos )d a a a V f x x y x y x a t t ====−∫∫∫∫32ππ33636001cos 8πd 32πsin d 32π222t t t a t a a I − ==∫∫ 323531π32π5π6422a a ××××=．注这里用到了华里士公式ππ2201321,123sin d cos d 131π,222n nn n n n n n I x x x x n n n n n −− ×××× −=== −− ×××× −∫∫ 为大于的奇数为正偶数． 5．证明：当01x <<ln(1)arcsin x x+<．证明令()(1)ln(1)f x x x x =++，则(0)0f =，且()ln(1)0(01) f x x x x ′=+><<，由(0)0()0f f x = ′>可得，当01x <<时，()0f x >，化简整理得ln(1)arcsin x x+<． 6．设()f x 在区间[0,1]上可导，1220(1)2()d f x f x x =∫，证明：存在(0,1)ξ∈，使得2()()0f f ξξξ′+=．证明令2()()g x x f x =，由积分中值定理，存在10,2c∈，使得12220(1)2()d ()f x f x x c f c ==∫，即()(1)g c g =．显然2()()g x x f x =在[0,1]上可导，由罗尔中值定理，存在(,1)(0,1)c ξ∈⊂，使得()0g ξ′=．而2()2()()g x xf x x f x ′′=+，故2()()0f f ξξξ′+=．。

北京科技大学2003-2004学年度第一学期高等数学(A)试题及答案

北京科技大学 03 级《高等数学AI 》期末试题120分钟满分100 2004.1一．填空题 (每小题4分，共20分) 1．设 =⋅⨯-=-==c b a c b a)(}0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{则。

2．已知yx y x z ++=2)2(，则全微分=z d 。

3．设曲线n x y =在（1，1）点处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞→n n ξlim 。

4．设)(x f 可导且x x f 2tan )(cos '=，则=)(x f 。

5．不定积分⎰dx x arctan= 。

二．单项选择题 (每小题4分，共20分)6．若∞=→)(lim 0x f x x 且∞=→)(0lim x g x x ，下列结论正确的是【】(A) ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x (B) 0)]()([lim 0=-→x g x f x x(C) 0)()(1lim 0=→x g x f x x (D) 0)()(1lim=+→x g x f x x7．设b a,是非零向量，且||||b a b a +=-，则下列结论正确的是【】(A) b a b a+=- (B) 0=⋅b a(C) 0 =⨯b a (D) ||||b a=8．设2)(x e x f =，则)0()2003(f 下列结论正确的是【】( A ) 2002 ( B ) 2003 ( C ) 2003！ ( D ) 09．函数141232)(23+-+=x x x x f 在区间 [ -1 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【】(A) 27和7 (B) 34 和 7 (C) 34和18 (D) 27 和 1810．设),(y x f 在点),(00y x 的某邻域中有定义，则下列结论正确的是【】(A) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处连续 (B) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处可微 (C) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 不存在，则),(y x f 在点),(00y x 处不连续 (D) 若),(y x f x ，),(y x f y 在点),(00y x 处连续，则),(y x f 在点),(00y x 处可微三．计算题 ( 每小题6分，共36分 ) 11．求不定积分⎰-dx xx 1arcsin12．求极限)1(lim 2x x x x -++∞→13．求极限 xex x x-+→1)1(0lim14．求极限 )(lim 22222941n n n n n n n n n +++++++∞→15．求定积分⎰22cos πxdx e x16．求通过两条直线 1L :21123-==-z y x 与 2L : 21121zy x =-=+ 的平面方程。