哈尔滨工业大学理论力学第七版 第8章 刚体的平面运动

3r
解： AB作平面运动
vA

O A
vB vA vBA
vB v A / sin 2 r 3

vA
vB
B
vBA
速度投影定理
由 vB vA vBA
沿AB连线方向上投影
vBA
vB
B

A
vA
vB AB vA AB
§8-3 求平面图形内各点速度 的瞬心法
基点：A
vM vA vMA
vCA vMA
A
N
C
vM vA AM
vA vC 0 AC
M
vA


vA
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存 在一个速度为零的点。称为瞬时速度中心，简称 速度瞬心。
t n aB a A aBA aBA
将上式投影到ξ 轴上

A
aB cos 30 a n aB aBA / cos 30
0
n BA 0
O

aA
t BA
aB
n aBA
t aBA
B

2 AB AB / cos 300
aA
0
a
a A aB cos 60


A
vA
x
t n aB a A aBA aBA
将上式投影到ξ 轴上 n aB sin aBA
aB
y
t aBA
B
l aB sin
2
n aBA
O
()

A x

将上式投影到η 轴上 t 2 t aBA l cot ( ) aB cos aBA t aBA 2 BA cot ( ) AB
刚体作平面运动，某瞬时平面图形的角速 度为 ，角加速度为 ，则其上任意两点 A、B的加速度在A、B连线上的投影__。 （A）必相等； （B）相差 AB· 2 ； （C）相差AB· ； （D）相差（ AB· 2 ＋ AB· ） 正确答案是：B
某一瞬时，作平面运动的平面图形内任 意两点的加速度在此两点连线上投影相 等，则可以断定该瞬时平面图形____。 （A）角速度＝0 ；
t CO
vo 解： R d aO dt R
t aCO
2 o
vOaO aO O n aC aCO aO
C
R aO
n CO
aC a
v R R
2
()
已知：半径为r 的车轮沿着半径为R的轨道作纯滚动， 已知图示瞬时圆心O的速度和加速度分别为vO，aO 求：车轮上速度瞬心的加速度

B
C
BC vB vA AC v A cot vA vA AC l sin

O
A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r , AB 求：当 600 时，点B的速度 解： AB作平面运动， 作出速度瞬心C
3r

C
vA AC vB BC
vA
A
2rad/s 4 3rad/s
2
B

aB
已知：曲柄OA= r =0.5 m，以匀角速度 0 4 rad/s 转动，AB 2r BC， 2 r ；图示瞬时OA 水平，AB 45 铅直，
2 2 r 9 将上式投影到η 轴上
AB
t BA
aB cos 60 a A a
0
8 2 r 9t 8 3 2 aBA / AB 27 ( )
已知：车轮作直线纯滚动，vO，aO ，R 求：车轮上速度瞬心的加速度
t n aC aO aCO aCO a
R O
vO
aO
C
§8-5 运动学综合应用举例
点的合成运动
综合应用
刚体的平面运动
刚体的平面运动习题课
已知：滑块E匀速上升，v，l， BE= 2 l ， 求：该瞬时OA的角速度
解： BE作平面运动，
vB B 根据速度投影定理
ve
A
vr (vr 0)
D
(vB ) BE (vE ) BE
（B）角加速度＝0 ； （C） 、 同时为零；
（D） 、 均不为零。
正确答案是：A
如图所示，菱形平面图形上A、B 两点 的加速度大小相等、方向相同，则该平 面图形的角速度及角加速度为 。 (A) 0, 0 (B) 0, 0
a A
B
A
(C) 0, 0
y''
A

O

x'' y'
B

x'
（1）平面运动可取任意基点而分解为平移和转动； （2）平移的速度和加速度与基点的选择有关； （3）平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基 点的选择无关。
§8-2 求平面图形内各点速度 的基点法
动点：M 动系： O'x'y'z' (平移坐标系)
vMO'
vM
v B v A vBA vBA 0 AB 0 v B v A vM
vA
A

O
B
vB
瞬时平移(速度瞬心在无穷远处)
已知：vA，AB= l ， 求：B端的速度以及AB的角速度
解： AB作平面运动，作 出速度瞬心C
vB
y
vA AC vB BC
如图示，某瞬时平面图形上 A 点的速度 v A 0 ，加速
a A 0 ， B 点的加速度大小为 a B 40 c m / 2 ，与 度 s
60 0 。若 AB = 5 c m ，则此瞬时该平 A B 连线间夹角
面图形的角速度大小 ＝ ； 角加速度大小 ＝ 。
正确答案是：
45
0
l
v B vE
O
OA
l
v
E
A
动系：固连在OA上 ve vB B
动点：套筒B
A
vr (vr 0)
D
va ve vr
OA
45
0
vB va ve v
ve v OA l
l
OA
O
v
E
A
l
刚体的平面运动习题课
求平面运动刚体的瞬心 vA
(D) 0, 0 正确答案是：A
a
B
如图所示，边长为 L 的等边三角形板在其自身平面内 运动，已知 A 的速度大小为 vA，B 点的速度沿 CB 方 向，则此时三角板的角速度大小为 速度大小为 。
C
；C 点的
正确答案是：
3v A L vC 2v A
vA
B A
vB
已知：OA匀角速度转动， , OA r , AB
3r
求：当 600 时，点B的速度、加速度和AB的角 速度、角加速度 解： AB作平面运动
vB vA vBA
vB v A / sin 2 r 3
0
vA

O A

vA
vB
B
vBA
1 3 vBA v Atg30 r AB vBA / AB ( ) 3 3
o

A
B
vB
AB的速度瞬心为B
求平面运动刚体的瞬心
vA
w
A
o
vB
B
AB的速度瞬心在无穷远处
设平面图形的角速度为 ，角加速度为 ，当平面图形作瞬时平移时，有 。 (A) 0, 0
(B) 0, 0
(C) 0, 0 (D) 0, 0 正确答案是：C
t n aB a A aBA aBA
t BA n BA

其中 a
AB AB
2
aA
a
加速度投影
t n aB a A aBA aBA
沿AB连线方向上投影
t aBA
aA
n aBA aB
A
2 aB AB a A AB AB
I
的直线作平移。
刚体的平面运动可简化为平面图形在自身 平面内的运动。
平面图形的运动方程
xO f1 t yO f 2 t f t 3
平面运动的分解
y
M O'
O x

一部分是平面图形按点O' 的运动方程平移； 另一部分是绕O' 转角为 f 3 t 的转动。
vO '
绝对运动 ： 待求 相对运动 ： 绕O' 点的转动 牵连运动 ： 平移

O'
M
vM ve vr vO vMO
任意A,B两点
vO '
vB vA vBA 其中 vBA AB
已知：vA，AB= l ， 求：B端的速度以及AB的角速度
vB
C
A
B
vA

速度瞬心：分别过A、、 两点作v A ,vB的垂线的交点
（3）已知： vA // vB ,且vA AB
vB
C
A
B
C
B
vA

A
vB vA

AC v A BC vB
（4）已知： v A // vB ,且v A不垂直于AB
连线上的投影相等。
vA
同一平面图形上任意两点的速度在这两点
已知：vA，AB= l ， 求：B端的速度以及AB的角速度
解： AB作平面运动
vB AB vA AB vB cos( )
v A cos 2
由速度投影定理

2
vB
y

B


O A x
vB vA cot
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r , AB 求：当 600 时，点B的速度
3r
解： AB作平面运动
由速度投影定理
vA

O A
vB AB vA AB


vB cos( ) v A 2
vB
B
2 vB v A / sin r 3
速度
§8-5
运动学综合应用举例
§8-1 刚体平面运动的概述 和运动分解
沿直线轨道滚动的车轮
曲柄连杆结构
行星齿轮
车轮
AB
轮O1
共同特点： 在运动中，刚体上的任意一点
与某个固定平面始终保持相等 的距离。
平面运动
A1 A A2 S II
（1）图形内任 意一点始终在自 身平面内运动。 （2）与图形垂直
解： AB作平面运动
vB vA vBA
vB
y
vBA
B
vB vA cot vA vA vBA sin vBA vA O AB l sin


A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r , AB 求：当 600 时，点B的速度

aA
同一平面图形上任意两点A, B的加速度在 这两点连线上的投影相差 2 AB
已知：vA， aA=0， AB= l ， 求：B的速度、加速度；AB的角速度、角加速度
解： AB作平面运动
vB vA vBA
vB
y
vBA
B
vB vA cot vA vA vBA sin vBA vA O AB l sin
平面运动的分解也可以按合成运动的观点解释
平移参考系O'x'y'z'
y'
y'
x' O' O'
x'
轮子的平面运动分解为：随轮心O' 的平移和绕轮 心O' 的转动。
O 基点
假想在基点O' 安上
y
y'
x'
O'
平移参考系O'x'y'z'
O x
平面图形的运动可看成为随基点的平移和 绕基点转动两部分运动的合成
第
八
章
刚体的平面运动
简单的刚体运动： 平移和定轴转动
更复杂的运动： 刚体的平面运动
（1）可看作是平移与转动的合成； （2）可看作绕不断运动的轴的转动。
第八章 刚体的平面运动
§8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
§8-2
§8-3
求平面图形内各点速度的基点法
求平面图形内各点速度的瞬心法
§8-4
用基点法求平面图形内各点的加
平面图形内各点的速度分布
基点：C（速度瞬心）
vM vMC
D
vD
A B
vA
vMC CM
平面图形内任意点的速 度等于该点随图形绕瞬 时速度中心转动的速度。
C

vB
C

速度瞬心的确定方法 （1）纯滚动(只滚不滑)
v
C
速度瞬心：车轮与地面的接触点C
（2）已知： v A ,vB ,的方向,且v A不平行于vB
BC vB vA AC v A / sin 2 r 3
vA

O
A

vB
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
§8-4 用基点法求平面图形内 各点的加速度
平面图形S的运动可分解为： （1）随基点A的平移 （牵连运动）
（2）绕基点A的转动 （相对运动）
t aBA aBA
S A
aA
n aBA aB