第六章受弯构件典型例题_钢结构
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【题目】 Q235 钢简支梁如下图所示。自重标准值 0.9KN/m（荷载分项系数 1.2） ，跨中承受 悬挂集中力标准值 100KN （荷载分项系数 1.4） ，集中力作用于上翼缘。 1．梁在跨中无侧向支承，验算截面的整体稳定性； 2．如改用 16Mn 钢，是否满足要求； 3．仍用 Q235,荷载悬挂于下翼缘，是否满足要求； 4．仍用 Q235,荷载作用位置不变，跨中增加一侧向支承点，整体稳定是否满足要求？ 5．验算梁翼缘和腹板的局部稳定性，并提出加强局部稳定的方法（不具体设置） 。
３６０
３ｍ
３ｍ
３ｍ
３ｍ １０
Ｍ图（KN·m) １３９６ １４４６ ４８３ ４６８．３ Ｖ 图 （ KN) ４７４ ４６５．３ １６３．８ １５５．１ １８６１．２ １９１５．８ １３９６ １４４６
１５５．１ １５５．１ １６３．８ ４６５．３ ４７４
１５５．１
４６８．３ ４８３
【解答】 分析： （1）选择工字形焊接组合梁截面的步骤是先确定腹板高度和厚度，即 h0 和 t w ； 再确定翼缘板的宽度和厚度，即 b 和 t 。确定腹板高度时，除考虑经济要求外，还应注意满 足刚度要求；满足局部稳定要求外，还应注意满足抗剪强度要求。 （2）选择截面后，应进行强度、刚度和整体稳定的验算。强度验算时，应注意在集中 力作用的跨中截面除进行抗弯强度验算外，还应进行腹板高度处折算应力的验算。抗剪强度 和刚度，因在选择截面时已满足要求，可不再进行验算。整体稳定验算时应考虑梁跨中有侧 向支承后，受压翼缘的自由长度是实际侧向支承点的距离。 1．内力计算 跨中截面：
(200 − 8) b 96 2 (1) 翼缘: 1 = =截面满足局部稳定要求。
h0 800 = = 100 tw 8
80＜
h0 ＜170，满足纯弯屈曲腹板的局部稳定要求，但不满足纯剪屈曲腹板的局部稳定 tw
要求，应设置横向加劲肋，保证腹板的局部稳定。
I x = Wnx ×
腹板的惯性矩：
t w h03 1 Iw = = × 10 × 1200 3 = 14.4 × 108 mm4 12 12
翼缘所需惯性矩：
I f = I x − I w = (5367.34 − 1440) × 10 6 = 3927.34 × 10 6 mm4
bt = 2I f
（ｂ） ２００
Ｆ ｂ ＝１００ＫＮ
ｑ ｂ ＝０．９ＫＮ／ｍ
８
８００
４．５ｍ
４．５ｍ
【解答】 分析： （1）验算梁的整体稳定性时，应先计算梁的 l1 /b 值，如 l1 /b 值满足规范中不需验 算整体稳定 l1 /b 值的要求，可不必验算梁的整体稳定性。l1 是梁侧向支承点的距离，如梁在 跨中无侧向支承，则 l1 即为梁的跨度。 （2）验算工字型焊接组合梁的整体稳定性时，主要应掌握计算梁的整体稳定系数φb 的公式。φb 公式中的βb 由参数ξ确定。ξ=l1 t1 /b1 h 中的 b1 是梁受压翼缘的宽度。如计算所 得φb ＞0.6 时，说明梁失稳时已进入弹塑性状态，应用相应的φb ‘代替φb，进行整体稳定 验算。 （3）梁的整体稳定验算不满足要求时，提高梁的整体稳定承载力的措施是很多的。经 过本题各种方法计算结果的比较，应掌握在不改变截面和荷载作用位置时，最有效的提高梁 的整体稳定承载力的措施是在跨中增加侧向支承点。 （4）验算梁翼缘的局部稳定时，计算翼缘板的宽厚比 b1/t（b1 为受压翼缘板自由悬伸 宽度） ；如 b1 /t 值小于作为三边简支一边自由保证局部稳定的宽厚比限值，则翼缘的局部稳 定能保证。 对于梁腹板，则计算 h0 /tw ，根据 h0 /tw 值的范围, 设置加劲肋，以保证腹板的局部稳定。 1．验算原给定条件梁的整体稳定性 （1）研究是否需要验算梁的整体稳定性 查相关表可知，梁跨中无侧向支承时，荷载作用于上翼缘时，Q235 钢梁不需验算整体 稳定的最大 l1 /b 值为 13。
１２
１２
（ａ）
l1 /b=9000/200=45＞13,应验算整体稳定。 （2）梁跨中的最大弯矩 Mmax=1/8ql2 ＋1/4Fl=1/8× （0.9×1.2）× 92 ＋1/4×100×1.4×9=325.94KN· m （3）截面几何特性 A=2×200×12＋800×8=11200mm2 Ix=1/12× （200×8243 －192×8003 ）=1.133×109 mm4 Wx=Ix/y=1.133×109 /412=2.749×106 mm3 Iy =2×1/12×12×2003 ＋1/12×800×8 3 =1603.4×104 mm4 iy =
M max =
V=
3 3 F × 6 − F × 3 = × 310.2 × 6 − 310.2 × 3 = 1861.20 KN・m 2 2
3 1 1 F − F = F = × 310.20 = 155.10 KN 2 2 2 3 3 支座截面： Vmax = F = × 310.20 = 465.3 KN 2 2
1 M max = 1861.2 + × 2.528 × 1.2 × 12 2 = 1915.80 KN・m 8 1 Vmax = 465.3 + × 2.528 × 1.2 × 12 = 483.50 KN 2
（上二式中 1.2 为荷载分项系数。 ） ①跨中截面抗弯强度
σ=
M max 1915.8 ×10 6 = = 180.51 N/mm2 ＜ f = 215 N/mm2 6 γ xW x 1.05 × 10.108 × 10
[
]
[
]
抵抗矩: W x =
Ix 6.247 × 10 9 = = 10.108 × 10 6 mm3 h2 618 1200 + 18 h0 + t = 39.46320 × 10 5 mm3 = 360 × 18 × 2 2
截面面积矩: S1 = bt （2）强度验算
主梁自重标准值：q b = 27360 × 10 −6 × 1.2 × 7850 × 9.81 = 2.528 KN/m（式中 1.2 为构 造系数，钢的容重为：7850kg/m3 ） 则
由经验公式
t w2 =
h0 11
=
120 = 1 cm 11
tw 3 ＞
由腹板的抗弯局部稳定，得
h0 1200 = = 7.06 mm 170 170
取腹板厚度 t w （3）翼缘尺寸 梁所需截面惯性矩：
t w = 10 mm
h 1240 = 8.657 × 10 6 × = 5367.34 ×10 6 mm4 2 2
2 h0
翼缘所需尺寸
=
2 × 3927.32 × 10 6 = 6545.57 mm2 1.2 2 ×10 6
b 的选择范围：
取 b = 360 mm，则
1 1 1 1 b = ( ～ ) h0 = ( ～ ) × 1200 = 240 ～ 400 mm 5 3 5 3 6545.57 b 360 t= = 18.18 mm≥ = = 12 mm 360 30 30
h v 1 1 12000 ]= ， min = ， hmin = = 800 mm l 400 l 15 15
取腹板高 h0 = 1200 mm，初设翼缘板厚 t = 20 mm，则梁高 h = 1240 mm。 （2）腹板厚度 t w 由公式
t w1 =
1.5Vmax 1.5 × 465.3 ×10 3 = = 4.65 mm h0 f v 1200 × 125
【题目】 一焊接组合工字形截面主梁，其上受有次梁传来的 3 个集中力 F 作用， F=310.2KN ， 如下图（a）所示。次梁与主梁等高连接, 次梁可以作为主梁的侧向支承, 材料 Q235。试设计 该截面，并进行强度、刚度和整体稳定验算。
Ｆ＝３１０．２ＫＮ Ｆ ｑ Ｆ
（ａ）
（ｂ）
１８ １８ １２００
因此，翼缘尺寸为 360×18，满足局部稳定要求。截面尺寸见图(b)。 3．强度验算 （1）截面几何特性 面积：
A = 2bt + t w h0 = 2 × 360 × 18 + 1200 × 12 = 27360 mm2
惯性矩: I x =
1 1 bt 3 − (b − t w )h03 = 360 × 1236 3 − 350 × 1200 3 = 6.247 ×10 9 mm4 12 12
λ y t 1 235 4320 Ah 1+ 2 4.4h f = 0.2773 × 235 / 345 = 0.1889 λ y Wx y
2
σ=Mx/（φb Wx）=325.94×106 /（0.1889×2.749×106 ）=627.67N/mm2 ＞315N/mm2 由此可以看出，提高钢材强度等级，一般不能提高梁的整体稳定性。 3．将悬挂集中力作用于下翼缘时，βb 和φb 都有变化。 查相关表可知, 无侧向支承, 集中力作用于下翼缘情形： βb =2.23－0.28ξ=2.23－0.28×0.655=2.047
IY 1603.4 ×10 4 = = 37.84 A 1.12 × 10 4
λy =l1 /iy =9000/37.84=238 （4）计算βb （或βb ‘） 、φb ξ=l1 t1 /b1 h=9000×12/（200×824）=0.655＜2.0 查相关表可知, 无侧向支承, 集中力作用于上翼缘情形： βb =0.73＋0.18ξ=0.73＋0.18×0.655=0.8479
2
应用φb ‘验算，由相关表可查得，φb ‘=0.906 σ=Mx/（φb ’ Wx）=325.94×106 /（0.906×2.749×106 ）=130.87N/mm2 ＜215N/mm2 因此，整体稳定得到保证。 比较以上提高整体稳定的措施， 可以看出在梁跨中增加侧向支承， 减小侧向支承点距离， 提高整体稳定承载力是最有效的。 5．验算翼缘、腹板的局部稳定性
2
（5）验算整体稳定 σ=Mx/（φb W x）=325.94×106 /（0.2773×2.749×106 ）=427.58N/mm2 ＞215N/mm2 , 不满 足整体稳定要求。 2．改用 16Mn 钢，重新验算 改用 16Mn 钢重新验算时，因 f 有变化, φb 也有变化。 φb = β b
2．选择截面 （1）确定梁高 h （腹板高度 h0 ）
需要的净截面抵抗矩： W nx =
M max 1861.20 × 10 6 = = 8.657 × 10 6 mm3 f 215
3 3
经济高度： he = 73 W nx − 30 = 7 8.657 ×10 − 30 = 113.73 cm 平台梁 [
查相关表可知, 跨中有一侧向支承，集中力作用。βb =1.75
λ y t1 4320 Ah φb = β b 1 + 4.4h λ2 y Wx
= 1.75 ×
2
4320 11.2 × 103 × 824 118.92 × 12 × 1+ = 1.93 ＞0.6 2 6 118.92 2.749 × 10 4.4 × 824
4320 11.2 ×103 × 824 237.84 ×12 φb = 2.047 × × 1+ = 0.668＞0.6 2 6 237.84 2.749× 10 4.4 × 824
2
由相关表可查得，φb ‘=0.633 σ=Mx/（φb ’ Wx）=325.94×106 /（0.633×2.749×106 ）=187.31N/mm2 ＜215N/mm2 因此，整体稳定得到保证。 4．在跨中增加一侧向支承点，l1 =4500mm l1 /b=4500/200=22.5＞13 λy =l1 /iy =4500/37.84=118.92 仍应验算整体稳定。 ξ=l1 t1 /b1 h=4500×12/（200×824）=0.3277＜2.0
λ y t1 4320 Ah φb = β b 1 + 4.4h λ2 W y x
= 0.85 ×
2
4320 11.2 ×10 3 × 824 237.84 × 12 × 1+ = 0.2773 2 6 237.84 2.749 × 10 4.4 × 824
３６０
３ｍ
３ｍ
３ｍ
３ｍ １０
Ｍ图（KN·m) １３９６ １４４６ ４８３ ４６８．３ Ｖ 图 （ KN) ４７４ ４６５．３ １６３．８ １５５．１ １８６１．２ １９１５．８ １３９６ １４４６
１５５．１ １５５．１ １６３．８ ４６５．３ ４７４
１５５．１
４６８．３ ４８３
【解答】 分析： （1）选择工字形焊接组合梁截面的步骤是先确定腹板高度和厚度，即 h0 和 t w ； 再确定翼缘板的宽度和厚度，即 b 和 t 。确定腹板高度时，除考虑经济要求外，还应注意满 足刚度要求；满足局部稳定要求外，还应注意满足抗剪强度要求。 （2）选择截面后，应进行强度、刚度和整体稳定的验算。强度验算时，应注意在集中 力作用的跨中截面除进行抗弯强度验算外，还应进行腹板高度处折算应力的验算。抗剪强度 和刚度，因在选择截面时已满足要求，可不再进行验算。整体稳定验算时应考虑梁跨中有侧 向支承后，受压翼缘的自由长度是实际侧向支承点的距离。 1．内力计算 跨中截面：
(200 − 8) b 96 2 (1) 翼缘: 1 = =截面满足局部稳定要求。
h0 800 = = 100 tw 8
80＜
h0 ＜170，满足纯弯屈曲腹板的局部稳定要求，但不满足纯剪屈曲腹板的局部稳定 tw
要求，应设置横向加劲肋，保证腹板的局部稳定。
I x = Wnx ×
腹板的惯性矩：
t w h03 1 Iw = = × 10 × 1200 3 = 14.4 × 108 mm4 12 12
翼缘所需惯性矩：
I f = I x − I w = (5367.34 − 1440) × 10 6 = 3927.34 × 10 6 mm4
bt = 2I f
（ｂ） ２００
Ｆ ｂ ＝１００ＫＮ
ｑ ｂ ＝０．９ＫＮ／ｍ
８
８００
４．５ｍ
４．５ｍ
【解答】 分析： （1）验算梁的整体稳定性时，应先计算梁的 l1 /b 值，如 l1 /b 值满足规范中不需验 算整体稳定 l1 /b 值的要求，可不必验算梁的整体稳定性。l1 是梁侧向支承点的距离，如梁在 跨中无侧向支承，则 l1 即为梁的跨度。 （2）验算工字型焊接组合梁的整体稳定性时，主要应掌握计算梁的整体稳定系数φb 的公式。φb 公式中的βb 由参数ξ确定。ξ=l1 t1 /b1 h 中的 b1 是梁受压翼缘的宽度。如计算所 得φb ＞0.6 时，说明梁失稳时已进入弹塑性状态，应用相应的φb ‘代替φb，进行整体稳定 验算。 （3）梁的整体稳定验算不满足要求时，提高梁的整体稳定承载力的措施是很多的。经 过本题各种方法计算结果的比较，应掌握在不改变截面和荷载作用位置时，最有效的提高梁 的整体稳定承载力的措施是在跨中增加侧向支承点。 （4）验算梁翼缘的局部稳定时，计算翼缘板的宽厚比 b1/t（b1 为受压翼缘板自由悬伸 宽度） ；如 b1 /t 值小于作为三边简支一边自由保证局部稳定的宽厚比限值，则翼缘的局部稳 定能保证。 对于梁腹板，则计算 h0 /tw ，根据 h0 /tw 值的范围, 设置加劲肋，以保证腹板的局部稳定。 1．验算原给定条件梁的整体稳定性 （1）研究是否需要验算梁的整体稳定性 查相关表可知，梁跨中无侧向支承时，荷载作用于上翼缘时，Q235 钢梁不需验算整体 稳定的最大 l1 /b 值为 13。
１２
１２
（ａ）
l1 /b=9000/200=45＞13,应验算整体稳定。 （2）梁跨中的最大弯矩 Mmax=1/8ql2 ＋1/4Fl=1/8× （0.9×1.2）× 92 ＋1/4×100×1.4×9=325.94KN· m （3）截面几何特性 A=2×200×12＋800×8=11200mm2 Ix=1/12× （200×8243 －192×8003 ）=1.133×109 mm4 Wx=Ix/y=1.133×109 /412=2.749×106 mm3 Iy =2×1/12×12×2003 ＋1/12×800×8 3 =1603.4×104 mm4 iy =
M max =
V=
3 3 F × 6 − F × 3 = × 310.2 × 6 − 310.2 × 3 = 1861.20 KN・m 2 2
3 1 1 F − F = F = × 310.20 = 155.10 KN 2 2 2 3 3 支座截面： Vmax = F = × 310.20 = 465.3 KN 2 2
1 M max = 1861.2 + × 2.528 × 1.2 × 12 2 = 1915.80 KN・m 8 1 Vmax = 465.3 + × 2.528 × 1.2 × 12 = 483.50 KN 2
（上二式中 1.2 为荷载分项系数。 ） ①跨中截面抗弯强度
σ=
M max 1915.8 ×10 6 = = 180.51 N/mm2 ＜ f = 215 N/mm2 6 γ xW x 1.05 × 10.108 × 10
[
]
[
]
抵抗矩: W x =
Ix 6.247 × 10 9 = = 10.108 × 10 6 mm3 h2 618 1200 + 18 h0 + t = 39.46320 × 10 5 mm3 = 360 × 18 × 2 2
截面面积矩: S1 = bt （2）强度验算
主梁自重标准值：q b = 27360 × 10 −6 × 1.2 × 7850 × 9.81 = 2.528 KN/m（式中 1.2 为构 造系数，钢的容重为：7850kg/m3 ） 则
由经验公式
t w2 =
h0 11
=
120 = 1 cm 11
tw 3 ＞
由腹板的抗弯局部稳定，得
h0 1200 = = 7.06 mm 170 170
取腹板厚度 t w （3）翼缘尺寸 梁所需截面惯性矩：
t w = 10 mm
h 1240 = 8.657 × 10 6 × = 5367.34 ×10 6 mm4 2 2
2 h0
翼缘所需尺寸
=
2 × 3927.32 × 10 6 = 6545.57 mm2 1.2 2 ×10 6
b 的选择范围：
取 b = 360 mm，则
1 1 1 1 b = ( ～ ) h0 = ( ～ ) × 1200 = 240 ～ 400 mm 5 3 5 3 6545.57 b 360 t= = 18.18 mm≥ = = 12 mm 360 30 30
h v 1 1 12000 ]= ， min = ， hmin = = 800 mm l 400 l 15 15
取腹板高 h0 = 1200 mm，初设翼缘板厚 t = 20 mm，则梁高 h = 1240 mm。 （2）腹板厚度 t w 由公式
t w1 =
1.5Vmax 1.5 × 465.3 ×10 3 = = 4.65 mm h0 f v 1200 × 125
【题目】 一焊接组合工字形截面主梁，其上受有次梁传来的 3 个集中力 F 作用， F=310.2KN ， 如下图（a）所示。次梁与主梁等高连接, 次梁可以作为主梁的侧向支承, 材料 Q235。试设计 该截面，并进行强度、刚度和整体稳定验算。
Ｆ＝３１０．２ＫＮ Ｆ ｑ Ｆ
（ａ）
（ｂ）
１８ １８ １２００
因此，翼缘尺寸为 360×18，满足局部稳定要求。截面尺寸见图(b)。 3．强度验算 （1）截面几何特性 面积：
A = 2bt + t w h0 = 2 × 360 × 18 + 1200 × 12 = 27360 mm2
惯性矩: I x =
1 1 bt 3 − (b − t w )h03 = 360 × 1236 3 − 350 × 1200 3 = 6.247 ×10 9 mm4 12 12
λ y t 1 235 4320 Ah 1+ 2 4.4h f = 0.2773 × 235 / 345 = 0.1889 λ y Wx y
2
σ=Mx/（φb Wx）=325.94×106 /（0.1889×2.749×106 ）=627.67N/mm2 ＞315N/mm2 由此可以看出，提高钢材强度等级，一般不能提高梁的整体稳定性。 3．将悬挂集中力作用于下翼缘时，βb 和φb 都有变化。 查相关表可知, 无侧向支承, 集中力作用于下翼缘情形： βb =2.23－0.28ξ=2.23－0.28×0.655=2.047
IY 1603.4 ×10 4 = = 37.84 A 1.12 × 10 4
λy =l1 /iy =9000/37.84=238 （4）计算βb （或βb ‘） 、φb ξ=l1 t1 /b1 h=9000×12/（200×824）=0.655＜2.0 查相关表可知, 无侧向支承, 集中力作用于上翼缘情形： βb =0.73＋0.18ξ=0.73＋0.18×0.655=0.8479
2
应用φb ‘验算，由相关表可查得，φb ‘=0.906 σ=Mx/（φb ’ Wx）=325.94×106 /（0.906×2.749×106 ）=130.87N/mm2 ＜215N/mm2 因此，整体稳定得到保证。 比较以上提高整体稳定的措施， 可以看出在梁跨中增加侧向支承， 减小侧向支承点距离， 提高整体稳定承载力是最有效的。 5．验算翼缘、腹板的局部稳定性
2
（5）验算整体稳定 σ=Mx/（φb W x）=325.94×106 /（0.2773×2.749×106 ）=427.58N/mm2 ＞215N/mm2 , 不满 足整体稳定要求。 2．改用 16Mn 钢，重新验算 改用 16Mn 钢重新验算时，因 f 有变化, φb 也有变化。 φb = β b
2．选择截面 （1）确定梁高 h （腹板高度 h0 ）
需要的净截面抵抗矩： W nx =
M max 1861.20 × 10 6 = = 8.657 × 10 6 mm3 f 215
3 3
经济高度： he = 73 W nx − 30 = 7 8.657 ×10 − 30 = 113.73 cm 平台梁 [
查相关表可知, 跨中有一侧向支承，集中力作用。βb =1.75
λ y t1 4320 Ah φb = β b 1 + 4.4h λ2 y Wx
= 1.75 ×
2
4320 11.2 × 103 × 824 118.92 × 12 × 1+ = 1.93 ＞0.6 2 6 118.92 2.749 × 10 4.4 × 824
4320 11.2 ×103 × 824 237.84 ×12 φb = 2.047 × × 1+ = 0.668＞0.6 2 6 237.84 2.749× 10 4.4 × 824
2
由相关表可查得，φb ‘=0.633 σ=Mx/（φb ’ Wx）=325.94×106 /（0.633×2.749×106 ）=187.31N/mm2 ＜215N/mm2 因此，整体稳定得到保证。 4．在跨中增加一侧向支承点，l1 =4500mm l1 /b=4500/200=22.5＞13 λy =l1 /iy =4500/37.84=118.92 仍应验算整体稳定。 ξ=l1 t1 /b1 h=4500×12/（200×824）=0.3277＜2.0
λ y t1 4320 Ah φb = β b 1 + 4.4h λ2 W y x
= 0.85 ×
2
4320 11.2 ×10 3 × 824 237.84 × 12 × 1+ = 0.2773 2 6 237.84 2.749 × 10 4.4 × 824