矢量分析与场论课后习题及答案..
矢量分析与场论习题
∂Dy
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r r ∂Dz ∂Dy r ∂Dx ∂Dz r ∂Dy ∂Dx Method B: ∇ × D = e − − + ey − + ez x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x x y r
例题
1. 设一标量函数ϕ ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试 求： (1) 该函数ϕ 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向 的单位矢量。 r r r r o o (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el = ex cos 60 + e y cos 45 + ez cos 60o 方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 r r r r ∂ r ∂ r ∂ 2 2 ∇ϕ = [(ex + ey + ez )( x + y − z )] = ex 2 x + e y 2 y − ez ∂x ∂y ∂z r r r P点的梯度 ∇ϕ P = e x 2 + e y 2 − e z | ∇ϕ P |= 3 r r r r e r 2 r 2 r 1 el = x 2 + e y 2 − ez = e + e y − ez x 3 3 3 3
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
矢量分析与场论习题
矢量基本概念1. 矢性函数的导数：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的导数 p6 (2.3)()()()()x y z d AA t A t i A t j A t k dt''''==++ 几何意义：其方向为t 增大的矢端曲线切线方向 p82. 矢性函数的微分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的微分 p8 ( 2.5)()()()()x y z x y z d A A t dt A t idt A t jdt A t kdtdA i dA j dA k''''==++=++几何意义：同矢端曲线相切，dt>0时与导矢方向一致，dt<0时与导矢方向相反3. 矢性函数对其矢段曲线弧长的导数d rds：单位切向矢量，指向s 增大一方 p10弧长微分ds =矢性函数微分的模等于其矢段曲线弧长微分的绝对值 dr ds = p9 (2.8) 通常定义弧长s 增大的方向与t 增大的方向一致(默认的矢段曲线正向)4. 矢性函数的积分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的积分 注意分部积分公式p17 (3.9)5.圆函数：，相互垂直矢量复习题1.ds d dt dt=r d d ds ds dt dt dt dt===r r 2.矢性函数()k j i r 4sin 3cos 3,,++=t t z y x 对弧长s 的导数d d s=r？ p10例5d d dt d dtds ds dt d dt==r r r r d dt ti t j k 3sin 3cos 4=-++r ，d dt 5=r 3. ()t A 与d d tA互相垂直，则=A ? p13例7习题1.1 下列参数方程对应的矢量方程(矢径)？（1）a t b cos sint =+r i j ，椭圆x y a b 22221+=（2）4sint 3sint 4cost =++r i j k 椭圆 4x-3y=0平面 , x z 229+=圆柱习题1.2 矢量的叠加 ， OM OC CM =+习题1.6 计算切向矢量(d r dt)习题1.7曲线r 的切向矢量应与平面法向矢量垂直dri t j t k dtτ==++223，n i j k =++2 n t t τ•=++=21430得到t =-1，t =-13，因此x=.. y=.. z=..习题1.8通过两个矢量的点乘(投影)结果判断它们的夹角 螺旋线的切向矢量sin cos ()dra i a j bk ae bk d τθθθθ==-++=+1 模a b τ=+2τ向z 轴的投影cos k b ττα•==场论基本概念数量场(标量场)等值面或（等值线）互不相交，疏密程度表明了数量场的变化速度 如何求等值面方程？矢量场矢量线：线上某点的矢量A 与矢量线相切 矢量面，矢量管矢量线与矢段曲线的区别如何求矢量线方程？矢量场x y z A A i A j A k =++,其矢量线上任意点M 的矢径为r xi y j zk =++，其微分dr dxi dy j dzk =++，d r 与矢量线相切，即d r 与M 点的矢量A 方向相同y x zA A A dx dy dz== 矢量线微分方程p24 (1.5) 任意选择其中两个方程构成方程组，通过不定积分进行求解（结果中含有常数），再将M 点xyz 坐标代入，确定常数。
矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案
4i 4 j 12k,
4i 4 j 12k 方向的方向导数最大
M
176 4 11 。
1 2 1 3 ( x y 2 ) 中 u 0, ,1, ,2 的等值线，并画出场在 M 1 ( 2, 2 ) 与点 2 2 2
M 2 ( 3, 7 ) 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
2 ；因 OM OC CM 有
r xi yj 2a cos i 2a sin j a cos 2 i a sin 2 j
则
x 2a cos a cos 2 , y 2a sin a sin 2 .
M
2 xi xy 2 j 3 z 4 k
M
4i 3k ，其方向余弦为
cos
4 3 , cos 0, cos . 5 5
在点 M ( 2,0,1) 处有
u u u 2 xz 3 4, 4 yz 0, 3 x 2 z 2 2 y 2 12, x y z
x2 y2 2．求数量场 u 经过点 M 1,1, 2 的等值面方程。 z
解：经过点 M 1,1, 2 等值面方程为
ux Βιβλιοθήκη y 2 12 12 1， z 2
2 2
即 z x y ，是除去原点的旋转抛物面。 3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2 y 4 0 相切的等值线方程。 解：设切点为 x0 , y0 ，等值面方程为 xy c x0 y0 ，因相切，则斜率为
面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
2 场所在的空间区域是除原点以外的 z 2 x 2 y 2 的点所组成的空间部分。
矢量分析与场论_谢树艺习题答案
习题1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin ==()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解：解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
之交线，为一椭圆。
2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。
解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC q Ð=，CM 与x 轴的夹角为2q p -；因OM OC CM =+有()()r xi yj a i a j a i a j q q q p q p 2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-则.2sin sin 2,2cos cos 2q q q q a a y a a x -=-=故j a a i a a r )2sin sin2()2cos cos 2(q q q q -+-= 4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量t 。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r3232++=则其切向矢量为k t tj i dtdr 222++=模为24221441||t t t dtdr +=++=于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i d td r d td r+++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin2,cos ,===在t p4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++p r tpd 2d2dtdr ]--+-dr 127933x y22+xy 1122211dy dx --1M¶¶¶¶dtdzdtdydtdx 141414))¶¶¶¶¶¶zx yu x u 14141414)-¶¶¶¶¶lu grad ¶))¶¶¶u 11176)2)72714141414))¶¶¶¶¶¶z uy u x u 。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
矢量分析与场论综合资料
Ｃ．夹角为 45° Ｄ．相互垂直
15．一个矢量场的散度表示该矢量场中一点处的
A．环量
Ｂ．通量
Ｃ．通量对体积的变化率
Ｄ．通量对面积的变化率
（） （）
（） （）
二、填空题
1. 矢量场 A(r) 穿过闭合曲面 S 的通量的表达式为：
。
2. 如果两个不等于零的矢量的
等于零，则此两个矢量必然相互垂直。
3. 如 果 两 个 不 等 于 零 的 矢 量 的 点 积 （ 也 称 为 点 乘 ） 等 于 零 ， 则 此 两 个 矢 量 必 然 相
（1）分别求出矢量 A 和 B 的大小
（2）两矢量之间的夹角
9. 矢量场 A 的表达式为 A aˆ x 4x aˆ y y 2
（1）求矢量场 A 的散度。
（2）在点
1,1处计算矢量场
A
与正
x
轴的夹角。
10. 标量场 x, y, z x2 y3 e z ，在点 P1,1,0处
（1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向
2. 任一矢量场为 A(r) ，写出其穿过闭合曲面 S 的通量表达式，并讨论通量与源的关系。 3. 设任一矢量场为 A(r) ，写出其穿过闭合曲线 C 的环量表达式，并讨论环量与源的关系。
五、计算应用题
1. 现有标量 u(x, y, z) x 2 y 2 z 2 给出一球簇。
（1）求该标量在任意一点处的梯度。 （2）求在点（1，2，0）处单位法向矢量。
上环量的表达式为：
。 。
两个角度
。
15. 所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一点上，该点的切线方向与矢量场的方
向
。
2/4
三、名词解释 1. 无散场 2. 无旋场 3. 矢量场 4. 标量场 5. 矢量线 6. 通量 7. 环量 8. 散度 9. 旋度 10. 等值面
矢量分析报告与场论第四版谢树艺习题问题详解
实用标准文档习题1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。
解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-则.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-=故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-=4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d d ===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
矢量分析与场论课后习题及答案..
矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d 2d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
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矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d 2d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
解：曲线切向矢量为dri tj t k dtτ223==++， ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++，由题知()()i tj t k n i k t t j τ221432230=+⋅++⋅+++== 得t 11,3=--。
将此依次代入⑴式，得k j i k j i t t 2719131|,|311-+-=-+-=-=-=ττ故所求点为()1111,11,,,3927⎛⎫---- ⎪⎝⎭习题21．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
()1u Ax By Cz D1;=+++()2u arc=解：()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。
等值面为1111=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或为任意常数）（01≠C ，这是与平面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。
()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。
等值面为)0(,sin )(222222≠++=y x c y x z ，当c sin 0≠时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当c sin 0=时，是除原点外的xOy 平面。
2．求数量场x y u z22+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。
解：经过点()M 1,1,2等值面方程为x y u z 22221112++===，即z x y 22=+，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场u xy =，求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。
解：设切点为()x y 00,，等值面方程为xy c x y 00==，因相切，则斜率为 2100-=-=x y k ，即002y x = 点()x y 00,在所给直线上，有x y 00240+-=解之得y x 001,2== 故2=xy4．求矢量222A xy i x yj zy k =++的矢量线方程。
解 矢量线满足的微分方程为A dr 0⨯=，或dx dy dz xy x y zy 222== 有.,zdz x dx ydy xdx ==解之得),(,212122为任意常数C C x C z C y x ⎩⎨⎧==- 5.求矢量场zk y x j y i x A )(22+++=通过点M )1,1,2(的矢量线方程。
解 矢量线满足的微分方程为.)(22z y x dzydy x dx +== 由12211C y x ydy x dx +==得， 按等比定理有,)()(22zy x dzy x y x d +=--即.)(z dz y x y x d =--解得.2z C y x =- 故矢量线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-+=zC y x C y x 21,11又)1,1,2(M 求得1,2121=-=C C故所求矢量线方程为.2111⎪⎩⎪⎨⎧=--=z y x y x习题31．求数量场2322u x z y z =+在点()2,0,1M -处沿l xi xy j z k 2423=-+的方向导数。
解：因()MMlxi xy j z k i k 242343=-+=+，其方向余弦为.53cos ,0cos ,54cos ===γβα 在点)1,0,2(-M 处有,1223,04,422223=+=∂∂==∂∂-==∂∂y z x zuyz y u xz x u 所以4125300)4(54=•+•+-•=∂∂l u 2．求数量场223u x z xy z =-+在点()1,1,1M -处沿曲线23,,x t y t z t ==-=朝t增大一方的方向导数。
解：所求方向导数，等于函数u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点M 所对应的参数为1=t ,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为33,22,1121==-=-====t Mt MMt dtdz tdtdy dtdx ，其方向余弦为.143cos ,142cos ,141cos =-==γβα又5)23(,1,7)6(2=+=∂∂-=-=∂∂=-=∂∂MMM MM Mz x zu x yu y xz xu 。
于是所求方向导数为14241435142)1(1417)cos cos cos (=⨯+-⨯-+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂MMz u y u x u lu γβα3．求数量场23u x yz =在点()2,1,1M -处沿哪个方向的方向导数最大？解： 因()uu l u lθ0grad grad cos ∂=⋅=∂， 当θ0=时，方向导数最大。
,1244)32()(u grad 22323k j i k yz x j z x i xyz k z u j y u i x u MMM +--=++=∂∂+∂∂+∂∂=即函数u 沿梯度k j i M 1244u grad +--=方向的方向导数最大 最大值为114176u grad ==M。
4.画出平面场)(2122y x u -=中的等值线，并画出场在)2,2(1M 与点)7,3(2M 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u 增大的方向。
解：所述等值线的方程为：,4,3,2,1,02222222222=-=-=-=-=-y x y x y x y x y x 其中第一个又可以写为0,0=+=-y x y x 为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线2,23,1,21,0=u（如下图,图中,u grad 11M G =,u grad 22M G =）由于,u yj xi grad -= 故,22u grad 1j i M -=,73u grad 2j i M -=由图可见，其图形都符合所论之事实。
5．用以下二法求数量场u xy yz zx =++在点()1,2,3P 处沿其矢径方向的方向导数。
()1 直接应用方向导数公式； ()2 作为梯度在该方向上的投影。
解：()1点P 的矢径,32k j i r ++=其模.14=r 其方向余弦为.143cos ,142cos ,141cos ===γβα又3)(,4)(,5)(=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂P PP PP P y x zuz x yuz y x u所以。
1422143314241415)cos cos cos (=⨯+⨯+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂P Pz u y u x u l u γβα()2,345)(ugrad k j i k z uj y u i x u PP++=∂∂+∂∂+∂∂= .1431421410k j i r r r ++==故。
1422143314241415u grad 0=⨯+⨯+⨯=•=∂∂r lu P P6，求数量场z y x xy z y x u 62332222--++++=在点)0,0,0(O 与点)1,1,1(A 处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0？解：,)66()24(32u k z j x y i y x grad -+-++++=）（ ,036u grad ,623u grad k j i k j i A O ++=--=其模依次为：53036,7)6()2(3222222=++=-+-+ 于是O u grad 的方向余弦为.76cos ,72cos ,73cos -=-==γβα A u grad 的方向余弦为.0cos ,51cos ,52cos ===γβα求使0u =grad 之点，即求坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=++066,024,032z x y y x 之点，由此解得1,1,2==-=z y x 故所求之点为).1,1,2(-7．通过梯度求曲面422=+xz y x 上一点)3,2,1(-M 处的法线方程。
解：所给曲面可视为数量场xz y x u 22+=的一张等值面，因此，场u 在点M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即,222)22(u grad 2k j i xk j x i z xy MM ++=+++=故所求的法线方程为.231221-=+=-z y x 习题 41.设S 为上半球面),0(2222≥=++z a z y x 求矢量场zk yj xi r ++=向上穿过S 的通量Φ。
【提示：注意S 的法矢量n 与r 同指向】 解：.2232a a a dS a dS r dS r dS r SSSn Sππ=⋅====⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设S 为曲面),0(2222h z a z y x ≤≤=++求流速场k z y x v )(++=在单位时间内下侧穿S 的流量Q 。