抛物线的焦点弦问题(重要结论-绝对经典)
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论重庆市开县临江中学张帮军2011.08/复习备考【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢？总结一下有四大类共18个结论，第一类是常见的基本结论；第二类是与圆有关的结论；第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
【关键词】证明抛物线焦点弦现在通过下面的例题来证明这些结论。
例：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的一条直线AB 和此抛物线相交于A ，B 两点（α是直线AB 的倾斜角），准线l 的方程：x =-p 2，设点A （x 1,y 1），B（x 2,y 2），则有关抛物线的焦点弦有以下八个基本结论：（1）x 1x 2=p 24；（2）y 1y 2=-p 2；（3）|AF |=x 1+p 2；|BF |=x 2+p2（4）|AB |=x 1+x 2+p ；（5）|AB |=2p sin α；（6）|AF||BF|=p 2sin 2α；（7）;1|AF |+1|BF |=2p（8）S △AOB =p22sin α证明：如图若α≠π2，则k =tan α因为点F(p 2,0)，所以设直线AB 的方程为y =k (x -p 2)由y =k (x -p 2)y 2=2p px得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0由根与系数的关系得：x 1x 2=p 24;x 1+x 2=p (k 2+2)k2∴（1）式得证∵A ，B 两点都在直线y 2=2px 上∴y 12=2px 1；y 22=2px 2∴(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=p 4∵y 1y 2<0，∴y 1y 2=-p 2即(2)式得证过点A ，B 分别作AA 1，BB 1与直线l 垂直，垂足为A 1，B 1即A 1(-p 2,y 1)，B 1(-p 2,y 2)由抛物线定义知|AF |=|AA 1|=x 1+p 2;|BF |=|BB 1|=x 2+p 2即(3)式得证∵|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ∴(4)式得证∵x 1+x 2=p (k 2+2)k2，k =tan α∴|AB |=x 1+x 2+p =2p (k 2+1)k 2=2p (tan 2α+1)tan 2α=2p sin 2α即(5)式得证∵|AF ||BF |=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1·x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=p 2(x 1+x 2+p )=p 2·2p sin 2α=p 2sin 2α∴(6)式得证∵1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=|AB ||AF |·|BF |=2psin 2α·sin 2αp 2=2p∴(7)式得证∵点O 到直线AB 的距离d 就是△AOB 的高∴h =d =p|k|21+k2姨=p sin α2∴S △AOB =12|AB|·h =12·2psin 2αp sin α2=p 22sin α∴(8)式得证下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论：（1）以AB 为直径的圆M 与准线相切；（2）以AF 为直径的圆C 与y 轴准线相切；（3）以BF 为直径的圆D 与y 轴准线相切；（4）分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆关系有：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。
抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程AB1 2 12 3有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 2= 2 px (p>0)的焦点 F 作⼀条直线 L 和此抛物线相交于 A (x , y ) 、B (x , y ) 两点1122结论 1： AB = x 1 + x 2 + pAB =AF + BF = (x + p ) + (x + p) = x + x + p1 2 2 21 22 p结论 2：若直线 L 的倾斜⾓为θ，则弦长 AB π=sin 2 θ证: (1)若θ= 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,∴ AB 2= 2 p ∴结论得证π(2)若θ≠时,设直线 L 的⽅程为： y = (x -2p ) tan θ即 x = y ? cot θ+ p2 2代⼊抛物线⽅程得y 2 - 2 py ? cot θ- p 2 = 0 由韦达定理 y y = - p 2 , y + y = 2 p cot θ由弦长公式得 AB = y 1 - y 2 = 2 p (1 + cot 2θ) =2 p sin 2 θ结论 3：过焦点的弦中通径长最⼩sin 2 θ≤ 1∴2 psin 2 θ≥ 2 p ∴ AB 的最⼩值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.结论 4：S 2 ?oAB = p (为定值) 8 1 + cot 2 θAF + BF 222 212 2 1 S= S+ S= 1OF ? BF ? sin θ+ 1OF ? AF ? sin ? ?OABOBF=1(+0 AF) 2 2 θ= 1 ? ? θ= 1 ? ? 2 p ?θ=p 2OF2 S 2AF= P 3 8 BFsin OF AB 2sin2 2 sin 2 θsin2 sin θ结论 5： (1) y 1 y 2 = - p p2 (2) x 1x 2=4y 2 y 2 ( y y )2 P 2证 x = 1 , x = 2 ,∴ x x =1 2 = 1 2 p 22 p1 2 4P 2 4结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA 1，过 B 点作准线的垂线 BB 1，过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM 1 == = 2 2 2故结论得证结论 7：连接 A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥ B 1FAA 1 = AF ,∴∠AA 1 F = ∠AFA 1 AA 1 // OF ∴∠AA 1 F = ∠A 1 FO ∴∠A 1 FO = ∠A 1 FA 同理∠B 1 FO = ∠B 1 FB ∴∠A 1 FB 1 = 90?∴A 1F ⊥ B 1 F结论 8：（1）AM 1 ⊥ BM 1（2）M 1F ⊥ AB（3） M 1 F = （4）设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1 相交于 Q （5） AM 1+ M 1 B = 4 M 1 MAF ? BF则 M 1，Q ，F ，H 四点共圆证：由结论（6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上∴ AM 1 ⊥ BM 1A 1 FB 1 为直⾓三⾓形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点∴ A 1 M 1 = M 1 F ∴∠M 1 FA 1 = ∠M 1 A 1 F ∠AA 1 F = ∠AFA 1∠AA 1 F + ∠FA 1 M 1 = ∠AA 1 M 1 = 90?∴M 1F ⊥ AB∴∠AFA 1 + ∠A 1 FM 1 = 90?∴ M F 2= AF ? BF AM 1 ⊥ BM 1 ∴∠AM 1 B = 90?⼜ A 1F ⊥ B 1F∴∠A 1FB 1 = 90?所以 M 1，Q ，F,H 四点共圆， AM 1 + M 1 B = AB2= ( A F + BF )2= ( AA+ BB 1 )2= (2 MM )2= 4 MM 2结论 9：（1） A 、O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1 平⾏于 X 轴（4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1 平⾏于 X 轴AA 1 + BB 1 AB1 21FA FB AF FA FB BF FA B 1 E EA 1 AF BFAE BEAF BF 时y 1 y 1 1证：因为 k oA = x = y 2 = 2 p , k yoB 1 = y 2 - p = - 2 y 2 p ，⽽ y 1 y 2 = - p 21 1 12 p2 所以 k oA 结论 10：+=2 p- p 2y 2 1 = = - 2 y 2 p2 p= k oB 1所以三点共线。
焦点弦的八大结论
焦点弦的八大结论焦点弦是一种常见的数学问题，它的研究有助于我们更深入地理解数学中的一些重要概念和定理。
在这篇文章中，我们将讨论焦点弦的八大结论，了解它们分别是什么以及它们的意义。
最后，我们还将介绍焦点弦在实际应用中的一些例子。
一、焦点弦与抛物线的关系抛物线是一种经典的二次函数图像，它的形状是一个开口朝上或朝下的U字形曲线。
而焦点弦则是经过抛物线焦点的一条线段，根据抛物线的性质，焦点弦与抛物线的顶点在同一条直线上。
二、焦点弦的长度焦点弦的长度等于抛物线顶点到焦点的距离的两倍，这个结论很容易证明，只需要利用抛物线的定义式和距离公式即可得出。
三、焦点弦的中点焦点弦的中点恰好落在抛物线的准线上，这个结论也很容易证明，只需要利用抛物线的对称性即可。
四、焦点弦的垂线焦点弦的垂线恰好与抛物线相切，并且与抛物线准线垂直，这个结论涉及到了抛物线的切线和法线的概念。
五、抛物线对称性抛物线的对称轴恰好与焦点弦重合，这个结论是由于焦点弦的中点在对称轴上。
六、焦距的作用焦点弦和焦距有着密切的关系，焦点弦的长度等于焦距的两倍，这个结论是逆向推导出来的，也就是我们通过焦距来求出焦点弦的长度。
七、焦点弦的作用焦点弦在数学中有着重要的作用，它可以用来推导一些抛物线的性质，例如抛物线的切线和法线。
此外，在工程中，焦点弦也有广泛的应用，它可以用来设计一些光学系统和声学系统。
八、应用实例我们举个例子，考虑一个天线系统，它的辐射方向呈现出一条抛物线形状，我们可以通过焦点弦来设计这个天线系统的形状和大小，以达到最优的信号接收和传输效果。
类似的应用还包括椭圆镜头和声学降噪系统等。
综上所述，焦点弦是一个重要的数学问题，它在抛物线的研究和实际应用中有着广泛的应用。
理解焦点弦的八大结论有助于我们更深入地理解抛物线的概念和性质，同时也为我们提供了一些实际应用的思路和方法。
因此，学习和掌握焦点弦的八大结论是非常有益的。
抛物线的焦点弦问题
抛物线的焦点弦问题作者：王野来源：《课程教育研究·中》2014年第06期【摘要】抛物线中有关焦点弦有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路，而且能够节省很多时间。
例如：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦（过焦点F的弦），且A(x1，y1)，B(x2,y2),则：结论一：x1x2=■，y1y2=-p2。
结论二：■+■=■。
结论三：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB=■结论四：焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论五：以抛物线焦点弦AB为直径的圆与准线相切。
结论六：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足A1B1为直径端点的圆与焦点弦相切。
结论七：以AF，BF为直径的圆与y轴相切。
我在做13年高考题中，发现了一个新的结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于焦点弦。
【关键词】焦点弦抛物线问题高考【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0148-01全国大纲卷（11）已知抛物线C：y2=8x与点M(-2，2)，过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若■·■=0，则k=（）（A）■ （B）■ （C）■ （D）2标准答案：【解析】设直线AB方程为y=k(x-2)，代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=■，x1x2=4（?鄢）∵■·■=0∴(x1+2，y1-2)·(x2+2，y2-2)=0即(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③由（?鄢）及①②③得k=2，故选D标准答案的计算量非常的大，主要考察学生的计算能力。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案
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[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。
有关抛物线焦点弦的几个重要结论
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有关抛物线焦点弦的几个重要结论
作者：宋秉龙
来源：《考试周刊》2013年第63期
摘要：抛物线中的焦点弦问题是高考的热点问题，熟练掌握有关焦点弦的重要结论有利于解决焦点弦问题，大大节省解题时间，提高解题准确率，从而达到事半功倍的效果.
关键词：抛物线焦点弦重要结论
在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，我们把过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，弦AB叫抛物线的焦点弦.有关抛物线焦点弦问题是高考的热点问题，抛物线的焦点弦有很多重要结论，熟练掌握这些结论对解决有关焦点弦的问题大有裨益.现笔者就有关焦点弦的结论总结如下，与大家共勉.。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：p x x AB ++=21结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。
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p 2
= 2 px k 2 x2
−
k2
+2
px +
k2 p2
=0
2
4
( ) x1
+ x2
=
p
k2 +2 k2
,
x1 x2
=
p2 4
.
由抛物线的定义知 m =
AF
= x1 +
p,n = 2
BF
= x2 +
p 2
3
一寸光阴不可轻
1 +1 = m+n = m n mn
x1 + x2 + p
x1 x2
AM
= m, BM
AA1 // KF // BB1
A1K B1K
=
AF FB
而 AF
=
A1 A, BF
=
B1 B
o
K
F
B
A1K = A1 A B1K B1B
A1 K A1 A
=
B1K B1B
，而 AA1K
=
BB1K
=
90 0
AA1K ∽ BB1K AKF = BKF
A1KA = B1KB
2
一寸光阴不可轻
知识点 6：若 AB 是过抛物线 y2 = 2 px(p 0)的焦点 F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接
yC
=
−
p2 −p
2
= y2
y2
BC // OF
逆定理：若 AB 是过抛物线 y2 = 2 px(p 0)的焦点 F 的弦，过点 B 作 BC // OF 交抛物
线准线于点 C, 则 A、C、O 三点共线。
证明略
抛物线焦点弦的有关结论含答案
抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦。
设(),,11yxA()22,yxB，则（1）4221pxx=；（2）221pyy-=证明：如图，（1）若AB的斜率不存在时，依题意,221pxx==4221pxx=∴若AB的斜率存在时，设为,k则⎭⎝⎛-=2:xkyAB()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-pkpxkxkpxpxk.4221pxx=∴综上：.4221pxx=（2）pyxpyx2,2222211==，,22142221pyypyy±=⇒=∴但22121,0pyyyy-=∴<（2）另证：设2:pmyxAB+=与pxy22=联立，得22122,02pyyppmyy-=∴=--知识点2：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦。
设(),,11yxA()22,yxB，则（1）;21pxxAB++=（2）设直线AB的倾斜角为α，则2sin2pAB=证明：（1）由抛物线的定义知,2,221pxBFpxAF+=+=pxxBFAFAB++=+=∴21（2）若,2,9021pxx===则α由（1）知α2sin22ppAB==若pxypxkyAB2,2:,9020=⎪⎭⎫⎝⎛-=≠与设α联立，得()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-pkpxkxkpxpxk(),22221kkpxx+=+∴()222112kkppxxAB+=++=∴，而αtan=k，()ααα222sin2tantan12ppAB=+=∴知识点3：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11BA、过AB中点M向准线引垂线，垂足为,N设以AB为直径的圆的半径为,r.2211rMNMNBBAABFAFABr=∴=+=+==∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
与抛物线焦点弦有关的几个结论
与抛物线焦点弦有关的几个结论
抛物线是一种二次曲线，它的两个焦点和准线重要的概念。
在抛物线的作图中，弦也
是一个非常重要的元素。
抛物线的焦点弦指的是通过焦点连成的直线，它可以有助于更好地了解抛物线的特点。
下面将介绍抛物线与焦点弦之间的几个结论：
一、抛物线的焦点弦与抛物线的准线垂直：抛物线的准线是一条垂直于x轴或y轴的
直线，而抛物线的焦点弦也是垂直于这条准线的。
二、焦点弦是抛物线的对称轴：抛物线是一个对称图形，焦点弦也是抛物线的一个
对称轴。
因此，在进行图形操作时，如旋转、剪切等，我们可以以焦点弦作为对称轴，借
助它来操作图形。
三、抛物线的焦点距离等于它的准线距离的两倍：根据抛物线的定义，其准线距离为
它左右两个焦点的距离，那么抛物线的焦点弦距离就是准线距离的两倍。
四、抛物线的焦点弦与抛物线的坐标原点有关联：由于抛物线的准线与它的焦点弦都
是垂直的，那么抛物线弦的中心点就与抛物线的坐标原点关联起来了。
总而言之，抛物线的焦点弦是一个非常重要的概念，它与抛物线的准线有着十分密切
的关系，而且与抛物线的坐标原点也有一定的联系，有助于更好地描绘出抛物线图形，从
而更好地理解抛物线。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论
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[很全]抛物线焦点弦的有关结论
抛物线焦点弦，又称抛物线弦或抛物线，是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关
于抛物线的有关结论有如下：
1. 抛物线的方程为y²=2px，或x²=2py，其中p为抛物线的焦距，“焦点”F(p，0)
和“直径”2p定义如下：
2. 抛物线呈对称性，它的轴对称轴是一条直线，被称为“抛物线弦”。
3. 给定两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，抛物线的焦距p及对称轴的方程为：
p=(x1x2+y1y2)/2，
y=kx+(x1x2+y1y2)/2，
其中k=(y2-y1)/(x2-x1)；
4. 关于抛物线的离心率，抛物线的离心率是1/2的抛物线的离心率；
5. 关于抛物线的焦点，抛物线的焦点是抛物线围绕其中心旋转的法线，焦点的距离
是抛物线弦的长；
6. 抛物线弦所得到的线段，其投影与原点构成的线段n、n1相等。
7. 抛物线弦的位置关系，抛物线弦若与坐标轴垂直，则与坐标轴的切点的距离的平
方等于抛物线的焦距的两倍；若抛物线弦与坐标轴平行，则抛物线弦与坐标轴的切点的距
离相等；
8. 抛物线弦上的点对抛物线有特殊意义，“拱点”是抛物线可能拱起的点，“切点”是抛物线可能与其他直线相交的点，“焦点”是抛物线的中心，而“弦定点”则是抛物线
弦中心和焦点的中点。
总之，抛物线焦点弦是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关于抛物线的诸多结论
都可以从对称轴的方程、焦点弦的长度及相关点的位置关系中得出。