高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版知识精讲

高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

复合函数的导数、对数与指数函数的导数

二. 本周教学重、难点： 1. 复合函数的求导法则

设)(x u ϕ=在点x 处有导数)(x u x ϕ'='，)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数

)(u f y u '='，则))((x f ϕ在点x 处也有导数，且x u x u y y '⋅'='或)()())((x u f x f x ϕϕ''='

2. 对数函数的导数 （1）x x 1)(ln =

' （2）e x

x a a log 1

)(log =' 3. 指数函数的导数

（1）x

x

e e =')( （2）a a a x

x

ln )(='

【典型例题】

[例1] 求下列函数的导数

（1）3

2)2(x x y += （2）2

45x e y +=

（3）32c bx ax y ++=

（4）3

12

)(sin x y =

（5）)1ln(2x x y ++= （6）x x y 33

log =

（7）x

x

y 2sin 5cos =

解：

（1）2

2

2

22)2)(1(6)22()2(33x x x x x x u u y ++=++='⋅=' （2）x e u e y x u 82

45⋅='⋅='+

（3）)2()(3

13132

2

32

b ax

c bx ax u u y +++='='--

（4）3

2

222

32232)(sin 3cos 22cos )(sin 3

1)2(cos 31x x x x x x x v u v u y y x v u =⋅=⋅⋅='⋅'⋅'='-- （5）])1(121

1[11)1(1122

222'+++++='++++=

'x x x x x x x x y 2

2211

)11(11x x x x x +=++++= （6）)(log log 1log 33

323332ex x e x

x x x y =⋅+='

（7）2)2(sin )2(sin 5cos 2sin )5(cos )2sin 5cos (x x x x x x x y '

-'='=' 2

)2(sin 2cos 5cos 22sin 5sin 5x x

x x x ⋅-⋅-=

[例2] 若)5ln()(-+=x x x f ，)1ln()(-=x x g 解不等式)()(x g x f '>'

解：511)(-+

='x x f 1

1)(-='x x g ∵ )()(x g x f '>' ∴ 1

1

511->

-+x x ∴ 0)1)(5()3(2>---x x x ∴ 5>x 或1->-0

10

5x x ∴ 5>x

∴ 解集为（5，∞+）

[例3] 设曲线)0(≥=-x e y x 在点M （t

e t -,）处的切线l 与y x ,轴围成的三角形面积为)(t s ，求切线l 的方程。

解：x x

e e y ---='=')( ∴ t t x e y -=-='|

∴ )(t x e e y t t

--=--- ∴ 0)1(=+-+--t e y x e t t

[例4] 曲线x e

y x

3cos 2=在（0，1）处的切线与l 的距离为5，求l 的方程。

解：)3(cos 3cos )(22'+'='x e x e y x

x

x x

e x x e

22)3sin (33cos 2-+=

x e x e x

x

3sin 33cos 222-=

∴ 曲线在（0，1）处的切线的斜率2|0='==x y k ∴ 切线方程为x y 21=-

设l 的方程为m x y +=2 ∴ 55

1=-=m d ∴ 4-=m 或6

当4-=m 时，l 为：42-=x y 当6=m 时，l 为：62+=x y

[例5] 将水注入锥形容器中，其速度为min /43

m ，设锥形容器的高为m 8，顶口直径为m 6，求当水深为m 5时，水面上升的速度。

解：设注入水min t 后，水深为hm ，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为hm 4

3

，这时水的体积为3264

3)83(31h h h V ππ=⋅=

由于水面高度h 随时间t 而变化，因而h 是t 的函数)(t h h =

由此可得水的体积关于时间t 的导数为t t t h t h h h h h V V '⋅='⋅'='⋅'='2

364

9)643(ππ 由假设，注水速度为min /43

m

∴ 46492='⋅='t t h h V π即2

9644h h t π⨯='

∴ 当m h 5=时，水面上升的速度为：min)/(225256

59644|25m h h π

π=⋅⨯='=

[例6] 求下列函数的导数

（1）)(12x y ϕ+= （2）)4()

4()2()4()5(2

15312

>++-+=x x x x x y

解：

（1）∵ 0>y ∴ 两边取对数得)](1ln[2

1

ln 2x y ϕ+= 两边求导得：

)(1)()(2x x x y y ϕϕϕ+'=' ∴ )(1)(1)()()(1)()(2

22x x x x y x x x y ϕϕϕϕϕϕϕ++'=+'=')

(1)()(2x x x ϕϕϕ+'=

（2）∵ 0>y

∴ 两边取对数：2

15312)

4()2()

4()5(ln

ln ++-+=x x x x y

)4ln(2

1

)2ln(5)4ln(31)5ln(2+-+--++=x x x x

在上式两边求导得)

4(21

25)4(3152'+-+--++=x x x x y y

整理后得])

4(2125)4(3152[

)

4()2()4()5('2

15

312

+-+--++⋅++-+=

x x x x x x x x y

[例7] 已知曲线)(x f y =与)(x f y =)0(sin ≠a ax ，其中0)(>x f ，且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。

证明：设两曲线公共点为（00,y x ）则)(00x f y =，000sin )(ax x f y ⋅=

即000sin )()(ax x f x f = ∴ 1sin 0=ax ∴ )(2

20Z k k ax ∈+

=π

π

∴ )2

2(10π

π+=

k a x （Z k ∈） 对)(1x f y =有)(1

x f y '=' 对ax x f y sin )(2=有2

y 'ax x af ax x f cos )()sin()(+'= ∵ )(|01

0x f y x x '='= 00002

cos )(sin )(|0ax x af ax x f y x x +'='= )()2

2cos()()2

2sin()(000x f k x af k x f '=+

++

'=π

ππ

π

∴ 00||21

x x x x y y =='=' ∴ 两曲线彼此相切