容斥原理初步

i n k 1 I C ( n 1, k ) iI
n 1
k 1
I C ( n 1, k ) iI n 1
| ( A A |
i n I C ( n 1, k ) iI
| Ai | ( 1)
k 2

| Ai | | An | ( 1)k 1
A1 A2
n
... An Ai Ai
i 1 i 1 j i
Aj
+ Ai
i=1 j>i k>j
Aj ...
Ak ... An
( 1) n 1 A1
A2
(4)
...
n
A1
A2
n i 1
...
An N A1
n i 1 j i
A2
An 1
C(3,2) = {1 3}{2 3}{1 2}
C(3,k) = {1} {2} {3} {1 2}{1 3}{2 3} {1 2 3}
k=1时 k=2时 k=3时
• 定理设C(n,k)是［1,n］的所有k-子集的集合, 则
A
i 1
n
i
( 1) k 1
k 1
n
I C ( n , k ) i I
M 170, P 130, C 120, M M C 20, P C 22, M
P 45
P
C 3

M
P M
C M P C M C P C M P
P M C
19
170 130 120 45 20 22 3 336
即学校学生数为336人。
第三章 容斥原理与鸽巢原理
马昱春 myc@mail.tsinghua.edu.cn
1
第三章 容斥原理与鸽巢原理
• 容斥原理
A B A B
–Inclusion and Exclusion Principle
–计数时重叠部分不能被重复计算
• 若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n 。
An 1 即定理对n+1也是正确的。 6
§3.2 容斥原理
最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。 (1) A B A B A B
证
若A∩B=φ，则 | A∪B |= |A| + |B| | A |＝| A ∩( B∪B) | ＝| (A∩B)∪(A∩B)| ＝| A∩B | + | A∩B | (1) 同理 | B | ＝| B∩A | + | B∩A | (2) | A∪B |＝|(A∩( B∪B))∪(B∩(A∪A))| ＝|(A∩B)∪(A∩B)∪(B∩A)∪(B∩A)| ＝| A∩B| + |A∩B | + | B∩A| (3) (3)-(2)-(1) 得到| A∪B |－| A |－| B | ＝| A∩B| + |A∩B | + | B∩A| －( | A∩B | + | A∩B | )－( | B∩A | + | B∩A | ) 7 ＝－ | A∩B | ∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
§3.2 容斥原理
定理： A
B - A
C A B C A C B C A B
B C
(2)
8
§3.2 容斥原理
证明： A A
根据 A B
B
C (A B C (A
(A B)
B) B)
C C
C) (B (B B C) C C)
C (A C) B-A
C A B C A (A
对n用归纳法。n=2时，等式成立。 假设对n - 1，等式成立。对于n有
11
A
i 1
n
i

( 1)
k 1
n
k 1
I C ( n , k )

| Ai |
i I
• 证
A A A A | A |A A
i i n i n i i 1
n
n1
n1 i 1
1 1-0-0+0 = 1 0 1-1-0+0 = 0
若x 属于A2 但不属于A1
0 1-0-1+0 = 0
若x 属于A2 且属于A1
0 1-1-1+1 = 0
两边相等
15
(x+y)m =C(m,0)xm+ C(m,1)xm-1y+…+C(m,m)ym If x=1, y=-1 0 = C(m,0)- C(m,1) +…+(-1)mC(m,m)
………
x只满足n个属性, nm
0
C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)+…+(-1)mC(n,m) = C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)+…+(-1)nC(n,n) +0… +0 =0
两边相等，同样计算不满足任何属性的元素个数
16
§3.2 容斥原理
• 容斥原理指的就是（4）和（ 5）式。 n n
|A
i
|
证: 分析C(n,k)，可根据包含不包含n划分成两部分
包含n的可看做C(n-1,k-1)中每个子集再加上元素n； 不包含n的由C(n-1,k)组成； | Ai | | Ai An | | Ai | k≥2
IC ( n,k ) iI IC ( n1,k 1) iI IC ( n1,k ) iI
3
§3.1 容斥原理引论
• 若A和B是集合U的子集，补集complement
A { x | x U 且 x A}
• [德摩根De Morgan定理]
(a) A
(b) A
B A
B
B A
B
U A
B
4
(a) A
B A
B
证：(a)的证明。 设x A B ,则 x A B 成立，亦即
–容斥的计数思想是:
• 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的 所有对象的数目先计算出来； • 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去； • 使得计算的结果既无遗漏又无重复。
2
§3.1 容斥原理引论
例 [1，20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是： 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。 10个 3的倍数是： 3，6，9，12，15，18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6，12，18 在两类中重复计数，应减去。 故答案是：16-3=13

| Ai |
i I
• 此定理也可表示为：
A 1 A2
n
...
n i 1
An
j i

i 1 n
Ai Ai Aj ...
Aj Ak ... An
+ Ai
i=1 j>i k>j
( 1) n 1 A 1
A2
(4)
13
§3.2 容斥原理
又 A N A ,
Aj A2 ...
(5)
14
( 1) n A1
An
Inclusion-Exclusion Principle
| A1 A2 || S | | A1 | | A2 | | A1 A2 |
计算不在 A1 也不在 A2中的元素个数
若x不属于A1 或A2 若x 属于A1 但不属于A2
B
5
§3.1 容斥原理引论
DeMogan定理的推广：设A1,A2, …. An是U的子集,
则
(a)A 1
A2
... A n A1
A2
... A n
证:采用数学归纳法
A1 A2 ... A n A1 A2 ... A n 正确
则 A1 A1 A2 A2 ... A2 ... An ... An An An 1 ( A1 An 1 ... An ) An 1 ( A1
An Aj Ak ...
17
N Ai Ai ( 1) n A1 A2 ...
Aj An
- Ai
i=1 j>i k>j
(5)
• Inclusion–exclusion principle
– This concept is attributed to Abraham de Moivre (1718) – It first appears in a paper of Daniel da Silva (1854) – Later in a paper by J. J. Sylvester (1883)
A1 A2 Am S Ai Ai Aj Ai Aj Ak
计算不满足任意属性的元素.
(1) m A1 A2 Am
x不满足任何属性 x只满足1个属性
1 1-0-0…+(-1)m0 = 1 0 1-1-0 …+(-1)m0 = 0
A B C A A B C
C B
9
§3.2 容斥原理
进一步可推出：
A B C B D A B C D A C A C D A D A B B C C D D B B
A A
C B
10
C(2,k) = {1} {2} {1 2}
k=1时 k=2时

| ( Ai An ) | ( 1)
| Ai |
i 1
n
由于
IC ( n,k ) iI
n
|A | |A A | |A |
i IC ( n1,k 1) iI
k 1
i
n
IC ( n1,k ) iI
n 1
i
| Ai | ( 1)
"One of the most useful principles of enumeration in discrete probability and combinatorial theory is the celebrated principle of inclusion–exclusion. When skillfully applied, this principle has yielded the solution to many a combinatorial problem."
§3.2 容斥原理
例 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门 课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理两门课的 学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？ 令：M为修数学的学生集合；P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
§3.3 举例
例1 求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现 ace和df图象的排列数。 解：6个字母全排列： |S| = 6! 设A为ace作为一个元素出现的排列集: |A|=4!， B为 df作为一个元素出现的排列集: |B|=5!， A∩B为同时出现ace、df的排列数: |A∩B |=3!。
i 1 k 2
n 1
I C ( n , k ) i I
| A | (1)
i
| Ai |
i 1
n
( 1) k 1
k 1
n
I C ( n , k ) i I
| A |
i
12
§3.2 容斥原理
Ai
i 1 n k 1 ( 1 ) k 1 n I C ( n , k )
ห้องสมุดไป่ตู้
相当于 x A 和 x B 同时
(1)
x A B x A B
反之，若 x A B , 即 x A 和 x B 故 x A, x B即x A B
x A B x A B
(2)
由（1）和（2）得 x A B x A (b)的证明和(a)类似，从略.
n1 i 1
n

第一项
( 1)
k 1 n 1 i 1
i 1 n 1
A | A | ( A A )
i n i n i 1 i 1
n1
n1
k 1
I C ( n 1, k ) iI n 1 k 1
| A | | A | (1)
k 1
n
| ( A A ) |
i n
| Ai | ( 1)
i 1 k 2
n 1
n 1
k 1
I C ( n 1, k ) iI
| A | | A
i
| ( 1)
k 2
n 1
最后一项
n 1
k 1
I C ( n 1, k 1) iI
其中N是集合U的元素个数，即不属于A的元素 个数等于集合的全体减去属于A的元素的个数。 一般有：
A1 A2
n i 1
...
An N A1
n i 1 j i
A2
...
An 1
An
N Ai Ai - Ai
i=1 j>i k>j n
Aj Ak ...