医用高等数学第四章课件.ppt

简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 (3) dx ln x C;
表
x
说明：
x
0,
dx x
ln
x C,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
第四章 不定积分 Integration
第一节、不定积分的概念和性质 第二节、换元积分法和分部积分法 第三节、有理式积分法
第一节 不定积分的概念和性质
• 原函数和不定积分的概念 • 不定积分的几何意义 • 不定积分的性质 • 不定积分的基本公式及线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
二、不定积分的几何意义
几何意义：
函数 f(x)的不定积分 f(x)dx是一族积分曲线(在每
一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线，切线 相互平行，其斜率都是f(x))
y F(x) c y
y F(x)
x
o
x
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f
( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
三、基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
)dx
1
1 x
2
1源自文库x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x C.
例9
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例10
求积分
1
1 cos
（k 是常数，k 0)
例7
求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
1
1
3 1 x2 dx 2
dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例8
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
例5、求积分 3x exdx
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
例6、求积分
ax
1 1 x2
sin
x dx
三、 不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证
f
( x)dx
g( x)dx
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续，
那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).