定态微扰论讲解

(1) n
?
H?(1?)
(0) n
]
?
? ? ?
? ?
??
En(0)?
(0) n
?
[ En(0)?
(1) n
?
En(1?)
n(0) ] ?
? ? ?
?
??
2
[
H?(0)?
(2) n
?
H?(1?)
n(1)]
?
? ??
??? 2
[ En(0)?
(2) n
?
En(1?)
(1) n
?
En(2)?
(0) n
]
(1)
n
n
(0) n
? ? ? ? ? H? ? H? ? E ? E ? E (0) (2) n
(1) (1) n
(0) (2) nn
(1) (1) nn
(2) (0) nn
整理后得：
?[ H? (0)
?
?[
H?
(0)
?
?[
H?
(0)
?
? ? ?
E (0) n
]?
E (0) n
]?
E (0) n
?
? ?
(1) n
?
a ? (1) (0)
k
k
k?1
?[ ?
H? (0)
?
En(0) ]?
(0) n
?
0
?[ ?
H? (0)
?
En(0) ]?
(1) n
?
?[
H? (1)
?
En(1) ]?
(0) n
?[ ?
H? (0)
? En(0) ]?
(2) n
?
?[
H? (1) ?
En(1) ]?
(1) n
?
]?
(0) n
(1) n
(2) n
?0
?
? [ H? (1)
?
E
(1) n
]?
(0) n
?
? [ H? (1)
?
E
(1) n
]?
(1) n
?
E
(2) n
?
(0) n
?
??
上面的第一式就是 H(0)的本征方程，第二、三式分别 是ψn (1) 和ψn (2)所满足的方程，由此可解得能量和波函 数的第一、二级修正。
n 的各阶近似表达式，
和由?
(0) n
近似求出 ?
n
的各阶近似表达式。
为了明显表示出微扰的微小程
度，将其写为： H? ? ? ? H? ( 1 )
其中 λ是很小的实数， 表征微扰程度的参量。
因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是 λ的 函数而将其展开成 λ的幂级数：
En
?
E (0) n
第四章 定态微扰论
§1 引言 §2 非简并定态微扰理论
赣南师范学院物理系
§1 引 言
（一）近似方法的重要性
前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些 理论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）氢原子问题。
这些问题都给出了问题的精确解析解。
然而，对于大量的实际物理问题， Schrodinger 方 程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理 复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法 （简称近似方法 ）就显得特别重要。
?
? ?
???3 [
]?
? ?
??? 3
[
]?
? ?
? ?
? ?
??
??
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式 :
?0 : ?1 : ?2 :
? ? H? ? E (0) (0) n
(0) (0) nn
H? ? (0)
? (1)
n
H? ?(1)
(0) n
?
En(0)?
? ? E (1)
H?? n ? En? n
当H' = 0 时， ψn= ψn (0), En = E n (0) ；
当 H' ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动，由 E n (0) → E n ，状态由 ψn (0) →ψ n 。
微扰使能级发生移动，波函数发生变化。我们的目的
是，由原来的
?
(0) n
求出微扰后的?
（二）波函数和能量的一级修正
现在我们借助于未微扰体系的波函数 ψn (0) 和本征能量 E n (0)来导出扰动后的波函数 ψn和能量 En 的表达式。
(1)能量一级修正λE n (1)
根据力学量本征函数的完备性假定， H(0)的本征函数 ψn (0) 是完备的，任何波函数都可按其展开， ψn (1) 也 不例外。因此我们可以将波函数的一级修正展开为：
代入Schrodinger 方程得：
( H? (0)
?
? H? (1) )(?
(0) n
? ??
? ? ? ? (1)
2 (2)
n
n
)
?
(
E
(0) n
?
?
E (1) n
?
?
E 2 (2) n
?
)(?
(0) n
? ??
? ? ? (1)
2 (2)
n
n
?
)
乘开得：
? ?
??
H?(0)?
(0) n
?
[H?(0)?
微扰论利用已知的可精确求解的体系求待求解的体系。
可精确求解的体系叫做 未微扰体系 ，待求解的体系 叫做微扰体系 。假设体系 Hamilton 量不显含时间， 而且可分为两部分：
H? ? H? (0) ? H? ?
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值
E n (0) ，本征态 ψn(0) 满足如下本征方程：
左乘ψm (0) *再积分
?
? ?? ? ? a E ? E ] d (1) (0)
?
?
E
(1) n
?
?
E 2 (2) n
?
?
n
??
(0) n
? ??
(1) n
?
? 2?
(2) n
?
其中E n (0), λE n (1), λ2 E n (1), ... 分别是能量的 0 级近似， 能量的一级修正和二级修正等；
而ψn (0), λψ n (1), λ2 ψn (2), ... 分别是状态的 0 级近似，一级修正和二级修正等。
（二）近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解） 出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。
常用的近似方法有 微扰论、变分法等等
§2 非简并定态微扰理论
（一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例
（一）微扰体系方程
? ? H? ? E (0) (0) n
(0) (0) nn
H? ? H? (0) ? H? ?
另一部分 H' 是很小的（很小的物理意义将在下面讨 论）可以看作加于 H(0) 上的微小扰动，即 微扰。现 在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量 H 的本征 值和本征函数，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：
En(2)?
(0) n
?
??
代回上面的第二式并计及第一式得：
?
? H? (0)
[
?
E (0) n
]
? ? a (1) k
(0) k
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?[
H? (1)
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E (1) n
]
(0) n
k ?1
?来自百度文库
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