第一章水静力学

第一章 水静力学

水静力学的任务是研究液体的平衡规律及其工程应用。

液体的平衡状态有两种：一种是静止状态，即液体相对与地球没有运动，处于静止状态。另一种是相对平衡，即所研究的整个液体相对于地球在运动，但液体相对于容器或液体质点之间没有相对运动，即处于相对平衡状态。例如，等速直线行驶或等加速直线行驶小车中所盛的液体，等角速度旋转容器中所盛的液体。

本章的核心问题是根据平衡条件来求解静水压强的分布规律，并根据静水压强的分布规律来确定各种情况下的静水总压力。即先从点、再到面，最后对整个物体确定静水总压力的大小、方向、作用点。

水静力学是解决水利工程中水力荷载问题的基础，同时也是今后学习水动力学的必要知识。从后面章节的学习中可以知道，即使水流处于运动状态，在有些情况下，动水压强的分布规律也可认为与静水压强的分布规律相同。

第一节 静止压强及其特性

一.静水压强的概念.

在静水中有一受压面，其面积为ΔA ，作用其上的压力为ΔP ,则该微小面积上的平均静水压强为A P p ∆∆=，当ΔA →0时，平均压强的极限就是点压强，)

,,(0lim z y x A P A p p ==∆∆→∆，这也说明了静水压强是关于空间位置坐标的函数。

静水压强的单位有三种表示方法：（1）用应力的单位表示，即N/m 2或kN/m 2；（2）用大气压强的倍数表示；（3）用液柱高度表示。

静水压力并非集中作用于某一点，而是连续地分布在整个受压面上，它是静水压强这一分布荷载的合力。静水压强反映的是荷载集度。今后的学习中将重点掌握如何根据静水压强的分布规律推求静水总压力。

由于水利工程中有时习惯将压强称为压力，故水力学中就将静水压力称为静水总压力，以示区别。游泳胸闷,木桶箍都说明静水压力的存在。 二.静水压强的特性

1>方向 垂直指向受压面，用反证法说明。

2>大小 静水中任何一点各个方向的静水压强大小都相等。

n z y x p p p p === 而),,(z y x p p =

三.绝对压强 相对压强

1> 绝对压强

以设想的没有大气压存在的绝对真空状态为零点计量得到的压强称为绝对压强，以p ab 或p ＇来表示。

由于大气压强随海拔高程而变化，地球上不同地点的大气压强值不同，故提出了当地大气压的概念。但利用当地大气压强进行水力计算很不方便，为此，在水力学中又提出了工程大气压的概念，取一个工程大气压1p a =98kN/m 2=736mmHg 柱=10m 水柱，显然略小于标准大气压,在今后的水力计算中，均采用工程大气压。

2> 相对压强

由于水利工程中所有的水工建筑物都处在大气压强的包围之中，另外，所有的测压仪表测出的都是绝对压强与当地大气压强的差值，故引入了相对压强的概念。相对压强是以当地大气压强为零点计量得到的压强，又称为计示压强或表压强，以p 表示,a ab p p p

-=。 从上述介绍可知，绝对压强恒为正值，相对压强可正可负可为零。

3> 真空及真空度

相对压强为负值的情况称为负压，即a ab p p <，负压也称真空，表示某点的绝对压强小

于当地大气压强的数值。负压的大小常以真空度来衡量，即p p p p ab a v =-=。大家要注意，

真空不一定只产生于气体当中，液体中也可以有真空。由上式可见，当绝对压强为零时，真空度达到理论上的最大值——一个当地大气压强。事实上，由于受汽化压强的限制，液体的

最大真空度只能达到当地大气压强与当时温度下液体的汽化压强之差，即汽p p p a v -=m ax 。

第二节 液体平衡微分方程及其积分

液体平衡微分方程表征了液体处于平衡状态时，作用于液体上的表面力和质量力之间的关系，是研究液体平衡规律的基本方程。

液体平衡微分方程(欧拉平衡方程,1775年欧拉首先推导出来）:

Z Y X z p

y

p

x

p

ρρρ===∂∂∂∂∂∂ 该方程的物理意义是：平衡液体中静水压强沿某一方向的变化率与该方向上单位体积的

质量力相等。若某一方向没有质量力的分量，则这一方向上静水压强就不会发生变化，即为常量。为求得平衡液体中点压强的具体表达式，需对欧拉方程进行积分。

均质液体平衡微分方程的另一种表达形式——积分形式。

)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ

上式是否有解析解？在什么情况下才有解析解？这由质量力的性质决定。结论是：作用于液体上的质量力必须是有势力，液体才能保持平衡（重力和惯性力都是有势力）；换句话说，不可压缩液体要维持平衡，只有在有势的质量力作用下才有可能。

把质量力用力势函数来表示，则液体平衡微分方程的积分形式可表示为dU dp

ρ=，积分后可得：C U p +=ρ，其中C 为积分常数，可由已知的边界条件确定。若液体表面某点的压强为p 0，相应的力势函数为U 0，则积分常数00U p C

ρ-=，从而得到不可压缩液体平衡

微分方程积分之后的普遍关系式: )

(00U U p p -+=ρ

式中，)(0U U -ρ是由液体密度和单位质量力确定的，其U 的具体表达式当由质量力的性质决定，与p 0无关。这就得到结论：平衡液体中，边界上压强p 0将等值地传递到液体内部各点，这就是著名的帕斯卡定理。

第三节 重力作用下的液体平衡

重力作用下液体平衡方程式有如下两种表达形式：

公式1 h p p γ+=0

式中：p 0为表面压强，p 表面以下任意一点的压强，h 该点在表面以下的淹没深度。该公式的物理意义是：重力作用下静止液体中任一点的静水压强p 等于表面压强p 0与该点在表面以下单位面积上高度为h 的液体重量之和。此公式也给出了静水压强的分布规律，即任一点的静水压强是淹没深度h 的一次函数。同时还可以看出，位于同一淹没深度上的各点具有相等的静水压强值。

在平衡液体中，静水压强是空间位置坐标的函数。我们把液体中压强相等的点组成的面称为等压面。由上式可以看出，重力作用下的等压面就是等淹没深度面，并且这个等压面还是水平面。据此可以得到重力作用下等压面必须具备的充要条件是：①重力作用下的等压面是水平面（必要条件）；②水平面以上或以下是相互贯通的同种液体（充分条件）。这个公式