半角模型(基础教学)
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此时等腰三角形顶角的度数；
C
A
D
苍松优选
EB
18
C
D′
A
D
E
B
结论： 当AD=BE时，线段DE、AD、EB
能构成一个等腰三角形且顶角
∠DFE为120°.
苍松优选
19
（3）应用：
在探究问题的条件下，如果AB=10，求 BD·AE的值．
AD
E
苍松优选
20
一、知识与技能：
1、“半角模型” 特征： ①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角；
AD
E
Ｂ
结论：DE 2 AD2 BE 2
苍松优选
变式
16
E′
３
AD
E
Ｂ
结论：DE 2 AD2 BE 2
苍松优选
逆
17
（2）变式：
已知：如图，等边△ABC中，点D、E在 —————————
边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使 ———————
线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出
苍松优选
1
如图，△ABC为等边三角形，D 是△ABC内一点，若将△ABD经过 逆时针旋转后到△ACP位置，则旋
转中心是___点__A_，旋转角等于
__6__0_°，AD与AP的夹角是_6_0_°___， △ADP是__等__边__三角形。
苍松优选
2
在—正——方——形—A——B—C—D中，—E—、——F—分——别—是——B—C——、—— CD上的点，且∠EAF＝45°，探究BE、DF、
的数—量——关——系2——是——否—仍然成立？
A
B
E
苍松优选
C
D
F
画板 变9 式3
A
B E
C
E′
D 结论：
F
EF=BE+DF
苍松优选
画板 1变0 式3
(3)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， ————————
∠B＋∠D＝180°，E、F分别是BC、CD延长线 上间—的的——点数——，量——且关——系E——A——是F——否—12 仍——B然A——BD——成E—、立——D，—F—若、——不E—F—成三—立—条—，线——请段——写之——
B，AD BE、DF、EF三条线段
之间的数量—关——系——是—2 —否——仍—然成立，若不成立，请
写出它们之间的数量关系，并证明.
A
EB F 苍松优选
D C
画板13
１、 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞
AD），∠A=90°，AB=BC=12，∠ECD=45°，若
————
BE=4，求ED的长.
——————2————
量关系是否仍然成立,请证明。
A
苍松优选B E
D
F
画板
C
顺 变式２
6
Aห้องสมุดไป่ตู้
E′
D 结论：
F EF=BE+DF
BE
C
苍松优选
画板 变7式２
A
E′
BE
D 结论：
F EF=BE+DF
C
苍松优选
画板 逆 变8 式２
（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， ————————
∠且—B——+E—∠A—FD——＝—1，1—8—BB0AD°E，、ED、—F—、F—分—E—别F—三是—条—B—线C——、段—C—之—D间—上的点，
2、强化关于利用旋转变换解决问题： ①旋转的目的： 将分散的条件集中，隐蔽的关系显现； ②旋转的条件： 具有公共端点的等线段； ③旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹 角为旋转角；
苍松优选
21
出它们之间的数量关系，并证明.
A
B
苍松优选
F D
CE
画板 变式141
A
E′
F 结论：
B
D EF=BE-DF
CE
苍松优选
画板 变式4 12
(4)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，
————————
∠B＋∠D＝180°，E、F分别是CB、DC延长线
——————————
上的点，且EAF
1
———————————————————
————————
EF三条线段之间的数量关系.
A
D
45
F
B
苍松优选
E
C
画板 顺 变3 式１
A
45°
BE
E′
D
结论：
F EF=BE+DF
C
苍松优选
画板 变4式１
A
45°
1
F′ B E
D
结论：
F EF=BE+DF
C
苍松优选
画板 逆 变5式１
（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， —————
∠且—B—＝—E—A∠—FD——＝1—，9—B0—A—°BD，E、E、DF—F分—、—别E—F—是三——B条—C—线、——段C—D—之—上间—的的点数，
——————
A 16-x D x-4 F
8x
E
4
B
C
苍松优选
14
２、（１）探究：
如图，已知Rt△ABC中， ∠ACB=90°,AC=BC，点D、E在斜边AB上，
——————— ——————
且∠DCE=45°,探究BE、DF、EF三条线段之间 ———————
的数量关系.
AD
E
苍松优选
B
15
１３
D′
C
A
D
苍松优选
EB
18
C
D′
A
D
E
B
结论： 当AD=BE时，线段DE、AD、EB
能构成一个等腰三角形且顶角
∠DFE为120°.
苍松优选
19
（3）应用：
在探究问题的条件下，如果AB=10，求 BD·AE的值．
AD
E
苍松优选
20
一、知识与技能：
1、“半角模型” 特征： ①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角；
AD
E
Ｂ
结论：DE 2 AD2 BE 2
苍松优选
变式
16
E′
３
AD
E
Ｂ
结论：DE 2 AD2 BE 2
苍松优选
逆
17
（2）变式：
已知：如图，等边△ABC中，点D、E在 —————————
边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使 ———————
线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出
苍松优选
1
如图，△ABC为等边三角形，D 是△ABC内一点，若将△ABD经过 逆时针旋转后到△ACP位置，则旋
转中心是___点__A_，旋转角等于
__6__0_°，AD与AP的夹角是_6_0_°___， △ADP是__等__边__三角形。
苍松优选
2
在—正——方——形—A——B—C—D中，—E—、——F—分——别—是——B—C——、—— CD上的点，且∠EAF＝45°，探究BE、DF、
的数—量——关——系2——是——否—仍然成立？
A
B
E
苍松优选
C
D
F
画板 变9 式3
A
B E
C
E′
D 结论：
F
EF=BE+DF
苍松优选
画板 1变0 式3
(3)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， ————————
∠B＋∠D＝180°，E、F分别是BC、CD延长线 上间—的的——点数——，量——且关——系E——A——是F——否—12 仍——B然A——BD——成E—、立——D，—F—若、——不E—F—成三—立—条—，线——请段——写之——
B，AD BE、DF、EF三条线段
之间的数量—关——系——是—2 —否——仍—然成立，若不成立，请
写出它们之间的数量关系，并证明.
A
EB F 苍松优选
D C
画板13
１、 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞
AD），∠A=90°，AB=BC=12，∠ECD=45°，若
————
BE=4，求ED的长.
——————2————
量关系是否仍然成立,请证明。
A
苍松优选B E
D
F
画板
C
顺 变式２
6
Aห้องสมุดไป่ตู้
E′
D 结论：
F EF=BE+DF
BE
C
苍松优选
画板 变7式２
A
E′
BE
D 结论：
F EF=BE+DF
C
苍松优选
画板 逆 变8 式２
（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， ————————
∠且—B——+E—∠A—FD——＝—1，1—8—BB0AD°E，、ED、—F—、F—分—E—别F—三是—条—B—线C——、段—C—之—D间—上的点，
2、强化关于利用旋转变换解决问题： ①旋转的目的： 将分散的条件集中，隐蔽的关系显现； ②旋转的条件： 具有公共端点的等线段； ③旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹 角为旋转角；
苍松优选
21
出它们之间的数量关系，并证明.
A
B
苍松优选
F D
CE
画板 变式141
A
E′
F 结论：
B
D EF=BE-DF
CE
苍松优选
画板 变式4 12
(4)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，
————————
∠B＋∠D＝180°，E、F分别是CB、DC延长线
——————————
上的点，且EAF
1
———————————————————
————————
EF三条线段之间的数量关系.
A
D
45
F
B
苍松优选
E
C
画板 顺 变3 式１
A
45°
BE
E′
D
结论：
F EF=BE+DF
C
苍松优选
画板 变4式１
A
45°
1
F′ B E
D
结论：
F EF=BE+DF
C
苍松优选
画板 逆 变5式１
（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， —————
∠且—B—＝—E—A∠—FD——＝1—，9—B0—A—°BD，E、E、DF—F分—、—别E—F—是三——B条—C—线、——段C—D—之—上间—的的点数，
——————
A 16-x D x-4 F
8x
E
4
B
C
苍松优选
14
２、（１）探究：
如图，已知Rt△ABC中， ∠ACB=90°,AC=BC，点D、E在斜边AB上，
——————— ——————
且∠DCE=45°,探究BE、DF、EF三条线段之间 ———————
的数量关系.
AD
E
苍松优选
B
15
１３
D′