GaussNewton
高斯牛顿法求解非线性问题
高斯牛顿法求解非线性问题在科学研究、工程设计等领域中，有许多问题都可以归纳为非线性问题，例如曲线拟合、最小二乘法拟合、非线性规划等。
如何高效地求解这些问题是一个重要的课题。
高斯牛顿法(Gauss-Newton method)是一种常用的优化算法，被广泛应用于求解非线性问题。
高斯牛顿法的基本思想是：将非线性问题转化为最小二乘问题，然后使用线性最小二乘法求解。
具体而言，假设有一个由m个参数和n个数据点组成的非线性模型：f(x) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))^T其中，x = (x1,x2,...,xm)^T 为参数向量，fi(x)为第i个观测值。
若将f(x)看作一个向量函数，则该函数在x处的导数可以用雅可比矩阵来表示：J(x) = [∂f1(x)/∂x1,∂f1(x)/∂x2,...,∂f1(x)/∂xm；∂f2(x)/∂x1,∂f2(x)/∂x2,...,∂f2(x)/∂xm；.............................∂fn(x)/∂x1,∂fn(x)/∂x2,...,∂fn(x)/∂xm]雅可比矩阵是一个n×m的矩阵，表示参数向量对向量函数的导数。
对于非线性模型，其导数难以直接求解，因此需要采用近似方法。
高斯牛顿法采用的是一阶泰勒展开式，将非线性模型在x 处展开：f(x+Δx) ≈ f(x) + J(x)Δx其中，Δx为参数向量x的增量，即x+Δx为新的参数向量。
将上式两边平方，再加上一个权重矩阵W，得到最小二乘问题：min Δx ||sqrt(W)(f(x+Δx)-f(x))||^2上式中，||·||表示向量的欧几里得长度，W为一个n×n的对角矩阵，其作用是赋予不同观测值不同的权重。
将上式展开，得到：min Δx (f(x)+J(x)Δx-y)^TW(f(x)+J(x)Δx-y)其中，y为n×1的向量，表示原始数据点。
slam 高斯牛顿法
高斯牛顿法高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种用于非线性最小二乘问题求解的数值优化方法。
它结合了高斯消元法和牛顿迭代法的特点，旨在寻找函数最小化的参数。
在本文中，我们将介绍高斯牛顿法的原理、步骤和应用。
原理在非线性最小二乘问题中，我们需要找到使得函数残差平方和最小的参数向量。
该问题通常表示为：equation其中，是残差向量函数，是参数向量。
高斯牛顿法通过迭代的方式逼近最优解，其主要思想是将非线性问题转化为一系列的线性问题，并通过逐步线性化来求解。
具体而言，它采用牛顿法中的线性化和高斯消元法来解决线性问题。
步骤高斯牛顿法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.初始化参数：首先，需要对参数向量进行初始化，通常可以使用一些启发式的方法得到初始值。
2.线性化：在每一次迭代中，将残差函数进行线性化。
这意味着将非线性问题转化为一个线性问题，使其更易于求解。
线性化通常通过泰勒级数展开来实现。
3.构造线性方程组：通过线性化后的函数，可以构造出一个线性方程组。
该方程组的解将作为当前迭代中的修正量，用于更新参数向量。
4.求解线性方程组：使用高斯消元法等数值方法求解线性方程组，得到修正量。
5.参数更新：利用修正量更新参数向量，得到新的参数估计。
6.收敛判断：检查参数估计是否已经收敛。
如果满足收敛准则，则停止迭代；否则，返回第2步继续迭代。
应用高斯牛顿法在许多领域都有广泛的应用。
其中一个典型的应用是在计算机视觉中的相机标定问题，即通过已知的图像和相机参数来估计相机的内部和外部参数。
高斯牛顿法可以通过最小化重投影误差来估计这些参数，从而获得更准确的相机模型。
此外，高斯牛顿法还在机器学习中被广泛使用，例如参数估计和优化算法。
通过最小化损失函数，可以使用高斯牛顿法来确定模型中的参数，进而提高模型的拟合能力。
总结高斯牛顿法是一种有效的求解非线性最小二乘问题的数值优化方法。
它通过线性化和高斯消元法的结合，能够提供较快的收敛速度和较高的求解精度。
python高斯-牛顿迭代法
python高斯-牛顿迭代法高斯-牛顿迭代法（Gauss-Newton method）是一种用于非线性优化问题的迭代算法。
它基于线性最小二乘法，用于求解非线性函数的最优解。
在本文中，我们将详细介绍高斯-牛顿迭代法的原理和实现，以及一些常见的应用。
1.高斯-牛顿迭代法原理高斯-牛顿迭代法的目标是找到一个最优的参数向量x，使得一个非线性函数集合F(x)的残差平方和最小化。
其中，残差r(x)定义为测量值与模型值之间的差异，即r(x) = y - f(x)，其中y是测量值，f(x)是模型值函数。
残差平方和定义为S(x) = sum(r(x)^2)，即所有残差的平方和。
为了找到最优的参数向量x，高斯-牛顿迭代法采用以下步骤进行迭代：1.初始化参数向量x的值。
2.计算残差r(x)和残差雅可比矩阵J(x)。
3.求解线性最小二乘问题J(x)^T J(x) dx = -J(x)^T r(x)，其中dx是参数的增量。
4.更新参数向量x = x + dx。
5.重复步骤2-4，直到满足停止条件（如参数更新小于某个阈值）。
2.高斯-牛顿迭代法的实现高斯-牛顿迭代法的实现需要计算残差和雅可比矩阵，通过求解线性最小二乘问题来更新参数向量。
以下是一个简单的实现示例：```pythonimport numpy as npdef gauss_newton(x0, y, f, f_prime, max_iterations=100,tol=1e-6):x = x0for i in range(max_iterations):r = y - f(x)J = f_prime(x)dx = np.linalg.lstsq(J, -r, rcond=None)[0]x = x + dxif np.linalg.norm(dx) < tol:breakreturn x```在上述代码中，x0是参数向量的初始值，y是测量值，f是模型值函数，f_prime是模型值函数的导数。
高斯牛顿迭代（GaussNewton）代码实现
⾼斯⽜顿迭代（GaussNewton）代码实现#include <cstdio>#include <vector>#include <iostream>#include <opencv2/core/core.hpp>using namespace std;using namespace cv;const double DELTAX = 1e-5;const int MAXCOUNT = 100;double function(const Mat &input, const Mat params){//给定函数已知x求ydouble a = params.at<double>(0,0);double b = params.at<double>(1,0);double c = params.at<double>(2,0);double x = input.at<double>(0,0);return exp( a*x*x + b*x + c );}double derivative(double(*function)(const Mat &input, const Mat params), const Mat &input, const Mat params, int n){// ⽤增加分量的⽅式求导数Mat params1 = params.clone();Mat params2 = params.clone();params1.at<double>(n,0) -= DELTAX;params2.at<double>(n,0) += DELTAX;double y1 = function(input, params1);double y2 = function(input, params2);double deri = (y2 - y1) / (2*DELTAX);return deri;}void gaussNewton(double(*function)(const Mat &input, const Mat ms), const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat params){int num_estimates = inputs.rows;int num_params = params.rows;Mat r(num_estimates, 1, CV_64F); // 残差Mat Jf(num_estimates, num_params, CV_64F); // 雅克⽐矩阵Mat input(1, 1, CV_64F);double lsumR = 0;for(int i = 0; i < MAXCOUNT; i++){double sumR = 0;for(int j = 0; j < num_estimates; j++){input.at<double>(0,0) = inputs.at<double>(j,0);r.at<double>(j,0) = outputs.at<double>(j,0) - function(input, params);// 计算残差矩阵sumR += fabs(r.at<double>(j,0)); // 残差累加for(int k = 0; k < num_params; k++){Jf.at<double>(j,k) = derivative(function, input, params, k); // 根据新参数重新计算雅克⽐矩阵}}sumR /= num_estimates; //均残差if(fabs(sumR - lsumR) < 1e-8) //均残差⾜够⼩达到收敛{break;}Mat delta = ((Jf.t()*Jf)).inv() * Jf.t()*r;// ((Jf.t()*Jf)) 近似⿊塞矩阵params += delta;lsumR = sumR;}}int main(){// F = exp ( a*x*x + b*x + c )int num_params = 3;Mat params(num_params, 1, CV_64F);//abc参数的实际值params.at<double>(0,0) = 1.0; //aparams.at<double>(1,0) = 2.0; //bparams.at<double>(2,0) = 1.0; //ccout<<"real("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; int N = 100;double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器Mat estimate_x(N, 1, CV_64F);Mat estimate_y(N, 1, CV_64F);for ( int i = 0; i < N; i++ ){double x = i/100.0;estimate_x.at<double>(i,0) = x;Mat paramX(1, 1, CV_64F);paramX.at<double>(0,0) = x;estimate_y.at<double>(i,0) = function(paramX, params) + rng.gaussian ( w_sigma );}//abc参数的初值params.at<double>(0,0) = 0; //aparams.at<double>(1,0) = 0; //bparams.at<double>(2,0) = 0; //ccout<<"init("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; gaussNewton(function, estimate_x, estimate_y, params);cout<<"result("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; return0;}# Project: GaussNewtonDemo## All rights reserved.cmake_minimum_required( VERSION 2.6 )cmake_policy( SET CMP0004 OLD )### initialize project ###########################################################################################SET(CMAKE_BUILD_TYPE "Debug")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_DEBUG "$ENV{CXXFLAGS} -O0 -Wall -g2 -ggdb")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_RELEASE "$ENV{CXXFLAGS} -O3 -Wall")project(GaussNewtonDemo)find_package(Eigen3 REQUIRED)find_package(OpenCV REQUIRED)set(CMAKE_INSTALL_PREFIX /usr)set(BUILD_SHARED_LIBS on)set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -fPIC -O0")include_directories(${EIGEN3_INCLUDE_DIR}${OpenCV_INCLUDE_DIR})add_definitions( "-DPREFIX=\"${CMAKE_INSTALL_PREFIX}\"" )### global default options #######################################################################################set(SOURCESmain.cpp)add_executable(GaussNewtonDemo ${SOURCES}) TARGET_LINK_LIBRARIES( GaussNewtonDemo ${OpenCV_LIBS} )。
牛顿法与高斯牛顿法
where
1 2
i zj i=1
− h j ( x j , yi ) ,
2
i = zj
1 if yi is of category j , 0 otherwise.
|| x k +1 - x*|| o(|| x k - x*||) || x k - x*|| = lim k→∞ || xk - x*|| = 0
superlinear convergence! (see p. 64)
CONVERGENCE BEHAVIOR OF PURE FORM
g(x) = e x - 1
p(j |y ) = P (object w/ feature vector y is of category j ) Assign object with feature vector y to category j ∗ (y ) = arg max p(j |y ). • If p(j |y ) are unknown, we can estimate them using functions hj (xj , y ) parameterized by vectors xj . Obtain xj by minimizing
m
1 2
zi − h(x, yi )
i=1
2
• Example of a linear model: Fit the data pairs by a cubic polynomial approximation. Take h(x, y ) = x3 y 3 + x2 y 2 + x1 y + x0 , where x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) is the vector of unknown coefficients of the cubic polynomial.
gaussnewton法
gaussnewton法
高斯牛顿法是一种非线性最小二乘问题求解方法，它基于最小二乘中误差的平方和最小的原则，通过迭代优化参数，使得误差达到最小的方法。
同样也是一种梯度下降方法，但与传统的梯度下降法不同，高斯牛顿法可以适用于非线性问题，而且相对于梯度下降法有更快的收敛速度。
高斯牛顿法主要涉及到雅可比矩阵和海森矩阵的计算。
雅可比矩阵的求解用于求解问题的初始值，并在每次迭代时计算当前值，用于计算海森矩阵。
海森矩阵是损失函数的Hessian矩阵，是损失函数的二阶导数矩阵，其求解需要数值方法求解。
然后利用计算出的雅可比矩阵和海森矩阵进行迭代更新，不断逼近最优解。
在实际问题中，高斯牛顿法通常比梯度下降方法更有效，其因为高斯牛顿法能够利用二阶导数信息（海森矩阵）更好的逼近函数的曲率，因此将收敛速度大大提高。
但同时，高斯牛顿法缺点也明显：需要计算雅可比矩阵和海森矩阵，这会涉及到大量的矩阵运算，如果数据量很大则计算量也会很大；另外，当初始值很远离最终的最优值时，可能会出现海森矩阵为负定的情况，导致无法收敛。
因此，在实际使用中，需要根据具体问题的特征选择算法。
对于数据量较小，但是需要求解非线性参数的问题，高斯牛顿法是一种不错的选择，但在数据量较大的问题中，或存在局部极小值的情况下，可能需要选择其他算法进行求解。
总之，高斯牛顿法是一种广泛应用于非线性最小二乘问题的近似最优化算法。
通
过迭代优化参数，让误差达到最小，从而得到参数的最优估计值。
高斯牛顿法在实际问题中有很多应用，如数学建模、机器学习、计算机视觉、信号处理等领域都有广泛应用。
高斯法和牛顿法
缺点： 本算法的主要缺点是收敛速度很慢。 病态条件系统，计算往往会发生收敛困难 节点间相位角差很大的重负荷系统； 包含有负电抗支路(如某些三绕组变压器或线路串联电 容等)的系统； 具有较长的辐射形线路的系统； 长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长 度比值又很大的系统。
此外，平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。 目前高斯一塞德尔法已很少使用
牛顿一拉夫逊法
牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数 方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变 成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称 的逐次线性化过程。
y
y f (x)
第k+1步 迭代
下一步 迭代
y(k)
x(k )
o
x x (k 2) (k 1)
x(k)
x
PV节点 PQ节点
P1 H11
Q1
J11
QP22 Hn1
N 11 L11 N 21 L21 N p1
N n1
H12 J12 H 22 J 22 H p2
of Power Flow Pr-oblems．AIEE Trans，1956，75，III：398~404
该2参IP特参NN1参TP1R11最 1参E含tAA、、5erc、99eeoar法考点考考考8otwSSav优 直77na116nt--isit1411特文：文文文9～9o89vno9o66潮 流9年 年m23inmn6点献收献献献n123：（7’iges7年5年qP流 和， 和8t，：：敛：：9h13MuNo年o，9，~）ewodeP原性BTSIJ．F法F11wn．tA最e基ti：r0CA，D9honolr理好BaiSoICawL8tnnmA优于E8tdu-reeT保nF1简、85pEB．lpoyal潮阻6S9法 年eHEpt．r，单内onW：～i元留IaTtE流tE抗rySiSAr，、存，a18eaE．Fo，t件非数nrl矩46uE，sc．es内占49最Iast．T学aoE阵9Tc的线HaClan存用～E．rFnOm优a模ao的PEdrrn潮需量性Pn1．ou．ts型otwS4的r乘TCraw求大6FoyiEer的流bar0算ensaYEl子un较大rtAese．P．ttFs快计c法pim．o．l少增oDp法oPAwsnawe速算Po，r1、 加ecaaFAw潮9SrtoauM6lo算 （潮SuAe’ssl2re．p流utapa．法 限ttlFLyn流upieo1dl/doad8o收 制Jn9reaSu8w算La7bdyn（敛 解dty8osueSuFt．aI法es1性 题oml1dmDo0al99puwsFn）i差 规77es，tdldi（4poMo：模a1a，Swnnt59eycc．）b）6teshhyt3iMeoIn：，EmdgaEtsr，Eix 2参A1参T9参112参S3参参oP2参EiMf、、、、0095noohn、n考考考考考考考（187lwDrteRuaoE1111（17teCtth1ue文文文文文文文59999．～xiiroocog9）68799aCFtdnnh献献献献献献献）118462ca8lost：年年年年05nfooa．2no：：：：：：：F：08gwfvM年r1，，，，（1auFI．eRSIDSBGs39ilEAilwrat最最交含274aunlart，oErI-LCeNsa64）anioEcmmECsrum优优直F～1oTooEDPTn包am：～aoainTSonzEnaad潮潮流c1oSdterIagrdtAD319ora，il括sFaTtdetN流流潮278ni元TnieHlSolriMo631soeanavtrnD，．二on的计流86tawgn件aiW，ac，en～TetslATeePds简算计．Mn．的e，阶essmAaL，1dcPt．mei化的算aPh7Or潮SiTonMtaslA项Kn4uh．iI．wps，梯牛nPi3E流roStrtqVaeiniaodE1I的．ouRmr度顿efmw计Y9nEetGIyaSa6n1．Eep．Lo快法算ly算T8Wcr9rPqsPAol．Kr7IFAuitu法aEvone速6，FladnoSemwt8E．Lt．oisdiw7nE． Wooes，P潮（g9．ranNOrET5hdaPsFMSep1rc（流kyAIlewDaFtE0oasicnSVln）omsw1Etioos算or．aon）Ee．wnaFn，：mgbcld’1y：T法tsPCPiJPlN91OcryAeNLoaL8a87arrDlwoSin2ee6．dn6cnas．iw．i6uede～rs．darr～Ilaaptano1．T8FFNatJPcn91i8tell．Aloecoo7R8runwhmww1S7se．i．6t．psoornnes-
高斯牛顿迭代
四、非线性回归法（Method of nonlinear regression ）在药物动力学中，血药浓度与时间的关系常常不是直线而是曲线，符合指数函数或抛物线等，如一室模型静脉注射即属指数函数kt e C C -=0，通常转化为对数形式0l o g 303.2l o g C kt C +=，以log C 对t 进行线性回归求出k 值。
但此法不尽合理，因这是log C 与t 之间最小二乘，而不是C 与t 之间最小二乘。
故提出非线性回归法，此法所得结果更为准确，但其计算复杂，工作量大，必须采用电子计算机才能完成运算。
非线性回归一般采用高斯-牛顿（Gauss-Newton ）迭代法。
迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。
一般非线性参数的确定，通常采用逐次逼近的方法，即逐次“线性化”的方法。
设某药在体内的模型中待定参数a 1，a 2，a 3，…，a m ，求得隔室中药时关系的函数式为：C = f (t ，a 1，a 2，a 3，…，a m )其中t 是单个变量，t = ( t 1，t 2，t 3，…，t n )，今有n 组实验观测值（t k ，C k ）k = 1，2，…n ，在最小二乘意义下确定m 个参数a 1，a 2，a 3，…，a m 。
下面介绍一般解法。
1．先给a i (i = 1,2,…m )一个初始值，记为)0(ia ，并记初值与真值之差i ∆（未知），这时有i i i a a ∆+=)0(若知i ∆则可求a i ，在)0(i a 附近作Taylor 级数展开并略去i ∆的二次以上各项得f (t k ，a 1，a 2，…，a m )m m k k k k a f a f a f f ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂+≈02201100 式中),,,,()0()0(2)0(10m k k a a a t f f =)0()0(1121),,,(m m k i m ikoa a a a t t a a a a t f a f ===∂∂=∂∂ 当)0(i a 给定时，0k f ，i koa f ∂∂均可由t 算得。
GaussNewton
李智迅
1
1.1 牛顿迭代法
预备知识
牛顿法是一种求解方程f (x) = 0的方法。 多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚 至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正 方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。 牛顿迭代法是用切线来逼近零点的，收敛的速度很快，但要求的条件也高。 首先要有一个区间， 在这个区间的端点函数值反向，其次第一次迭代点不能随意取，否则第一次迭代后的点可能跑出原先 的区间，收敛性就不一定能保证了（即有的情况也能有收敛性，有的情况就没有收敛性了，全看函数 的性能） 。 比如：设r是f (x) = 0的根，选取x0 作为r初始近似值，过点(x0 , f (x0 ))做曲线y = f (x)的切线L， L的方程为y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ),求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ), 称x1 为r的一次 近似值，过点(x1 , f (x1 ))做曲线y = f (x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1 − f (x1 )/f ′ (x1 )称x2 为r的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列Xn ,其中Xn+1 =Xn −f (Xn )/f ′ (Xn ),称为r的n+1次 近似值。上式称为牛顿迭代公式。以f (x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 6为例： #include<stdio.h> #include <math.h> //包含这个头文件，后面使用fabs void main() { double x=1.5,y,y1; do { y=2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; y1=6*x*x-8*x+3; x=x-y/y1; } while(fabs(y/y1)>1e-6);// 是y/y1,不是y printf("%f",x); }
2020年高中物理竞赛—基础光学08光在单球面的成像：高斯公式和牛顿公式(共10张PPT)
光由光密介质 光疏介质时，入射角
i1 ic ，折射角=90°; i1 ic时，全反射。
临界角（critical
angle）
ic
arcs in
n2 n1
玻璃 n1 1.5，空气 n2 1，此时 ic=42°.
全反射的应用——光学纤维（optical fibre）
双层透明材料组成纤维
n1 n2
物点在物方焦点之左：-x 物点在物方焦点之右：x 像点在像方焦点之左：-x’ 像点在像方焦点之右：x’
3.5 光在球面上的反射和折射（Reflection and Refraction of light on Spherical surface）
折射
即
s (x) ( f )
l' f 'x'
代入Gauss公式得 xx' ff ' （Newton公式）
2020高中物理竞赛
基础光学
五、高斯公式和牛顿公式
将焦距 代入得： 上式是普遍的物象公式，称为高斯物象公式。 若光线自右向左进行，则物空间在原点的右方，象空间在 原点的左方，此时前述符号法则仍然适用，但此时实物物距应 该取正值 ，则得到的是实象，如果折射光束在象间发散，象点 在原点的右方，则得到的是虚象。
须n1和n2的差值大。
内窥镜、光导通 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ……
Gauss公式和Newton公式由球面反射和折
射导出，任何其它光具组理想成像时，也有相
同形式的物像公式。
六．全反射（total reflection）
界面两边介质折射率不同时，n小—光疏
介质（optically thinner medium），n大—光密
介质（optically thicker medium）.
最优化方法第二章_非线性最小二乘
k 0.75, 0.25 k 0.75, k 0.25,
T
从而，求解该问题的牛顿法为
xk 1 xk ( J ( xk )T J ( xk ) s ( xk )) 1 J ( xk )T r ( xk )
上式局部二阶收敛，但计算量大！
二、Gauss-Newton法 Gauss-Newton法 忽略难于计算的高阶项 s ( xk )
1 mk ( x) r ( xk )T r ( xk ) ( J ( x)T r ( xk ))T ( x xk ) 2 1 ( x xk )T ( J ( xk )T J ( xk ))( x xk ) 2
二、Gauss-Newton法 Gauss-Newton法的优缺点 对于零残量问题(即 r ( x* ) 0 )，具有局部二阶收敛速度。
对于小残量问题(即残差较小，或者接近于线性 )，具
有较快的局部收敛速度。 对于线性最小二乘问题，一步达到极小值点。 对于不是很严重的大残量问题，有较慢的收敛速度。
r ( x) r ( xk ) J ( xk )( x xk ) M k ( x)
从而求解线性最小二乘问题
1 min M k ( x) 2
由线性最小二乘理论知
2
xk 1 xk ( J ( xk ) J ( xk )) J ( xk ) r ( xk )
T T
1
xk d k
如果雅克比矩阵不满秩，下降方向取为最速下降方向。
采用带阻尼的G-N法，保证函数值下降(方法总体收敛)。
xk 1 xk k ( J ( xk ) J ( xk )) J ( xk ) r ( xk )
阻尼牛顿法例题讲解
阻尼牛顿法例题讲解阻尼牛顿法（Damped Newton's Method）是一种用于求解非线性方程组的迭代方法。
它是牛顿法的一种改进，通过引入阻尼因子来增加算法的稳定性和收敛性。
假设我们要求解一个非线性方程组 F(x) = 0，其中 x 是一个n 维向量，F 是一个从 n 维向量到 n 维向量的函数。
阻尼牛顿法的迭代公式如下：x_{k+1} = x_k (J(x_k) + \lambda_k I)^{-1} F(x_k)。
其中，x_k 是第 k 次迭代的近似解，J(x_k) 是 F 在 x_k 处的雅可比矩阵，\lambda_k 是阻尼因子，I 是单位矩阵。
阻尼牛顿法的步骤如下：1. 初始化，选择初始点 x_0，设置迭代次数 k = 0。
2. 计算函数值和雅可比矩阵，计算 F(x_k) 和 J(x_k)。
3. 计算步长，计算步长 \Delta x_k = (J(x_k) + \lambda_kI)^{-1} F(x_k)。
4. 更新近似解，更新近似解 x_{k+1} = x_k \Delta x_k。
5. 判断终止条件，如果满足终止条件（如 \|\Delta x_k\| <\epsilon），则停止迭代；否则，令 k = k + 1，返回步骤 2。
阻尼因子 \lambda_k 的选择对算法的收敛性和稳定性有重要影响。
一般来说，\lambda_k 的取值范围在 0 到 1 之间，可以根据具体问题进行调整。
当 \lambda_k = 0 时，阻尼牛顿法退化为牛顿法；当 \lambda_k = 1 时，阻尼牛顿法退化为简化的牛顿法（也称为 Gauss-Newton 方法）。
阻尼牛顿法的优点是收敛速度快，通常比牛顿法更稳定。
然而，它也有一些缺点。
首先，计算雅可比矩阵和求解线性方程组的代价较大。
其次，阻尼因子的选择需要一定的经验和调试。
总结起来，阻尼牛顿法是一种求解非线性方程组的迭代方法，通过引入阻尼因子来提高算法的稳定性和收敛性。
反向高斯牛顿法-概述说明以及解释
反向高斯牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述反向高斯牛顿法是一种优化算法，常用于解决非线性最小二乘问题。
它是对经典的高斯牛顿法的改进和扩展，通过使用矩阵的逆来代替原方法中的线性近似，从而提高了算法的鲁棒性和收敛速度。
在实际问题中，往往需要通过最小化非线性函数的平方差来获得最佳拟合结果。
而高斯牛顿法则是一种常用的优化方法，通过线性近似来求解该最小化问题。
然而，当函数的非线性程度比较高时，高斯牛顿法的线性近似效果就会受到限制，导致收敛速度较慢甚至无法收敛。
反向高斯牛顿法通过使用矩阵的逆来替代高斯牛顿法中的线性近似，在一定程度上缓解了上述问题。
具体而言，该方法在每一步迭代中，通过计算目标函数的海森矩阵的逆矩阵来近似非线性函数的梯度，从而更新参数。
相比于高斯牛顿法，反向高斯牛顿法不再受限于线性近似的效果，能够更好地适应函数的非线性特性。
反向高斯牛顿法在许多领域中都有广泛的应用。
例如，在计算机视觉中，它常被用于图像拼接、摄像头标定等问题的求解。
在机器学习领域，反向高斯牛顿法可以用于训练神经网络模型的参数。
此外，该方法还可以应用于地球物理勘探、信号处理等其他相关领域。
总之，反向高斯牛顿法通过改进传统的高斯牛顿法，提高了非线性最小二乘问题的求解效率和鲁棒性。
它在多个领域中都被广泛应用，并且在未来的研究中可能会有更多的发展和应用。
在接下来的章节中，我们将进一步探讨反向高斯牛顿法的原理和应用，并总结其优势，并展望未来的研究方向。
1.2 文章结构文章结构是写作过程中非常重要的一部分，它能够为读者提供一个清晰明了的框架，帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。
本文以反向高斯牛顿法为主题，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
首先，我们会对反向高斯牛顿法进行简要的概述，介绍它的基本原理和应用领域。
接着，会详细描述本文的结构，包括各个部分的内容和组织方式。
最后，明确本文的目的，即通过对反向高斯牛顿法的探究，总结其优势并展望未来的研究方向。
高斯-牛顿法
高斯-牛顿法
高斯-牛顿法（Gauss-Newton Method，简称G-N方法）是一种用于求解非线性方程的迭代算法。
它结合了高斯消元法（Gaussian Elimination）和牛顿法（Newton's Method）的思想，通过在每次迭代过程中对非线性方程进行高斯消元，以提高收敛速度和精度。
高斯-牛顿法的基本步骤如下：
1. 初始化：给定一个初始近似解x_0 和迭代次数n。
2. 高斯消元：
a. 对非线性方程进行高斯消元，得到下三角形式的线性方程组Ax = b，其中A 是系数矩阵，b 是未知数向量，x_(k+1) 是当前近似解。
b. 计算误差平方和||x_(k+1) - x_0||^2 并更新近似解：
x_(k+1) = x_0 - (1/m) * (Ax_0)^(-1) * (df/dx_0)
其中：
m 是A 的行数，df/dx_0 是x_0 的导数，即雅可比矩阵（Jacobian）的逆矩阵的行列式。
注意：为了避免奇异情况（如雅可比矩阵的行列式为零），需要在求逆之前对雅可比矩阵进行一定的处理，以
保证其可逆。
3. 重复步骤2，直到满足停止条件或近似解的误差足够小。
停止条件可以是：迭代次数达到设定值；误差小于设定的阈值；算法运行时间达到最大值等。
高斯-牛顿法具有良好的收敛性和计算速度，因此在许多实际问题中都得到了广泛应用，如数值线性代数、机器学习、图像处理等。
opencv 高斯牛顿法
opencv 高斯牛顿法【实用版】目录1.OpenCV 简介2.高斯牛顿法原理3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用4.高斯牛顿法的优缺点5.总结正文1.OpenCV 简介OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它包含了大量的图像处理和计算机视觉方面的算法。
OpenCV 的目的是为人工智能、机器视觉、图像处理等领域的研究人员和开发者提供一个通用且高效的平台。
它支持多种编程语言，如 C++、Python 等，使得开发者可以方便地在不同的操作系统上进行开发和测试。
2.高斯牛顿法原理高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种用于求解非线性最小二乘问题的优化算法。
它的基本思想是通过对数据点进行加权最小二乘拟合，以求得参数的最优值。
在图像处理领域，高斯牛顿法常用于求解图像的参数，例如相机的内部参数和外部参数等。
3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用在 OpenCV 库中，高斯牛顿法被广泛应用于以下领域：（1）相机标定：相机标定是计算机视觉领域的一个重要环节，其目的是通过拍摄包含已知几何形状的场景，求解相机的内部参数（如焦距、光心坐标等）和外部参数（如旋转和平移矩阵）。
OpenCV 提供了一系列的函数来实现相机标定，其中就包括了使用高斯牛顿法的函数。
（2）图像拟合：在图像处理中，常常需要对图像进行参数化的拟合，以求得图像中的关键点或者纹理等信息。
OpenCV 中提供了基于高斯牛顿法的图像拟合函数，可以对图像中的特征点进行精确的拟合。
（3）优化问题求解：OpenCV 中还提供了一些基于高斯牛顿法的优化问题求解函数，如求解线性或非线性最小二乘问题等。
4.高斯牛顿法的优缺点高斯牛顿法具有以下优缺点：（1）优点：高斯牛顿法是一种迭代法，其迭代公式具有较好的数值稳定性，可以快速地收敛到最小二乘解。
同时，高斯牛顿法具有一定的鲁棒性，对于存在噪声的数据点也能获得较好的拟合效果。
高斯法和牛顿法
研究生课程
5/15/2011
潮流计算的发展历史
Gauss法 Gauss法 Newton法 Newton法 FDLF法 FDLF法 计及非线性法 最优乘子法 最优潮流法 含直流或FACTS元件的 含直流或FACTS元件的 FACTS 潮流 Gauss法 Gauss法
1、1956年，基于导纳矩阵的简单迭代法 、 年 1967年 Newton法 1967年，Ward J B，Hale H W．Digital Computer Applications Solution 参考文献： Newton法
雅可比矩阵的特点： 雅可比矩阵的特点：
（1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数， 雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数， 在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化 在迭代过程中， 而变化。因此， 而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩 阵各元素的值； 阵各元素的值； （2）雅可比矩阵各非对角元素均与Yij＝Gij＋jBij有 雅可比矩阵各非对角元素均与Y Yij＝ 这些非对角元素也为0 关，当Yij＝0，这些非对角元素也为0，将雅可比矩阵进 行分块，每块矩阵元素均为2×2阶子阵，分块矩阵与节 行分块，每块矩阵元素均为2 阶子阵， 点导纳矩阵有相同的稀疏性结构； 点导纳矩阵有相同的稀疏性结构；
牛顿一拉夫逊法
牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法) 牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代 数方程式的有效方法。 数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程 变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程， 变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所 称的逐次线性化过程。 称的逐次线性化过程。
“平直电压”法假定： 平直电压”法假定： 平直电压 或
用线性拟合法及gauss-newton法计算正丁醇分子横截面积
用线性拟合法及gauss-newton法计算正丁醇分子横截面积
正丁醇（1-Butanol）是一种重要的有机化合物，其分子横截面积对于研究其物理性质和化学反应有重要意义。
本文介绍了使用线性拟合法和Gauss-Newton法计算正丁醇分子横截面积的方法。
线性拟合法是一种简单的方法，用于估计正丁醇分子横截面积。
它基于假设正丁醇分子横截面积与其分子量之间存在线性关系。
因此，可以使用线性回归方法来拟合正丁醇分子横截面积与其分子量之间的关系，从而估计正丁醇分子横截面积。
Gauss-Newton法是一种迭代优化方法，用于估计正丁醇分子横截面积。
它基于假设正丁醇分子横截面积与其分子量之间存在非线性关系。
因此，可以使用Gauss-Newton法来拟合正丁醇分子横截面积与其分子量之间的关系，从而估计正丁醇分子横截面积。
综上所述，线性拟合法和Gauss-Newton法都可以用来估计正丁醇分子横截面积。
线性拟合法基于假设正丁醇分子横截面积与其分子量之间存在线性关系，而Gauss-Newton法基于假设正丁醇分子横截面积与其分子量之间存在非线性关系。
因此，根据实际情况，可以选择合适的方法来估计正丁醇分子横截面积。
Gauss-Newton神经网络的旋转机械故障诊断
模拟运算指 出了 Ｇ ｕｓ ｅ ｏ 神经网络具有较快的学 习速度 ， ａｓ Ｎ ｗ ｎ ． ｔ 进而探讨了 Ｇ ｕｓ ｅ ｏ 神经 网络 ａｓ Ｎ ｗ ｎ ．ｔ 在 旋转机 械 故 障诊 断 中的应 用 ， 该 网络模 型 应 用 于旋 转 机械 故 障诊 断 ， 示 出 Ｇ ｕｓＮ ｗｏ 将 显 ａ ｓ． ｅ ｎ网 ｔ 络具有诊 断精 度 高、 容错 性和稳 定性 好 的优 势。
关 键 词： 神经 网络 ； 故障诊 断 ； 转机 械 ； Ｔ Ａ 旋 ＭＡ Ｌ Ｂ
文献标 识 码 ： Ａ 中图分类 号 ：Ｐ２ ６ ｒ ０ ｒ
Ｆａ ｌ ｉ ｇ ｓｓｆ ｒ ｒ ｔ ｉ ａ ｈｉ ｅ ｂａ ｅ ｎ ｕ ｔｄ ａ ｎｏ ｉ ｏ ｏ ａｔｎｇ ｍ ｃ ｎ ｓ ｄ ｏ Ｇａ ｓ ． ｗｔ ｎ ｎｅ ｒ ｌｎｅｗｏ ｋ ｕ ｓＮｅ ｏ ｕ ａ ｔ ｒ
２０ ０７年 １ ２月
文 章 编 号 ：０ ８—１５ （ ０ ７ ０ ０ ０ ０ １０ ６ ８ ２０ ）４— ０ ６— ４
Ｇ ｕｓＮｅ ｔｎ神 经 网络 的旋 转 机械 故 障诊 断 ａ ｓ－ ｗ ｏ
王 光 研 ， 宝 杰 许
（ 北京机械工业学院 机械工程系 ， 北京 １０ ８ ） ０ ０ ５
维普资讯
第２ ２卷
ห้องสมุดไป่ตู้第 ４期
北 京 机 械 工 业 学 院 学 报
Ｊｕｎｌ ｆ ｅ ｉ ｓｔｔ ｏ ｃｉｅ ｏｒａ ｏ ｉｎ Ｉ ｔｕｅ ｆ Ｂ ｊ ｇ ｎ ｉ Ｍａｈｎｒ ｙ
Ｖ ｌ２ ． ｏ ＿ ２ Ｎｏ ４
Ｄｅ ． ｏｏ ｃ２ ７
Ａｂｓｒ ｃ ＢＰ Ｎｅ ｒ ｌｎ ｔ ｒ ｓｅ ｅ ｔｖ ｏ ｅ ｉ ｇ ｗｉｈ ｎ ｎ—ｉ ｅ ｒｍａ ｉ ｇｗｈ ｃ ｏ ｌ ａ ｉｆ ｃｏ ｔ ａ ｔ： ｕ ａ ｅｗｏ ｋ ｉ ｆ ｃ ｅ ｆ ｒｄ ａ ｎ ｔ ｏ ｌｎ ａ ｐｐ ｎ ｉｈ ｃ ｕ ｄ ｓ ｔｓａ ｔ — ｉ ｌ ｒｌ ｅ ｃ ｂｅ ｔ ｅ ｎ ｎ ｌｎ ａ ｅ ａｉｎ ｅｗｅ ｎ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ａ ｄ ｄ ａ ｎ ｓｓ ｒ ｓ ｌｓ Ａ ｋ ｎ ｆＢＰ ｉ ｄ ｓ ｒ ｈ ｏ —ｉ ｅ ｒ ｒ ｌｔｏ ｓ ｂ ｔ ｅ ｒ ｑ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃｅ ｎ ｉｇ ｏ ｉ ｅ ｕ ｔ． ｙ ｉ ｉｄ ｏ
Gauss-Newton算法在河流水质评价中的应用文章
G AUSS-N EWTON算法在河流水质评价中的应用文章摘要：本文章试图应用BPANN网络，来评价湖泊水库的水质。
文采用4层的网络结构，两层隐含层都是4个神经元节点，输出层只有一个节点，代表评价结果，输入层5个节点，代表5个评价参数。
经过验证，本训练算法比传统算法收敛速度快，鲁棒性强。
为湖库水质评价提供新的思路和工具。
关键词：河流文章，人工神经网络，水质，GaussNewton算法1.前言河流水体作为淡水资源的重要组成部分，在灌溉、人类生活用水的供应、生活污水和工业废水的接纳等密切相关。
水质的评价是一个复杂的问题，目前主要的评价方法主要有两大类，一类是以水质的物理化学参数的实测值为依据的评价方法；另一类是以水生物种群与水质的关系为依据的生物学评价方法。
较多采用的是物理化学参数评价方法，其中又分单因子法和多项参数综合评价法。
前者即用某一参数的实测浓度代表值与水质标准对比，判断水质的优劣或适用程度。
多项参数综合评价法即把选用的若干参数综合成一个概括的指数来评价水质。
多因子指数评价法用两种指数即参数权重评分叠加型指数和参数相对质量叠加型指数两种。
参数权重评分叠加型指数的计算方法是，选定若干评价参数，按各项参数对水质影响的程度定出权系数，然后将各参数分成若干等级，按质量优劣评分，最后将各参数的评分相加，求出综合水质指数。
数值大表示水质好，数值小表示水质差。
用这种指数表示水质，方法简明，计算方便。
参数相对质量叠加型指数的计算方法是，选定若干评价参数，把各参数的实际浓度与其相应的评价标准浓度相比，求出各参数的相对质量指数，然后求总和值。
根据生物与环境条件相适应的原理建立起来的生物学评价方法，通过观测水生物的受害症状或种群组成，可以反映出水环境质量的综合状况，因而既可对水环境质量作回顾评价，又可对拟建工程的生态效应作影响评价，是物理化学参数评价方法的补充。
缺点是难确定水污染物的性质和含量。
随着计算机计算的发展，神经网络也被越来越多用在水质评价工程中。
matlab中实现高斯牛顿迭代法拟合曲线
高斯-牛顿迭代法是一种用于拟合非线性模型的迭代算法。
以下是一个在MATLAB中实现高斯-牛顿迭代法的基本示例。
在这个示例中，我们将尝试拟合一个简单的高斯函数。
假设我们的模型是：f(x) = a * exp(-(x-b)^2 / (2 * c^2))我们的目标是找到参数a，b和c，使得数据与模型之间的平方误差最小。
首先，我们需要定义一些基本函数。
例如，我们需要计算模型的值、模型的导数和平方误差。
matlab复制代码function GaussNewtonclose all;clear all;clc;% 数据x = linspace(-10,10,100)';y = 3*exp(-(x-2).^2/2) + 0.01*randn(size(x));% 初始参数a = 1;b = 1;c = 1;% 参数向量theta = [a b c];% 模型值f = a .* exp(-(x - b).^2 / (2 * c.^2));% 模型的导数df = [exp(-(x - b).^2 / (2 * c.^2)) - (x - b).^2 .* a .* exp(-(x -b).^2 / (2 * c.^2)) / (2 * c.^2); 0; -2 * a .* exp(-(x - b).^2 / (2* c.^2)) * (x - b) / (c.^3)];% 平方误差g = y - f;J = g'*g;% Gauss-Newton迭代Delta_theta = zeros(size(theta));I = eye(size(theta));H = zeros(size(theta));r = g;Delta_theta(1) = inv(I - H(1)) * r;Delta_theta(end) = Delta_theta(end) + H(end) *Delta_theta(1:end-1);Delta_theta = Delta_theta + H * Delta_theta;Delta_theta = Delta_theta + inv(H + I*1e-6) * r;Delta_theta = Delta_theta - inv(H + I*1e-6); % unbiase the iteration incrementtheta = theta + Delta_theta;这个代码的主要部分是高斯-牛顿迭代部分。
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[f (tk , a1 , a2 , . . . , am ) − Ck ]2
(8)
上述高斯-牛顿迭代法对于初始值依赖高，常先用残数法求出初始值。若初始值偏离真值太远，往往迭 代数次后又会发散，导致线性回归失败。
1.3
常用迭代法的C语言编程
a、牛顿迭代法程序： function [x,k]=newton(f,p0,e) %求f(x)=0在给定p0的根。 %f为所求的函数f(x)，p0为迭代初始值，e为迭代精度。 k为迭代次数 %diff(f)为对函数求导，subs是赋值函数，用数值替代符号变量替换函数例 xa=p0; xb=xa-subs(f,xa)/subs(diff(f),xa); k=1; while abs(xa-xb)>e, k=k+1; xa=xb; xb=xa-subs(f,xa)/subs(diff(f),xa); end x=xb; b、雅克比迭代法程序 function [x,n]=Jacobi_Solve(A,b,x0,eps,varargin) %求解线性方程组的迭代法 %A为方程组的系数矩阵 %b方程组的右端项数字的向量组 %eps为精度要求，默认值为1e-5 %varargin为最大迭代次数，值为100 %x为方程组的解 %n为迭代次数（nargin） if nargin==3 eps=1.0e-6; M =200; elseif nargin<3 error return
高斯牛顿法的讲解和在APM上的应用
李智迅
1
1.1 牛顿迭代法
预备知识
牛顿法是一种求解方程f (x) = 0的方法。 多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚 至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正 方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。 牛顿迭代法是用切线来逼近零点的，收敛的速度很快，但要求的条件也高。 首先要有一个区间， 在这个区间的端点函数值反向，其次第一次迭代点不能随意取，否则第一次迭代后的点可能跑出原先 的区间，收敛性就不一定能保证了（即有的情况也能有收敛性，有的情况就没有收敛性了，全看函数 的性能） 。 比如：设r是f (x) = 0的根，选取x0 作为r初始近似值，过点(x0 , f (x0 ))做曲线y = f (x)的切线L， L的方程为y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ),求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ), 称x1 为r的一次 近似值，过点(x1 , f (x1 ))做曲线y = f (x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1 − f (x1 )/f ′ (x1 )称x2 为r的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列Xn ,其中Xn+1 =Xn −f (Xn )/f ′ (Xn ),称为r的n+1次 近似值。上式称为牛顿迭代公式。以f (x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 6为例： #include<stdio.h> #include <math.h> //包含这个头文件，后面使用fabs void main() { double x=1.5,y,y1; do { y=2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; y1=6*x*x-8*x+3; x=x-y/y1; } while(fabs(y/y1)>1e-6);// 是y/y1,不是y printf("%f",x); }
如果我们的测量忽略噪声的影响，并且参数选择正学的话，那么这个向量的长度应该一直是1,无论它 指向那个方向，也就是
2 2 a2 x + ay + az = 1
(10)
或者是 ( x − mx δx )2 + ( y − my δy )2 + ( z − mx δx )2 =1 (11)
为了矫正我们的模型，我们只需要寻找参数mx , my , mz , δx , δy and δz ，这样这个等式就一直成立了。但 是
1
预备知识
1.3
常用迭代法的C语言编程
5
L=-tril(A,-1);%求A的下三角矩阵 U=-triu(A,1);%求A的上三角矩阵 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f; n=1;%迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x=G*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp(’迭代次数太多，可能不收敛。 ’); return; end end d、逐次超松弛迭代程序 function [x,n]=SOR_Solve(A,b,x0,w,eps,M) %求解线性方程组的迭代法 %A为方程组的细数矩阵 %b为方程组的右端项数字的向量组 %x0为迭代初始化向量 %w为松弛因子 %eps为精度要求，默认值为1e-5 %M为最大迭代次数，值为100 %x为方程组的解 %n为迭代次数 if nargin==4 eps=1.0e-6; M =200; elseif nargin<4 error return; elseif nargin==5 M=200; end if(w<=0||w>=2) error return;
其中t是单个变量，t = (t1 , t2 , t3 , . . . , tn )，今有n组实验观测值(tk , Ck ), k = 1, 2, . . . , n，在最小二乘意 义下确定m 个参数a1 , a2 , a3 , . . . , am。下面介绍一般解法步骤。 首先，给ai (i = 1, 2, . . . , m)一个初始值，记为ai ，并记初值与真值之差ϵi （未知） ，这时有 ai = ai + ϵi 若知则可求ai ，在ai 附近作Taylor级数展开并略去ϵi 的二次以上各项得 f (tk , a1 , a2 , . . . , , a(0) m ) ≈ fk0 + 其中fk0 = f (tk , a1 , a2 , . . . , am ), t = tk ∂f (t, a1 , a2 , . . . , am ) ∂fk0 = ∂ai ∂ai a1 = a1 . . .
1.2
高斯牛顿迭代法
高斯牛顿算法是一种解决非线性最小二乘法问题的方法，主要是为了解决非线性最小二乘拟合的 1
2
1
预备知识
问题。 它可以被看做是牛顿法的一种进化，为了寻找函数的最小值。 和牛顿法不同的是，高斯牛顿算 法只能被用于算平方和的最小值，但是它也有自身的优点：他不用计算实际编码中很难实现的函数二 阶导数的值。 高斯―牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多 次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的 残差平方和达到最小。 高斯―牛顿法的一般步骤为：1、适当选择初始值（非常重要）2、泰勒级数展 开式3、估计修正因子4、精确度的检验5、重复迭代。一般非线性参数的确定，通常采用逐次逼近的方 法，即逐次“线性化”的方法，举例如下： 设某数学模型中待定参数a1 , a2 , a3 , . . . , am ，求得数学模型与时间的关系函数式为： C = f (t, a1 , a2 , a3 , . . . , am ) (1)
2.2
运用高斯牛顿迭代法算但是我们只用一个观测站从而只有一个方程。 这样我们会有无数多个解，怎 样选择一个？ • 假如我们使用6个观测站的话，我们可以得到6个未知数的唯一解，观测站尽量越不同越好这样才 不容易产生误差。但是我们知道读取数据的时候会有噪声，所以解并不是一个确定的值。 • 假如我们使用超过6个观测站的话，那么我们可以捕获到噪声的信息，但是我们得到了大于6个的 方程，但是我们只有6个未知数，所以是无解的。 这样看来我们只有选择正确的观测站数量，并且合理的选择参数，从而尽可能的使误差减小。 误差的 定义式如下 ( σi = x − mx δx )2 + ( y − my δy )2 + ( z − mx δx )2 −1 (i = 1, 2, . . . , N ) (12)
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
(2)
∂fk0 ∂fk0 ∂fk0 ϵ1 + ϵ2 + . . . + ϵm ∂a1 ∂a2 ∂am
(3)
(4)
am = am
k0 当ai 给定时，fk0 ， ∂f ∂ai 均可由t算得。
(0)
(0)
其次，列出正规方程（线性方程组） ，为了方便理解我们不妨设参数为4个即m = 4，则应列出以下 方程 b11 ϵ1 + b12 ϵ2 + b13 ϵ3 + b14 ϵ4 = B1 b21 ϵ1 + b22 ϵ2 + b23 ϵ3 + b24 ϵ4 = B2 b31 ϵ1 + b32 ϵ2 + b33 ϵ3 + b34 ϵ4 = B3 b41 ϵ1 + b42 ϵ2 + b43 ϵ3 + b44 ϵ4 = B4 其中bij (i, j = 1, 2, . . . , m)为方程系数，Bi 为常数。它们的表达式如下： bij = Bi =
4 elseif nargin==5 M =varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角矩阵 U=-triu(A,1);%求A的上三角矩阵 B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; n=1;%迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp(’迭代次数太多，可能不收敛。 ’); return; end end c、高斯_赛德尔迭代程序 function [x,n]=gaussseide(A,b,x0,eps,M) %求解线性方程组的迭代法 %A为方程组的细数矩阵 %b为方程组的右端项数字的向量组 %eps为精度要求，默认值为1e-5 %M为最大迭代次数，值为100 %x为方程组的解 %n为迭代次数 if nargin==3 eps=1.0e-6; M =200; elseif nargin==4 M=200; elseif nargin<3 error return; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵