第3章一元一次方程介绍

七年级上册第三章一元一次方程”简介

方程是《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》中“数与代数”领域的重要内容之一，一元一次方程是最简单、最基本的方程.继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后，本章对一元一次方程进行研究，主要内容包括一元一次方程的有关概念、解法和应用，化归思想和模型思想隐含于知识之中. 通过学习本章，学生的代数运算能力和数学建模能力将得到进一步发展. 本章共安排四个小节和两个选学内容，教学时间大约需要19课时，具体安排如下（仅供参考）：

3.1 从算式到方程约4课时

3.2 一元一次方程的讨论（一）

———合并同类项与移项约4课时

3.3 一元一次方程的讨论（二）

———去括号与去分母约4课时

3.4 实际问题和一元一次方程约5课时

数学活动

小结约2课时

一、教科书内容和课程学习目标

（一）本章知识结构框图

1.利用一元一次方程解决问题的基本过程

设未知数，

（二）教科书内容

人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用.从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展.从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础.

本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题.其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是主要难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线.对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的，它们在本章前三节中占重要地位.解方程中蕴涵的“化归思想”和列方程中蕴涵的“数学建模思想”，是本章中包含的主要数学思想.讨论一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同类项”“去括号”等整式加减运算的法则，即第一、二章的内容是关于一元一次方程解法的基础知识.

全章共包括四节：

3．1 从算式到方程

3.1.1 一元一次方程

在小学阶段，用算术方法解应用题是数学课中的重要内容，此外对于方程也有过对一些最简单问题的讨论．本小节先通过一个具体的行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐步引导学生通过列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据问题中的相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的不仅在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，而且要使学生认识到方程是比算术式子更有力的数学工具，字母(未知数)可以列入方程并参与运算，从而给解决问题带来更大的便利，从算术方法到代数方法是数学的进步．算式表示的是用算术方法进行计算的程序，算式中只能含有已知数而不能含有未知数，这是列算式使用问题中的数量关系时必须遵守的规则．列方程依据问题中的数量关系，特别

是相等关系，它打破了列算式时只能使用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数在被解出之前以字母形式进入表示相等关系的式子，是代数方法对于算术方法的新改革．正因有了如此的新突破，所以一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性．

本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解以及解方程等基本概念，并且对于“分析实际问题中的数量关系，设未知数，利用相等列出方程”的过程进行了归纳．这对后续内容的展开具有重要的基础作用.

3.1.2 等式的性质

方程是含未知数的等式，为适合初中学生学习，降低学习难度，本章不涉及关于方程的同解理论，而以相对说来比较容易理解的等式的性质作为解方程的主要根据．本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法．这将为后面的3.2节和3.3节进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据．本节最后安排的“阅读与思考：‘方程’史话”，简要地回顾了中外古人研究方程过程中的几个重要事件，通俗地介绍了与方程相关的数学史料，这有助于传播数学文化、扩大知识面和增加学习兴趣.

3.2 解一元一次方程（一）———合并同类项与移项

本节的重点在于讨论解方程中的“合并同类项”和“移项”两个基本做法，这样就已经可解

=

+

ax+

cx

b

d

类型的一元一次方程．

本节中对于“合并同类项”和“移项”的讨论，分别以问题1和问题2为出发点.以较为简单的实际问题作讨论方程解法的背景，一方面可使学生感觉到要讨论的解法来源于实际问题的需要，另一方面可使根据实际问题列方程贯穿于全章，将列方程的教学过程拉长．从而达到由简单到复杂地逐步提高学生列方程的能力的教学效果.

本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780～850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的《对消与还原》一书，提问“对消”与“还原”是什么意思，以此作为后面内容的引子．这也具有介绍数学史，传播数学文化的作用．本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其中前一例题是单纯解方程，其作用为巩固对相应解法的理解和掌握；后一例题是简单的实际问题，其作用有两个，一是巩固对相应解法的理解和掌握，二是逐步引导学生理解和掌握如何列方程.解方程和列方程是利用方程分析和解决实际问题的基本过程中不可或缺的两个环节．

本节最后安排的“实验与探究：无限循环小数化分数”，是对一个纯数学问题的讨论.它展示了研究数的问题时方程的应用，这有助于加强知识之间的联系和增加学习兴趣，也有益于以后进一步研究实数.

3.3 解一元一次方程（二）———去括号与去分母

本节的重点在于讨论解方程中的“去括号”和“去分母”两个基本做法，至此就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．

本节中对于“去括号”和“去分母”的讨论，分别以问题1和问题2为出发点，即从一道“用电问题”，引出解方程中的“去括号”问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而讨论用去分母的方法解这类方程．以较为简单的实际问题作讨论方程解法的背景，这延续了3.2节的做法，其目的如前面所述.

本节通过古埃及数学问题为讨论“去分母”的引子，反映出人们对数学研究有悠久的历史，数学文化源远流长，这也可以增加相关内容的趣味性．

同3.2节的结构一样，本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其一是单纯解方程，其二是简单的实际问题，它们对理解和掌握“去括号”和“去括号”解方程，对理解和掌握根据实际问题中的相等关系列方程，有重要的示范作用．

本节归纳了解一元一次方程的一般步骤，至此这类方程的一般解法已得到完整的讨论.

3.4 实际问题与一元一次方程

本节的第一部分，在此前已经讨论过由实际问题列出一元一次方程以及解一元一次方程的一般步骤的基础上，又安排了例1（“成龙配套”问题）和例2（工程问题），并在其后以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的基本过程，这是一个重要的小结.

本节的第二部分，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．要探究的三个问题（“销售中的盈亏”“球赛积分表问题”“电话计费问题”）要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近，呈现形式也有别于普通数学习题．

本节的重点是建立实际问题的方程模型．通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列出方程是主要的难点．突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．

（三）本章学习目标

1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步.

2．掌握等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法，知道它们是解方程的依据.

3．明确解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），在此目标引导下研究方程的解法；熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想.

4．能够找出实际问题中的已知数和未知数，会从数学运算角度分析它们之间的关系；会根据问题所求及题中条件设未知数，会列出方程表示问题中的相等关系，并利用方程求未