高中导数知识全解析

高中导数知识全解析

一．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y

∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=

x x f x x f ∆-∆+)

()(00。如果当0→∆x 时，x y ∆∆有极限，我们就

说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y

∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x y

∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，

或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；

（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y

x ∆∆→∆0lim

。

二．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②

()1

;

n

n x nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x

x

e e '=⑥()ln x

x

a a a '=; ⑦

()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e

x '=.

四．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

.)'

''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则'

''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

.)(''Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪

⎭

⎫

⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 五、高考数学复习详细资料——导数应用

知识清单

1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

如果在某区间内恒有'

f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；

③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝∑n

i f

1

＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →

∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：⎰b

a

dx

x f )(，即⎰

b

a

dx

x f )(＝

∑=∞

→n

i n f

1

lim (ξi)

△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式：

⎰dx 0＝C ；

⎰dx x m

＝1

11

++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；

⎰x 1

dx ＝ln x ＋C ；

⎰dx e x

＝x

e

＋C ；

⎰dx a x ＝a a x

ln ＋C ；

⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；

⎰xdx sin ＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。

（2）定积分的性质 ①⎰

⎰=b

a b

a

dx

x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②

⎰

⎰⎰±=±b

a b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③⎰

⎰⎰+=b

a c

a b

c dx

x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。 （3）定积分求曲边梯形面积 由三条直线x ＝a ，x ＝b （a

梯的面积

⎰=b

a

dx

x f S )(。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝

⎰

⎰-b

a

b

a

dx

x f dx x f )()(21。

课前预习

1．求下列函数导数

（1）

)11(32x x x x y ++

= （2）)11)(1(-+=x x y （3）

2cos 2sin x x x y -= （4）y=x x sin 2

（5）y ＝x x x x x 9532-+-

2．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）