优课系列高中数学北师大版选修2-2 1.2.1综合法 课件(52张)

分析法证明不等式
新知导学 4．分析法定义 从要证明的_结__论___出发，逐步寻求使它成立的__充__分___条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析 法
5．分析法的特点 分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_需__知___”， 执果索因，逐步靠拢“__已__知____”，其逐步推理，实际上是要 寻找“结论”的___充__分___条件． 分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密 的逻辑推理．
[解析] 分析法：要证 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c， 只需证：a2＋b32＋c2≥(a＋3b＋c)2， 只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的， 所以 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c成立．
[答案] a＋b
[解析] 已知 a＋b＞2 ab，a2＋b2>2ab， 又 a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0. 也可用特值法取 a＝12，b＝18，则 a＋b＝58，2 ab＝12，a2 ＋b2＝1674，2ab＝18，显见 a＋b 最大，故只能是填 a＋b.
5．设 a>0，b>0，c>0，若 a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小 值为________．
牛刀小试 2．(2013·重庆理，6)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b) ＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 [答案] A [解析] 因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－ c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.
(3)当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有 时可以运用__分__析__法____去探求解题思路，特别是对于条件简单 而结论复杂的题目，往往更是行之有效的方法．另外，对于恒 等式的证明，也同样可以运用分析法证明．又如在立体几何证 明题中，将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析， 看能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方 法．
b≥ a
a＋
b.
综合法和分析法的综合应用
已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0＜x＜1. 求证：logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c＜logxa＋logxb＋logxc.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a、b、c是不全相等的三个正数；②所要证的不等式是 以对数形式给出且底数0＜x＜1.解答本题的关键是利用对数运 算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明．
综合法证明不等式
新知导学 1．定义 利用__已__知__条__件__和某些数学__定__义____、__定__理___、__公__理___ 等，经过一系列的__推__理__论__证__，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法
2．综合法的特点 从“已知”看“___可__知__”，逐步推向“__未__知____”，其 逐步推理，是由___因___导___果____，实际上是寻找“已知”的 __必__要____条件． 用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步 为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且 综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论 都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从 条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析 的要点，所以如何找到“__切__入__点____”和有效的__推__理__途__径__是 有效利用综合法证明数学问题的关键．
用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
[方法规律总结] 分析法证明不等式的依据、方法与技 巧．
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
典例探究学案
第二章 推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案 4 备选练习
自主预习学案
了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证 明命题．
重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． 难点：综合法和分析法的应用．
6．分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问 题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条 件．若用___P______表示要证明的结论，则分析法的推理形式为 P⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
7．分析法与综合法的区别与联系 (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索 因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻 找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解 决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
3．综合法的基本思路 用___P_____表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， ____Q_____表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q 其逻辑依据是三段论式演绎推理．
牛刀小试 1．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. [证明] 因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0， 所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) ＝(3a2－2b2)(a－b)≥0， 即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
2y＋1·
73≤
2y＋12＋ 2
732＝y＋53，
2z＋1·
73≤
2z＋12＋ 2
732＝z＋53，
相加得( 2x＋1＋ 2y＋1＋ 2z＋1)· 73≤x＋y＋z＋5＝
7， 即
2x＋1＋
2y＋1＋
2z＋1≤7·
3＝ 7
21，等号在 x＝y
＝z＝23时取得．
分析法的应用
设 a、b 为实数，求证 a2＋b2≥ 22(a＋b)． [证明] 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b＞0 时，
(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断 都是使结论成立的____充__分____条件，最后的一步归结为已被证 明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到 结论，这个倒推的证明过程就是___综__合_____法．
分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便 于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清 楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用， 即：__分__析______找思路，____综__合____写过程．
3．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋ 1ab≥2 2 C．a2＋abb2≥a＋b
B．(a＋b)1a＋1b≥4 D．a2＋abb≥ ab
[答案] D [解析] ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab，∴2a＋abb≤1，∴a2＋abb ≤ ab
4．若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则在 a＋b,2 ab，a2＋b2 和 2ab 中最大的是________．
[证明] 方法一：∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴ab≤14，a1b≥4. ∴1a＋1b＝a＋ abb＝a1b≥4.
方法二：∵a，b 是正数， ∴a＋b≥2 ab＞0，1a＋1b≥2 a1b＞0， ∴(a＋b)(1a＋1b)≥4. 又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4. 方法三：1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 4.当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用 好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
已知
a>0，b>0，求证：

a＋ b
b≥ a
a＋
b.
[分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可 以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的 充分条件，即用分析法证明．
[证明]
∵a>0，b>0，要证
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性 质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证 明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
综合法的应用
已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1， 求证：1a＋1b≥4. [分析] 注意到条件 a＋b＝1，可在待证式中进行 1 的代换 (或利用字母之间的倒数关系，将待证式左边乘以 1，即乘以(a ＋b)变形后用基本不等式证明．也可以先将 a＋b＝1 利用基本不 等式转化为 ab的不等式，再看待证式能否向 ab(或 ab)转化．
a＋ b