高中数学《几个常用函数的导数》公开课PPT课件
合集下载
高二数学(理)《几个常用函数的导数及导数公式》(课件)PPT教学课件
制作 09
2009年下学期
②导数公式：
(1 )常 函 f(x ) 数 C f： '(x )0; (2 )一 次 f(x 函 )k 数 x b f： '(x)k ; (3 )幂函 f(x ) 数 x n f'： (x ) nn 1 x ;
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
②导数公式：
湖下学期
(5 )指 数 f(x 函 )ax 数 f'(x ) ： axln a f(x )ex f'(x )ex
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
(5 )指 数 f(x 函 )ax 数 f'(x ) ： axln a f(x )ex f'(x )ex
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
学法归纳
1. 研究函数的导数或切线斜率的方法: ①导数定义推理：
f'( x ) li y m lif( m x x ) f( x ) K x 0 x x 0 x
②导数公式：
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
②导数公式：
湖南长郡卫星远程学校
(1)yf(x)C; (2) yf(x)x(k0);
(3)yf(x)x2; (4)yf(x)1; x
(5)yf(x) x;
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
探究2: 请利用导数定义, 求下列基本 初等函数的导数：
(1)f(x)xn; (2)f (x) sinx; (3)f(x)coxs; (4 )f(x )ax; (5)f(x)ex; (6)f (x) loagx; (7)f(x)lnx;
高中数学 3.2第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件 新人教A版选修1-1
ppt精选
35
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
36
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
37
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
38
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
39
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
10
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
11
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
12
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
13
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
14
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
Hale Waihona Puke 30基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
31
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
32
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
33
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
34
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
45
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
ppt精选
46
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
几个常用函数的导数 课件
y | 0 x | | 0 | | x |
x
x
x
y | 0 x | | 0 | | x |
x
x
x
当△x>0时，比值为1，从而极限为1
当△x<0时，比值为-1，从而极限为-1 从而当x=0时，极限不存在。 故y=|x|(x∈R)没有导函数。
试自己推导教材P90的公式3、公式4。 你还能推导教材P90的其他公式吗？
x
x
1
x x x
取极限
lim y lim
1
1
x0 x x0 x x x 2 x
所以
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
例2、y=|x|(x∈R)有没有导函数，试求之。
解: (1)当x>0时，y=x, 则y' =1
(2)当x<0时，y=-x,不难求得y' =-1
(3)当x=0时，y=0,求其导数如下：
为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简 称导数，也可记作 y/，即
f / (x) ＝ y /
＝ lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
例1：已知函数 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x 在 x = 2 处的导数
解：函数改变量 y= x+x x
算比值 y x x x
f (x0)是求函数y f (x)在x x0处的导数
如果将x0改为x,则求得的是 y f (x) y f (x) 被称为函数y=f(x)的导函数.
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都 对应着一个确定的导数 f / (x)，从而构成
《几个常用函数的导数》ppt课件
THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。
高三数学几种常见函数的导数PPT教学课件 (2)
3.2几种常见函数的 导数
一、复习：
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率;物理学中,物 体运动过程中,在某时刻的瞬时速度,在极限思想上得 到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统 一的概念和公式——导数.
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数 y 的 f(x增 x) 量 f(x);
(2)求函数的增量的 与增 自量 变的 量 : 比值
y
f(xx)f(x) ;
x
x
(3)求 极 限 ，y 得 f(x 导 )l函 im y数 .
x 0x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x)在x= x0处的函数值,即 f(x0)y|xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一.
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f(x0)，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ).
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1: C0(C为常).数 证 :yf(x )C , yf(x x )f(x )C C , y0 ,
[x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 C n n ( x ) n ] x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 C n n ( x ) n , x y f( x C ) n 1 x (x n n 1 ) C ln 2 ix n m y 2 x C n n ( x ) n 1 ,
一、复习：
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率;物理学中,物 体运动过程中,在某时刻的瞬时速度,在极限思想上得 到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统 一的概念和公式——导数.
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数 y 的 f(x增 x) 量 f(x);
(2)求函数的增量的 与增 自量 变的 量 : 比值
y
f(xx)f(x) ;
x
x
(3)求 极 限 ，y 得 f(x 导 )l函 im y数 .
x 0x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x)在x= x0处的函数值,即 f(x0)y|xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一.
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f(x0)，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ).
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1: C0(C为常).数 证 :yf(x )C , yf(x x )f(x )C C , y0 ,
[x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 C n n ( x ) n ] x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 C n n ( x ) n , x y f( x C ) n 1 x (x n n 1 ) C ln 2 ix n m y 2 x C n n ( x ) n 1 ,
高中教学课件《几种常见函数的导数
直接法：通过求导公式直接计算导数
换元法：通过换元法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数 积分法：通过积分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
微分法：通过微分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
洛必达法则：通过洛必达法则将复杂 函数转化为简单函数，再计算导数
泰勒公式：通过泰勒公式将复杂函数 转化为简单函数，再计算导数
微积分包括微分 和积分两部分， 导数是微分的基 础，积分是微分 的逆运算
导数与微积分的 关系密切，导数 是微积分的重要 工具，微积分是 导数的应用领域
导数在实际问题中的应用案例分析
导数在物理学中 的应用：如牛顿 第二定律、能量 守恒定律等
导数在经济学中 的应用：如边际 成本、边际收益 等
导数在工程学中 的应用：如优化 设计、控制系统 等
几种常见函数的导 数
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01
导数的定义和计算方法
02
常见函数的导数
03
导数的应用
04
导数的扩展知识
导数的定义和计算方法
第一章
导数的定义
导数是函数在某一点的变化 率
导数是函数在某一点的切线 斜率
导数是函数在某一点的极限 值
导数是函数在某一点的瞬时 变化率
导数的计算方法
导数的计算：利用 导数公式或导数表 计算导数
切线斜率的计算： 将导数代入切线斜 率公式
切线斜率的应用： 求曲线在某一点的 切线斜率，判断函 数的单调性，求函 数的极值等
利用导数研究函数的单调性
导数的定义：函数在某一点的切线斜率
导数的几何意义：函数在某一点的切线斜率
导数的物理意义：函数在某一点的变化率
换元法：通过换元法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数 积分法：通过积分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
微分法：通过微分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
洛必达法则：通过洛必达法则将复杂 函数转化为简单函数，再计算导数
泰勒公式：通过泰勒公式将复杂函数 转化为简单函数，再计算导数
微积分包括微分 和积分两部分， 导数是微分的基 础，积分是微分 的逆运算
导数与微积分的 关系密切，导数 是微积分的重要 工具，微积分是 导数的应用领域
导数在实际问题中的应用案例分析
导数在物理学中 的应用：如牛顿 第二定律、能量 守恒定律等
导数在经济学中 的应用：如边际 成本、边际收益 等
导数在工程学中 的应用：如优化 设计、控制系统 等
几种常见函数的导 数
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01
导数的定义和计算方法
02
常见函数的导数
03
导数的应用
04
导数的扩展知识
导数的定义和计算方法
第一章
导数的定义
导数是函数在某一点的变化 率
导数是函数在某一点的切线 斜率
导数是函数在某一点的极限 值
导数是函数在某一点的瞬时 变化率
导数的计算方法
导数的计算：利用 导数公式或导数表 计算导数
切线斜率的计算： 将导数代入切线斜 率公式
切线斜率的应用： 求曲线在某一点的 切线斜率，判断函 数的单调性，求函 数的极值等
利用导数研究函数的单调性
导数的定义：函数在某一点的切线斜率
导数的几何意义：函数在某一点的切线斜率
导数的物理意义：函数在某一点的变化率
几种常见函数的导数 新课程 课件
3.2几种常见函数的导数
公式1
公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
sin x ' cos x.
cos x ' sin x.
练习巩固 1.若y sin , 则y' ( C ). 6 3 3 1 A. B. C.0 D. 2 2 2 1 1 2.曲线y 2 在点P 2, 处的切线方程为 ( B ). x 4 A.x 4 y 1 0 B.x 4 y 3 0 C.4 x y 1 0 D.4 x y 3 0
3.质点沿直线运动的路程 和时间的关系是 s 5 t ,则 质点在t 4时的速度为 ( B ). 2 2 10 23 4.求抛物线y x 2上的点到直线x y 2 0的最短距离 . 5.抛物线y x 2上点A的切线与直线 3 x y 1 0的夹角 为45 导数
练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x
2 y 1 sin x 1 2 x 2.已 知 函 数 f x x 2 x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
2
2 cos x;
A.
1
5 3
B.
1
5
25 3 C. 2 5
1 5 3 D. 2 10
3.3函数的和、差、积、商的导数
1、和（或差）的导数 法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两 个函数的导数的和（或差），即
u v ' u 'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x
公式1
公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
sin x ' cos x.
cos x ' sin x.
练习巩固 1.若y sin , 则y' ( C ). 6 3 3 1 A. B. C.0 D. 2 2 2 1 1 2.曲线y 2 在点P 2, 处的切线方程为 ( B ). x 4 A.x 4 y 1 0 B.x 4 y 3 0 C.4 x y 1 0 D.4 x y 3 0
3.质点沿直线运动的路程 和时间的关系是 s 5 t ,则 质点在t 4时的速度为 ( B ). 2 2 10 23 4.求抛物线y x 2上的点到直线x y 2 0的最短距离 . 5.抛物线y x 2上点A的切线与直线 3 x y 1 0的夹角 为45 导数
练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x
2 y 1 sin x 1 2 x 2.已 知 函 数 f x x 2 x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
2
2 cos x;
A.
1
5 3
B.
1
5
25 3 C. 2 5
1 5 3 D. 2 10
3.3函数的和、差、积、商的导数
1、和（或差）的导数 法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两 个函数的导数的和（或差），即
u v ' u 'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x
高三数学《导数》全章课件：几种常见函数的导数
所 求 的 直 线y方 1程2 为 (x), 3
23 3
即2x
2
3y
3 0.
32
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.
解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由 y (s x ) ic n x o ,得 y s |x x 0 cx o 0 ; s 由 y (c x ) o sx s i ,得 n y |x x 0 sx i 0 ;n 由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.
1
例1:求过曲线y=cosx上点P( 直的直线方程.
3
,
2
)且与过这点的切线垂
解 故y 曲 ： c线x o , 在 P(s y 点 ,1 )处 six 的 ,n y 切 |x 3 线 斜 s i率 x 3 n ， 为 2 3 .
32
2
从 而P过 点 且 与 切 线 垂 直 的的 斜直 率2线 为；
x x
2coxs( )sin ,
y2coxs( 2x)s
i n 2xc2 oxs(x2)s
i nx 2,
x
x
2 x
f(x)(sixn) lxi m 0 xy lxi m 0c oxs(2x)2 lxi m 0s inx2x
2
c oxs1c oxs.
同理可证,公式4: (cx o)ssixn.
三、例题选讲
几种常见函数的 导数
一、复习：
1.求函数的导数的方法是: (; (2)求函数的增量的 与增 自量 变的 量: 比值
23 3
即2x
2
3y
3 0.
32
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.
解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由 y (s x ) ic n x o ,得 y s |x x 0 cx o 0 ; s 由 y (c x ) o sx s i ,得 n y |x x 0 sx i 0 ;n 由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.
1
例1:求过曲线y=cosx上点P( 直的直线方程.
3
,
2
)且与过这点的切线垂
解 故y 曲 ： c线x o , 在 P(s y 点 ,1 )处 six 的 ,n y 切 |x 3 线 斜 s i率 x 3 n ， 为 2 3 .
32
2
从 而P过 点 且 与 切 线 垂 直 的的 斜直 率2线 为；
x x
2coxs( )sin ,
y2coxs( 2x)s
i n 2xc2 oxs(x2)s
i nx 2,
x
x
2 x
f(x)(sixn) lxi m 0 xy lxi m 0c oxs(2x)2 lxi m 0s inx2x
2
c oxs1c oxs.
同理可证,公式4: (cx o)ssixn.
三、例题选讲
几种常见函数的 导数
一、复习：
1.求函数的导数的方法是: (; (2)求函数的增量的 与增 自量 变的 量: 比值
《几个常用函数的导数》PPT课件
1从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2这三个函数中,哪一个减小得最快?哪一
个减小得最慢 ?
3函数 y kx k 0增 减的快慢与什么
有关 ?
练一练1：
函数y f (x) x2的导数
练一练2：
函数y f (x) 1 的导数 x
练一练1：
y
函数y f (x) x2的导数
f '(x) 2x
复习回顾：
1.导数的概念
lim lim f '(x)
y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
2.导数的几何意义
切线的斜率
3.导数的物理意义
瞬时速度
4.求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x) ;
O
x
几何意义：
图1.2 3
f (x) x2在点(x, f (x))处的切线的斜率为2x
物理意义：
f (x) x2在时刻x的瞬时速度为2x
练一练2： 函数9;
(
x)
1 x2
探究三： 求函数y f (x) 1 在点（1，1）出的切线方程
x
x y20
练一练3： 函数y f (x) x的导数
f
'
(x)
1 x2
f '(x) 1 2x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
个减小得最慢 ?
3函数 y kx k 0增 减的快慢与什么
有关 ?
练一练1：
函数y f (x) x2的导数
练一练2：
函数y f (x) 1 的导数 x
练一练1：
y
函数y f (x) x2的导数
f '(x) 2x
复习回顾：
1.导数的概念
lim lim f '(x)
y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
2.导数的几何意义
切线的斜率
3.导数的物理意义
瞬时速度
4.求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x) ;
O
x
几何意义：
图1.2 3
f (x) x2在点(x, f (x))处的切线的斜率为2x
物理意义：
f (x) x2在时刻x的瞬时速度为2x
练一练2： 函数9;
(
x)
1 x2
探究三： 求函数y f (x) 1 在点（1，1）出的切线方程
x
x y20
练一练3： 函数y f (x) x的导数
f
'
(x)
1 x2
f '(x) 1 2x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
思考：用定义求导数有些麻烦！你有什 么期望？
汇总以上公式，可以得到统一的公式：
公式2: ( xn ) nxn1 (n. Q)
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为
测试一下你对定义法求导掌握了没有？（试一试下 题：）
(1) 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2
位移单位：m，时间单位：s）.求小球在t=5时的瞬 时速度（用定义法求）
解：△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t
s t 10 t
lim lim v
1.2.1几个常用函数的导数
一、复习： 导数的概念和几何意义
1.y
=f
(x)的导数
f
(x)
lim y
x0 x
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
2.y =f (x)在点x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处
的数切(或线变的化斜率率)。.极yx限f 叫(x0平) 均lixm变0 化f (x率0 。xx) f (x0 )
关系
f (x)的导函数
f ' (x0 ) 6x0
f '(x) 6x
x=x0时的函数值
求函数f(x)=2的导数；
解：根据导数定义，
y y f ( x x) f ( x)
220
o
x
f ' ( x) 2' lim y lim0 0.
x x0
x0
x3
公式3: (sin x) cos x
公式4: (cos x) sin x
公式5:对数函数的导数
(1)
(loga
x)
1 x ln
a
(a
0, a
1).
(2) (ln x) 1 . x
公式6:指数函数的导数
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
1) y f (x) C y ' 0
2) y f (x) x, y ' 1
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y f (x) 1 , y ' 1
x
x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
算一算 ：求下列函数的导数
1
(1) y x12 (2) y x 3
1 (3) y x4 (4) y x x (5) y 5 x3 (6) y 1
叫f(x)在点x0处的导
3.物体的运动规律是S=S(t)，则物体在时刻t的瞬时速度为
V
lim s(t
t 0
t) t
s(t)
即瞬时速度是位移S对时间t
的导数。
4.用定义法求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法步骤：
(1)求△y；(2)求 y ；(3)取极限limy
x
x t0
s
(t 10) 10
t t0
t 0
思考与练习
函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ?
与导函数
区别: f (x) 是函数 , f (x0 ) 是数值; 联系: f (x) xx0 f (x0 )
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
函数导函数
(2) 求函数f(x)=0的导数； 0
(3) 求函数f(x)=-2的导数. 0
公式1 C' 0 (C为常数).
证明：y f ( x) C,
y f (x x) f (x)=C C 0
y 0, x
f '(x) C' lim 0 0. x0
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x) f ( x) x x x x,
f '(x) lim y lim 1= 1
x x0
x0
(2) y=x2的导数
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x2 2xx x2 ,
(2) (ex ) ex.
注意:关于 a x和xa是两个不同
的函数,例如:
(1)(3x ) 3x ln a
(2)( x3) 3x2
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
f ' (x) lim y lim (2x x)
x x0
x0
2x.
(3) y=x3的导数
f '( x) ( x3 )&# x
解：因为：y
f ( x x)
f (x)
1 1 x x x
x
x
当x=x0时, f ’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一 个函数,我们叫它为f (x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
f(x)在x=x0处的导数
f (x) 3x2
x
x ( x x) x( x x)x
x2
1 xx
所以y
lim
x0
y x
lim (
x0
x2
1 xx
)
1 x2
(5)函数 y f (x) x 的导数
解：y x x x
x
x x x
y
1
x x x x