高中数学《几个常用函数的导数》公开课PPT课件

当x=x0时, f ’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一 个函数,我们叫它为f (x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
f(x)在x=x0处的导数
f (x) 3x2
f ' (x) lim y lim (2x x)
x x0
x0
2x.
(3) y=x3的导数
f '( x) ( x3 )' 3x2 .
(4)求函数y 1 的导数 x
解：因为：y

f ( x x)
f (x)
1 1 x x x
x
x
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
s
(t 10) 10
t t0
t 0
思考与练习
函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ?
与导函数
区别: f (x) 是函数 , f (x0 ) 是数值; 联系: f (x) xx0 f (x0 )
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
函数导函数
叫f(x)在点x0处的导
3.物体的运动规律是S=S(t)，则物体在时刻t的瞬时速度为
V
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lim s(t
t 0

t) t

s(t)
即瞬时速度是位移S对时间t
的导数。
4.用定义法求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法步骤：
(1)求△y；(2)求 y ；(3)取极限limy
x
x t0
幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
1) y f (x) C y ' 0
2) y f (x) x, y ' 1
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y f (x) 1 , y ' 1
x
x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
(2) 求函数f(x)=0的导数； 0
(3) 求函数f(x)=-2的导数. 0
公式1 C' 0 (C为常数).
证明：y f ( x) C,
y f (x x) f (x)=C C 0
y 0, x
f '(x) C' lim 0 0. x0
关系
f (x)的导函数
f ' (x0 ) 6x0
f '(x) 6x
x=x0时的函数值
求函数f(x)=2的导数；
解：根据导数定义，
y y f ( x x) f ( x)
220
o
x
f ' ( x) 2' lim y lim0 0.
x x0
x0
x

x ( x x) x( x x)x


x2
1 xx
所以y

lim
x0
y x

lim (
x0
x2
1 xx
)


1 x2
(5)函数 y f (x) x 的导数
解：y x x x
x
x x x
y
1
x x x x
测试一下你对定义法求导掌握了没有？（试一试下 题：）
(1) 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2
位移单位：m，时间单位：s）.求小球在t=5时的瞬 时速度（用定义法求）
解：△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t
s t 10 t
lim lim v
1.2.1几个常用函数的导数
一、复习： 导数的概念和几何意义
1.y
=f
(x)的导数
f
(x)

lim y
x0 x

lim
x0
f
(x

x) x
f
(x)
2.y =f (x)在点x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处
的数切(或线变的化斜率率)。.极yx限f 叫(x0平) 均lixm变0 化f (x率0 。xx) f (x0 )
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
思考：用定义求导数有些麻烦！你有什 么期望？
汇总以上公式，可以得到统一的公式：
公式2: ( xn ) nxn1 (n. Q)
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
算一算 ：求下列函数的导数
1
(1) y x12 (2) y x 3
1 (3) y x4 (4) y x x (5) y 5 x3 (6) y 1
x3
公式3: (sin x) cos x
公式4: (cos x) sin x
公式5:对数函数的导数
(1)
(loga
x)

1 x ln
a
(a

0, a
1).
(2) (ln x) 1 . x
公式6:指数函数的导数
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
注意:关于 a x和xa是两个不同
的函数,例如:
(1)(3x ) 3x ln a
(2)( x3) 3x2
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x) f ( x) x x x x,
f '(x) lim y lim 1= 1
x x0
x0
(2) y=x2的导数
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x2 2xx x2 ,