第七章 紊动扩散
2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散
uiC
Eij
C x
j
式中，Eij 称为紊动扩散系数张量，Eij 是个二阶张量， 相对于紊动扩散的主轴来讲，当 i j 时，Eij 0 ，只剩 下当i j 时的三个紊动扩散系数。
uiC
Eij
C x
j
于是在直角坐标下，我们可以得到:
uxC
Ex
C x
uyC
Ey
C y
uzC
Ez
C z
)
d
（2-96）
可以证明，当 时
0
exp
(
2
12 2
)d
e21
2
（2-97）
于是得时间连续点源三维移流扩散的浓度公式为：
C(x, y, z) m exp[ u (r x)]
4 Dr
2D
（2-98）
在源下游较远的区域，（2-89）式中r值可以下列近似 关系代替：
r
x2
y2
z2
(1
y2 x2 2x2 )x
C(x, y)
m
exp( y2u )
u 4 D x u
4Dx
（2-92）
第一章 迁移扩散理论
一、分子扩散 二、移流扩散及紊动扩散 三、剪切流动的分散
紊动扩散欧拉（Euler）法
我们在上一节研究费克第二定律的过程中，就其分 析方法而言，实质上就是采用的欧拉法，即
对流场中给定的微小空间考察各种物理量的变化， 从“场”的角度来分析问题，从而得出微分方程。
C t
C t
ui
C xi
ui
C xi
ui
C xi
uiC xi
D
2C xixi
第七章 基本动力学过程——扩散
2
C r
..........(
7.19
)
从形式上看，菲克第二 定律表示，在扩散过程中某 点浓度随时间的变化率与浓 度分布曲线在该点的二阶导 数成正比
材料科学基础 23/54
第七章 基本动力学过程——扩散
第三节 扩散过程的推动力、扩散机制 与扩散系数
Driving Force、Mechanism and Coefficient of Diffusion in Diffusion
Basic Characteristic and Dynamic Equation of Diffusion in Solid
材料科学基础 7/54
第七章 基本动力学过程——扩散
一、固体中质点扩散的基本特点
流体的结构特点：质点间相互作用
比较弱，且无一定的结构——质点
的迁移可完全随机地朝三维空间的
S2
菲克第一定律要点：在扩散体系中，参与扩散的质点的 浓度c因位置而异、且可随时间而变化。即浓度c是位置坐标 x、y、z和时间t的函数，c(x,y,z,t)
材料科学基础 12/54
第七章 基本动力学过程——扩散
（1）第一定律宏观表达式：
模型：假设有一单相固溶体， 横截面积为A，浓度C不均 匀 ，在Δt时间内，沿x轴方 向通过x处截面所迁移的物 质的量Δm与x处的浓度梯度 ΔC/Δx成正比：
原子或离子的扩散是众多工程材料如金属材料、无机 非金属材料、有机高分子等材料的制备、使用中很多重要的 物理、化学以及物理化学过程得以实现的基础。因此，理解 和掌握固体中扩散的基本规律对认识材料的性质、制备和生 产具有一定性能的固体材料均有十分重大的意义
材料科学基础 4/54
第七章 基本动力学过程——扩散
材料物理化学-第七章 固体中质点的扩散
1、微观理论推导 （1）从无规则行走扩散开始(自扩散)； （2）引入空位机制； （3）推广到一般。 模型：无外场推动力，浓度差极小；质点由于热运动获得活化能，从而引起 迁移；就一个质点来说，其迁移是无序的，随机的，各方向几率相同，迁移结果 不引起宏观物质流，而且每次迁移与前次无关。 ①假设扩散原子跳到相邻位置的频率为 f； ②任何一次扩散原子跳动时从晶面 1 跃迁到晶面 2 的几率为 p； ③晶面 1 和晶面 2 上的扩散原子面密度为 n1 和 n2；原子面间距为 r； 则在时间间隔△t 内，单位面积上由晶面 1 跃迁到晶面 2 及由晶面 2 跃迁到晶面 1 上的扩散原子数分别为： N 1 2
菲克第一定律扩散方程模型
Δm AΔt Δc Δx dm Adt D c x J D c x
J：扩散通量，单位时间通过单位截面的质点数(质点数/s.cm2)； 负号表示粒子从高浓度向低浓度扩散； D：扩散系数，单位浓度梯度的扩散通量 (m2/s 或 cm2/s)，D 取决于质点本身的
式中 c1 和 c2 分别为氧气分子在球罐内壁和外壁表面的溶解浓度。 根据 Sievert 定律可以得到单位时间内氧气
dG dt 4 Dr 1 r2 K p2 r2 r1 p1
7.2 扩散的热力学理论
1、扩散系数的热力学解释 （1）动力学理论的不足 没有指出扩散推动力。 即使不存在浓度梯度，只要扩散质点受到力场的作用 就会出现定向物质流。所以用浓度梯度作为扩散的推动力显然是不确切的。
a C1 C 2
S
p1
p2
b C2 S
无机非金属材料基础PPT课件第七章 扩散
扩散研究的内容
•
对定向扩散流建立数学方程式，总结出扩
散的宏观规律，在已知边界的条件、已知扩散
系数的条件下，计算杂质浓度的分布情况，或
者反过来通过实验利用这些数学公式来计算扩
散系数。
• 搞清扩散的微观本质，即原子如何在固态 中从一个位置迁移到另一个位置，并探讨微观
运动和扩散系数之间的关系，从而比较深入地 分析影响扩散的因素。
因 Ci /CNi
dlnCi dlnNi
故有： D i Bii/ln Ni (11-22)
又因： i i 0 ( T ,P ) R la i n T i 0 R (N l T i n ln i)
则：
l nN i i R(T 1lni/lnNi) (11-23)
将（11-23）代入（11-22）得：
玻璃的分相——SiO275%,B2O320%,Na2O5%(mol%) 玻璃，500～600℃ 热处理，得到富SiO2和富硼酸 钠的两相。
晶界上杂质的偏析——氧化物陶瓷中的杂质常 常聚集在晶界处。
以上都是向浓度增大的方向进行——逆 扩散，其本质是化学位梯度。
设一多组分体系中，组分的质点沿x方向扩散所受到的力应等于
如A物质和B物质接触形成完全均匀 的固溶体。
如果A和B之间形成新的化合物，材 料通过中间层扩散要求连续的反应（反 应扩散）。
2、自扩散
在没有化学浓度梯度下，仅由于热振 动而产生的扩散。
纯物质中，虽然没有任何浓度梯度存 在，但由于原子的热振动可以使一些原 子跳离自身的位置，原来处在某局部的 原子经相当时间后会到其它地方去。直 到均匀地分布到各处。
flash
从不同的角度对扩散进行分类
（1）按浓度均匀程度分： 有浓度差的空间扩散叫互扩散； 没有浓度差的扩散叫自扩散
紊动扩散及研究紊动扩散的两种方法
(c'ui ')
Dij
c x j
(11)
欧拉法
将（11）式带入（10）式中，得到：
c t
xi
(cui )
Dij
2c xi x j
Dm
2c xi x j
Fc
(12)
式（12）就是欧拉型的紊流扩散方程。
欧拉法
在以下四个条件下，上式可以继续简化： （1） 因为紊动的尺度远远大于分子运动的尺度，
t
0 (t )RL ( )d
(7)
拉格朗日法
扩散时间很短
两种 情况
扩散时间很长
两种情况 扩散时间很短
RL ( ) 1
Y22 (t) 2v22
t
0 (t )RL ( )d
Y22 (t) v22t 2
Y22 (t) v22 t
在扩散初期， 扩散的发展 与时间t成正 比例。
(2)
拉格朗日法
t’’ t
t
d t’’ d t’
由数学知识可得：
tt
t
t'
t’ dt'dt'' 2 dt' dt'' (3)
00
0
0
拉格朗日法
所以，Y22(t) 可以写成如下：
Y22 (t)
2
t 0
dt'
t'
0 v2 (t0
t')v2 (t0
t'')dt''
(4)
RL (
)
vi
3随流扩散和紊动扩散
《环境水力学》
第三章 随流扩散和紊动扩散
§3 随流扩散方程的解
3.3 一维流动三维扩散的随流扩散方程的某些解析解 3.3.2 瞬时线源
2. 瞬时半无限长线源一维扩散
0， 初始条件： c ( x,0) c 0 ,
( x 0) ( x 0)
边界条件： c(, t ) 0, c(, t ) c0 相应的解为
1. 无限长瞬时线源二维扩散 设无限长瞬时线源与 z 轴重合
初始条件：单位长线源瞬时的投放质量 mz const
边界条件： c(, y, t ) c( x,, t ) 0 相应的解为
( x ut) 2 y 2 mz c( x, y, z, t ) exp 4Dt 4 Dt
3.2 随流扩散方程
某三维流场中
y
v
dy
w
o
z
dx
u
dz
x
Yangzhou Univ
《环境水力学》
第三章 随流扩散和紊动扩散
§2 随流扩散方程
3.2 随流扩散方程
某三维流场中
y
c q z wc D z
q x uc D
qy
dy
c x c q y vc D y
qq dx x x dx ( qq )dydz x x xx 22
3. 有限长瞬时线源一维扩散
0， ( x x1 ) 初始条件： c ( x,0) c0 , ( x x1 )
边界条件： c(, t ) 0 相应的解为
c0 c( x, t ) 2
Yangzhou Univ
x1 ut x x1 ut x ) erf ( ) erf ( 4Dt 4Dt
第七章 紊动扩散
7.3紊动扩散求解实例
例1 P.147例4.3 例2 矩形断面明渠宽度w=100m，水深h=5m，流速v=0.3m/s。 在x=0断面中心瞬时投入示踪剂，在下游450m处测得横向浓度 分布如表示，求横向紊动扩散系数。
y c 27 17 24 16 y v 21 22 18 31 15 42 12 55 9 6 3 86 0 87 -3 87 -6 74 -9 66 12 60 15 52 18 45 21 30 24 22
c (cui ) c Dm Fc t xi xi xi
2
c c c
ui ui ui
2
代入后，对各项求时均，化简整理得
c (cui ) c (cui) Dm Fc t xi xi xi xi
时均运动产生 的移流扩散 脉动引起的 紊动扩散
2 2
M ( x1 Ut ) x2 c( x1 , x2 , t ) exp[ ] 4 D11t 4 D22t 4t D11 D22
c( x1 , x2 , x3 , t ) M (4t )
3 2
x32 ( x1 Ut) x2 exp[ ] 4 D11t 4 D22t 4 D33t D11 D22 D33
例4
z o
y x U=5m/s
50m
1200m
烟囱恒定排放废气中固体颗粒含量250g/s。忽略微粒降落 速度，完全被大气流动携带。微粒接触地面后被吸收（不 考虑反射）。求下游1200m处地面上单位面积的集尘器内 每小时收集的微粒。紊动扩散系数 D D 4m2 / s
y z
时间连续点源的三维扩散，
80 86
o
450
x
求浓度分布的形心 M 1 (cyy) 120 3 0.13 0
基本动力学过程-扩散
第７章基本动力学过程－扩散物质的迁移可通过对流和扩散两种方式进行。
在气体和液体中物质的迁移一般是通过对流和扩散来实现的。
但在固体中不发生对流，扩散是唯一的物质迁移方式，其原子或分子由于热运动不断地从一个位置迁移到另一个位置。
扩散是固体材料中的一个重要现象，诸如金属铸件的凝固及均匀化退火，冷变形金属的回复和再结晶，陶瓷或粉末冶金的烧结，材料的固态相变，高温蠕变，以及各种表面处理等等，都与扩散密切相关。
要深入地了解和控制这些过程，就必须先掌握有关扩散的基本规律。
研究扩散一般有两种方法：①表象理论一根据所测量的参数描述物质传输的速率和数量等；②原子理论一扩散过程中原子是如何迁移的。
本章主要讨论固体材料中扩散的一般规律、扩散的影响因素和扩散机制等内容。
固体材料涉及金属、陶瓷和高分子化合物三类；金属中的原子结合是以金属键方式；陶瓷中的原子结合主要是以离子键结合方式为主；而高分子化合物中的原子结合方式是共价键或氢键结合，并形成长链结构，这就导致了三种类型固体中原子或分子扩散的方式不同，描述它们各自运动方式的特征也是本章的主要目的之一。
7.1表象理论7.1.1菲克第一定律当固体中存在着成分差异时，原子将从浓度高处向浓度低处扩散。
如何描述原子的迁移速率，阿道夫·菲克（Adolf Fick）对此进行了研究，并在1855年就得出：扩散中原子的通量与质量浓度梯度成正比，即该方程称为菲克第一定律或扩散第一定律。
式中，J为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x的单位面积的扩散物质质量，其单位为kg/(m2s)；D为扩散系数，其单位为m2/s；而r是扩散物质的质量浓度，其单位为kg/m3。
式中的负号表示物质的扩散方向与质量浓度梯度7.2扩散的热力学分析菲克第一定律描述了物质从高浓度向低浓度扩散的现象，扩散的结果导致浓度梯度的减小，使成份趋于均匀。
但实际上并非所有的扩散过程都是如此，物质也可能从低浓度区向高浓度区扩散，扩散的结果提高了浓度梯度。
第7章-基本动力学过程-扩散
C
C
x0 C 2 x C 1
Cx0S
p2 ......................(7.21)
CxS p1
根据稳定扩散条件，有 Ct xDCx0
解得：
C const a x
C＝ax+b
a
C1 C2
S(
p1
p2 )
bC2 S p2
H在金属膜中的分布为：
S
C (x )(p 1p 2 )x Sp 2 .........(7 .2 3 )
上坡扩散
✓ 按原子的扩散途径分： 体扩散：在晶粒内部进行的扩散 表面扩散：在表面进行的扩散 晶界扩散：沿晶界进行的扩散
短路扩散
此外，还有沿位错线的扩散，沿层错面的扩散等。
§7.2 扩散动力学方程——菲克定律
菲克认为：流体和固体质点的迁移在微观上不同， 但从宏观连续介质的角度看，遵守相同的统计规 律，即在连续介质构成的扩散体系中扩散质的浓 度C一般是空间r(x,y,z)和时间t的函数。
二、求解浓度分布C（x,t），以解决材料的组分及显
微结构控制，为此需要分别求解菲克第一定律及菲克 第二定律。
稳态扩散及其应用
（1）一维稳态扩散
例：氢通过金属膜的扩 散。设金属膜的厚度为 δ，取x轴垂直于膜面， 膜两侧保持恒压，分别 为p2、p1，且p2＞p1， 求金属膜中H的分布 C(x)、J。
边界条件：
✓ Fick第一、第二定 律均表明，扩散使得 体系均匀化，平衡化。
§7.3 菲克定律的应用
在扩散系统中，若对于任一体积元，在任一时 刻注入的物质量与流出的物质量相等，即任一点的 浓度不随时间而变化，即：
C 0 ，则称这种状态为稳态扩散。
t
紊动扩散名词解释
紊动扩散名词解释在我们生活的这个世界里，存在着各种各样的物质和能量的传递现象。
其中，紊动扩散是一个在许多领域都具有重要意义的概念。
要理解紊动扩散，首先得知道什么是扩散。
扩散，简单来说，就是物质从浓度高的地方向浓度低的地方移动，使得浓度逐渐变得均匀的过程。
想象一下，在一个房间里，你打开一瓶香水，过一会儿，整个房间都能闻到香味，这就是扩散在起作用。
然而，通常我们所说的扩散，大多是在平静、稳定的环境中发生的。
而紊动扩散，则是在流体的紊流状态下发生的扩散现象。
那什么又是紊流呢？紊流是一种非常复杂的流体流动状态。
与平稳、有规律的层流不同，紊流中的流体速度和压力等参数会在时间和空间上发生不规则的、随机的变化。
比如说，湍急的河流、狂风中的气流，都属于紊流。
在紊流中，由于流体的运动是杂乱无章的，会形成许多大大小小的漩涡和涡流。
这些漩涡和涡流会不断地产生、消失和相互作用，从而大大增强了物质的混合和扩散能力。
举个例子，当河流中的水流是紊流状态时，水中的污染物会随着漩涡和涡流的运动，迅速地在河流中扩散开来，而不是像在平静的水流中那样缓慢地扩散。
紊动扩散在自然界和工程领域中都有着广泛的应用和重要的影响。
在自然界中，海洋中的热量传递、大气中的污染物扩散等都与紊动扩散密切相关。
海洋中的水流通常处于紊流状态，热量通过这种紊动扩散的方式在海洋中传递，影响着全球的气候和生态系统。
大气中的污染物，如汽车尾气、工厂排放的废气等，也会在风的紊动作用下迅速扩散，从而对大范围的空气质量产生影响。
在工程领域，紊动扩散同样具有重要的意义。
比如在污水处理中，通过设计合适的水流状态，利用紊动扩散来加速污水中污染物的混合和分解，提高处理效率。
在化工生产中，反应物料的混合和传递过程也常常涉及到紊动扩散，对产品的质量和产量有着关键的影响。
为了研究紊动扩散，科学家们建立了一系列的理论和模型。
其中，比较常用的有菲克定律的扩展形式、湍流扩散系数等概念。
菲克定律原本是用于描述简单扩散过程的，但在紊动扩散中，需要对其进行修正和扩展，以考虑紊流的复杂影响。
1、环境水力学-迁移扩散理论-分子扩散
∂C2 ∂C = C 1 ∂y ∂y 2 2 ∂ C2 ∂ C = C 1 2 2 ∂ y ∂ y
∂C2 ∂C1 ∂ 2C1 ∂ 2 C2 C1 + C2 = Dx C2 + Dy C1 2 ∂t ∂t ∂x ∂y 2 ∂C2 ∂C1 ∂ 2 C2 ∂ 2C1 0 C1 − Dy + C2 − Dx = 2 2 ∂y ∂x ∂t ∂t
其中
（2-44）
M =∫
∞
−∞
∫ ∫
−∞
∞
∞
−∞
C ( x, y, z , t )dxdydz
瞬时分布源的扩散
(1) 一维起始无限分布源的扩散
在一条长管中，
①左端x≤0，充满了污染液体，污染浓度为C0， ②管子的右端x＞0，装满清水。 ③在t=0时，突然启开隔离污染液体和清水的闸板。 ④扩散只在x方向的一维展开。
（2）瞬时平面源的二、三维扩散
若有一瞬时点源投放于一无限宽阔的平面上，质量为M，将 坐标原点取在源上，物质通过原点的二维空间（xoy平面） 扩散，其浓度在xoy平面上的分布应当符合二维扩散方程：
∂ 2C ∂C ∂ 2C = DX 2 + Dy 2 ∂t ∂x ∂y
卡斯若及雅格(Carslaw,Taeger) 曾经做出理论推导，认 为扩散作用在各个方向是各自独立，互不干扰的。数理统 计理论指出，独立随机变量的联合分布符合“机率乘法规 则”。所以浓度的二维分布： C（x,y,t）= C1(x,t) ·C2(y,t) （2-41）
由费克第一定律： Fx = − Dx 于是上式可改写为：
∂C ∂x
Fy = − Dy
∂C ∂y
∂C Fz = − Dz ∂z
浅析污染河流紊动扩散系数
浅析天然河流紊动扩散系数摘要：天然河流中污染物质的扩散是实际工作中常常遇到的问题。
本文对天然河流中的扩散作用进行了介绍，并着重对紊动扩散系数进行分析，通过分析与计算紊动扩散系数及水流动量传递系数的大小可以看出：紊动扩散系数是一个重要而不易确定的参数，它常常带有经验系数的性质，要依靠室内试验或现场观测加以确定，因此还需我们进一步研究。
关键词：天然河流紊动扩散系数1前言目前大量的污染物质排入江河湖海等天然水体，造成河流污染事件屡有发生，对人们的生产生活产生了极大的危害。
因此研究污染物在水体中的扩散现象及机理，并采取响应措施来减小危害是非常有意义的事。
污水流入河水中后，与河水混合，其过程一般分为三个阶段。
初始稀释段：射流的方式和周围水体掺混及扩散，直到垂向混合均匀，一般是三维问题；横向混合阶段：当深度上达到浓度分布均匀后，横向上的混合过程在持续，经过一定距离后污染物在整个横断面上达到浓度分布均匀，可视为二维扩散问题；断面充分混合后阶段：在横向混合阶段后，污染物浓度在横断面上近似均匀，沿纵向的随流分散占主导地位，可视为一维纵向离散问题。
根据近代紊流结构理论，可以认为天然河流中除了小尺度紊动扩散作用外，还有大尺度紊动扩散作用。
大尺度紊动涡体很大，紊动距离长，频率很低；而小尺度紊动涡体则相反，涡体小，紊动距离小，频率高。
因此，可以把天然河流中的紊动扩散分为基本的两大类：第一类是由小涡体引起的，类似分子扩散的小尺度或基本尺度紊动扩散；另一类是大涡体引起的，是与分子扩散有所不同的大尺度紊动扩散。
对紊动扩散进行分析研究有助于我们了解其中的原理，对生产实际有较大帮助。
2 天然河流中的扩散作用2.1 扩散扩散是指因流体分子的布朗运动或流体微团的紊动使浓度平均化的物质分散现象。
因分子运动引起的扩散称为分子扩散，因流体微团的紊动引起的扩散称为紊动扩散。
静止流体及层流中无紊动扩散，只有分子扩散。
紊动中两种扩散都有，但常因紊动扩散比分子扩散大105~106倍，故忽略分子扩散，只考虑紊动扩散。
2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散
x
ut2
4Dt
y2
z2
（2-92）
（2）时间连续点源的移流扩散
恒定点源=瞬时点源叠加
时间连续源仍然可以看作是无限多瞬时点源md 的迭 加，m为单位时间投放物质的强度，同样采用动坐标系， 引用纯扩散的时间连续源的积分式的浓度分布函数式：
C
M
4D 3 / 2
t 0
t
1
ห้องสมุดไป่ตู้
3/
2
exp
r2
设问题满足一维随流扩散方程
C C 2C t u x D x2
令 x ut,C C,t，其中u为常数。
1, u
x t
于是
C C C 2C 2C x x , x2 2
C C C u C C
t t t
t
（2-83） （2-84）
C C C , x x
)
d
（2-96）
可以证明，当 时
0
exp
(
2
12 2
)d
e21
2
（2-97）
于是得时间连续点源三维移流扩散的浓度公式为：
C(x, y, z) m exp[ u (r x)]
4 Dr
2D
（2-98）
在源下游较远的区域，（2-89）式中r值可以下列近似 关系代替：
r
x2
y2
z2
(1
y2 x2 2x2 )x
C t
ux
C x
uy
C y
uz
C z
2C D( x2
2C y2
2C z2 )
（2-81）
对大多数实际问题，水流具有明显的主流方向，其uy、
uz可以忽略不计，并且设沿主流x方向的流速 ux u ，u
【国家自然科学基金】_紊动扩散_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
科研热词 非结构网格 陡立单裂隙模型 长江河口 通量分解 裂隙基质系统 菲克定律 脉冲射流 紊动扩散 神经网络 盐分输运 理查德森数 溶质运移 液气射流泵 液气两相流动 海水谈化 浓度分布 杭州湾 有限掺混长度 普朗特掺长 数值模拟 挟沙水流 悬浮泥沙浓度 悬沙浓度垂向分布 悬沙浓度 悬沙垂向扩散系数 强潮河口 天然河流 垂向分布 半隐式格式 动量传递 二维均匀流 semi-lagrangian法
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
科研热词 数值模拟 风化 非结构网格 辐射流 能量耗散率 紊动扩散 淹没刚性植物 涡量场 流速梯度 油粒子 污染物 水污染 有限体积法 拟熵 悬沙浓度分布 三维溢油模型
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2014年 科研热词 近似均匀紊流 解吸作用 磷释放 泥沙 数值模拟 非结构化网格 紊流 离散系数 波生流 波浪 污染物 水力特性 平流式沉淀池 孔隙水 大范围 推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4
2011年 科研热词 综述 污染物输移 水流运动特性 分汊河道 推荐指数 1 1 1 1
紊流基础
度长得多，但是又要比平均流动的非恒定时间尺度（波浪或者潮汐波动）短很多。
时均速度:
T
1
u
u t dt
T
N
1 u
N
(2)
连续记录
离散等间距点
紊流脉动: (3)
u t u t u 连续记录
u
u u 离散点
紊动强度:
u
ut
N
离散等间距点
相对紊动强度:
u /u
5
下标“rms”代表“均方根”。你应该看出（4）式给出的 urms 定义就是“随机”速度脉动集 合 u ′的标准差。类似的定义应用到横向和垂向速度 v（t）和 w（t）。大些的 urms 表示一 个更高程度的紊动。在下面的图中，两个记录具有相同的时均速度，但是左边的记录具有更 高些的紊动程度。
同的特征，在那里紊动控制着动量的垂直输运。非常靠近边界的区域称为层流次层，因为在
这个区域内，紊动被粘性抑制着。在这个区域中，速度剖面通过式（7）中给出的应力－应
变关系定义。我们将（6）式中给出的定义代入到（7）式中，并且使用近似∂u/ ∂y 求解速度剖面
u/y 来
层流次层
y δ 5ν/u :
u y u y/ν
什么这样，回忆（10）式中的层流次层的厚度δ ＝5ν/u 。所以尼古拉兹的结论简单地说就
是，当表面不平整度要低于层流次层厚度时（ε 5ν/u ），那么在层流次层以上的流动是感 觉不到边界表面的不平整程度的。我们称这个体系为光滑紊流。当粗糙度变得比层流次层高，
具体就是 ε 70 至 100 ν/u ＝14 到 20δ ，那么在层流次层以上的流动就能感觉到边界表 面的粗糙程度。在这些条件下 y0 = ε/30，也就是特征粗糙度是真实粗糙度尺度的函数，并且 通过 y0，对数剖面受边界表面粗糙度的影响而改变。我们称这个体系为粗糙紊流。
(完整版)固体中的扩散
第七章固体中的扩散内容提要扩散是物质内质点运动的基本方式，当温度高于绝对零度时，任何物系内的质点都在作热运动.当物质内有梯度（化学位、浓度、应力梯度等）存在时，由于热运动而导致质点定向迁移即所谓的扩散。
因此，扩散是一种传质过程,宏观上表现出物质的定向迁移。
在气体和液体中，物质的传递方式除扩散外还可以通过对流等方式进行;在固体中，扩散往往是物质传递的唯一方式。
扩散的本质是质点的无规则运动.晶体中缺陷的产生与复合就是一种宏观上无质点定向迁移的无序扩散。
晶体结构的主要特征是其原子或离子的规则排列。
然而实际晶体中原子或离子的排列总是或多或少地偏离了严格的周期性。
在热起伏的过程中，晶体的某些原子或离子由于振动剧烈而脱离格点进入晶格中的间隙位置或晶体表面,同时在晶体内部留下空位。
显然，这些处于间隙位置上的原子或原格点上留下来的空位并不会永久固定下来，它们将可以从热涨落的过程中重新获取能量，在晶体结构中不断地改变位置而出现由一处向另一处的无规则迁移运动.在日常生活和生产过程中遇到的大气污染、液体渗漏、氧气罐泄漏等现象，则是有梯度存在情况下，气体在气体介质、液体在固体介质中以及气体在固体介质中的定向迁移即扩散过程.由此可见，扩散现象是普遍存在的。
晶体中原子或离子的扩散是固态传质和反应的基础。
无机材料制备和使用中很多重要的物理化学过程,如半导体的掺杂、固溶体的形成、金属材料的涂搪或与陶瓷和玻璃材料的封接、耐火材料的侵蚀等都与扩散密切相关,受到扩散过程的控制.通过扩散的研究可以对这些过程进行定量或半定量的计算以及理论分析。
无机材料的高温动力学过程——相变、固相反应、烧结等进行的速度与进程亦取决于扩散进行的快慢。
并且，无机材料的很多性质，如导电性、导热性等亦直接取决于微观带电粒子或载流子在外场——电场或温度场作用下的迁移行为。
因此，研究扩散现象及扩散动力学规律，不仅可以从理论上了解和分析固体的结构、原子的结合状态以及固态相变的机理；而且可以对无机材料制备、加工及应用中的许多动力学过程进行有效控制，具有重要的理论及实际意义.本章主要介绍固态扩散的宏观规律及其动力学、扩散的微观机构及扩散系数，通过宏观－微观－宏观的渐进循环，认识扩散现象及本质,总结出影响扩散的微观和宏观因素，最终达到对基本动力学过程——扩散的控制与有效利用.7。
第7章扩散
例2：渗碳用钢及渗碳温度同上，求渗碳5h后距表面 0.5mm处的c含量。 解：已知c s，x，c0，D，t代入式得 （0.9% - c x ）/0.7%=erf（0.521）=0.538 c x =0.52% 与例1比较可以看出，渗碳时间由2.38h增加到5h，含 0.2%C的碳钢表面0.5mm处的C含量仅由0.4%增加到 0.52%。
讨论：
在以上各种扩散中， 1.易位扩散所需的活化能最大。 2.由于处于晶格位置的粒子势能最低，在间隙 位置和空位处势能较高(见图)：故空位扩散所 需活化能最小．因而空位扩散是最常见的扩 散机理，其次是间隙扩散和准间隙扩散。
2.2 扩散动力学方程——菲克定律 一、基本概念
1.扩散通量 扩散通量——单位时间内通过单位横 截面的粒子数。用J表示，为矢量（因为 扩散流具有方向性） 量纲：粒子数/（时间.长度2） 单位：粒子数/（s.m2）
讨论：
对于菲克第一定律，有以下三点值得注意： （1）式（1）是唯象的关系式，其中并不涉及 扩散系统内部原子运动的微观过程。 （2）扩散系数反映了扩散系统的特性，并不 仅仅取决于某一种组元的特性。 （3）式（1）不仅适用于扩散系统的任何位置， 而且适用于扩散过程的任一时刻。
三、 菲克第二定律
当扩散处于非稳态，即各点的浓度随时间而 改变时，利用式（1）不容易求出。但通常的 扩散过程大都是非稳态扩散，为便于求出，还 要从物质的平衡关系着手，建立第二个微分方 程式。
2
讨论续
抛物线扩散规律 浓度C(x,t)与β有一一对应的关系，由于 x /(2 Dt ),因此
C(x,t)与 x / t 之间也存在一一对应的关系，设K(C)是决定
于浓度C的常数，必有 X2=K(C)t 此式称为抛物线扩散规律，其应用范围为不发生相变的扩散。
紊流射流与紊流扩散
紊流射流与紊流扩散
紊流射流是指流体自孔口、管嘴或条缝向外界流 体空间喷射所形成的流动，流动状态通常为紊流。
自由射流：射流射出后完全不受外界固体边壁的限制 受限射流：射流射出后多少受到外界固体边壁的限制 淹没射流：射流周围物质的物理性质与射流本身相同 非淹没射流：射流周围物质的物理性质与射流本身不同
第四节
紊流扩散的基本方程
一、分子扩散基本方程
费克（Ficks）第一定律：单位时间通过单位面积的溶解物质 量（单位通量）与溶质浓度在该面法线方向的梯度成正比
c F Km n
式中 F——溶质在法线方向的单位通量；
c——为溶质的浓度；
Km——溶质的扩散系数；
“-”号表示溶质扩散方向与浓度增值方向相反。
c Fx F y Fz 0 t x y z
扩散通量等于移流输送与扩散输送之和 c c F u c Fx u x c K m y y K m y x
c Fz u z c K m z
紊流扩散系数的确定（实验手段）
再根据一定的初始条件和边界条件，得出浓度随 时间及空间坐标的变化规律。 简单问题可以得到解析解，复杂问题只能求得 数值近似解。
射流各截面上速度分布具有相似性。
半经验公式
y u 1 um R
1 .5 2 来自 3. 动力特征 射流各截面动量守恒 （出口横截面上动量等干任意横截面上动量）
2 2 r0 u0 R 0
2u ydy
2
第二节 圆断面射流的运动分析 一、轴心速度um（主体段）
u x c
u z c y c u
是紊动扩散引起的单位通量
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横向扩散系数
144.8 D 0.048m 2 / s 2t 2 1500
2
例3 上例中，在x=0断面中心以等强度时间连续源投放，求 在下游多远处岸边浓度为中心浓度的 40%？ 二维连续源 中心浓度
y 0, cm M U 4Dy x / U
M y 2U c( x, y) exp( ) 4 Dy x U 4Dy x / U
紊动扩散项的模化：
cui 表示通过 xi 方向的单位面积上单位时间内的紊动扩散量。
比拟分子扩散的Fick定律
c cui Dij x j
扩散张量
则紊流扩散方程为
c ( cui ) c c Dij Dm Fc t xi xi x j xi xi
0 L
t
v2 为质点在 x2
坐标方向的流速。
RL ( ) 为 t 时刻和 (t ) 时刻的两个瞬时流速的相关系数。
积分求解： （1）扩散时间很短：
RL ( ) 1,
2 Y22 (t ) v2 t
扩散初期，扩散距离与时间 t 成比例。 （2）扩散时间很长：
令t t 时， RL ( ) 0 则t t 时， (t ) RL ( )d t RL ( )d tTL
计算浓度 每小时收集微粒
c 0.00216 g / m3 G c UA T 0.00216 5 1 3600 38.9 g
扩散理论
• 分子扩散、紊动扩散在规律上相似， 尺度上差异大。 • 扩散的根源在于物质（分子、质点） 的运动——L方法； • 扩散的结果造成浓度场中物质的分 布——E方法。
80 86
o
450
x
求浓度分布的形心 M 1 (cyy) 120 3 0.13 0
M0
(cy)
958 3
实测形心基本在河中心
求浓度分布的方差
2 ( cy y ) M 2 2 2 2 144.8 M0 (cy)
t x / v 450 / 0.3 1500
（4）结论：在 t TL 的扩散后期，恒定均匀紊流的流速场 是接近正态分布的，质点位移亦是正态分布的。质点紊动运动 已成为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。扩散 质的浓度场满足分子扩散形式的方程： 2
c c Dt t x 2
不同的是以紊动扩散系数 Dt 代替分子扩散系数 Dm
2 2
（1）扩散张量 Dij 紊动扩散系数一般是随空间变化的， 实际上存在三个方向的扩散系数，记作 D11 D22 D33 Dx Dy Dz 在各向同性紊流中： D11 D22 D33 Dt （2）关于紊动扩散系数的雷诺比拟（Reynolds analogy)： 动量的扩散和热量、浓度等扩散之间存在比拟关系， 其紊动扩散系数相等。
0 0 t t
2 Y22 (t ) v2 2tTL
扩散时间很长时，扩散距离与
t 成比例。
2 分析 （1）拉格朗日积分时间比尺
TL RL ( )d
0
t
是质点摆脱历史影响所必需经历时间的度量。 与这一特征时间相比， 2 t TL , Y22 (t ) v2 t t
例4
z o
y x U=5m/s
50m
1200m
烟囱恒定排放废气中固体颗粒含量250g/s。忽略微粒降落 速度，完全被大气流动携带。微粒接触地面后被吸收（不 考虑反射）。求下游1200m处地面上单位面积的集尘器内 每小时收集的微粒。紊动扩散系数 D D 4m2 / s
y z
时间连续点源的三维扩散，
u1 U
u 2 u3 0
c c 2 c U Dii t x1 xi xi x1 Ut x1 c 2 c Dii t xixi
可应用静止流体中的分子扩散解。
（1）瞬时源在均匀紊流中的扩散解
c( x1 , t )
M ( x1 Ut) 2 exp[ ] 4 D11t 4D11t
2M 502U 岸边浓度（考虑同岸反射） y 50, cb U 4D x / U exp( 4D x ) y y
今岸边为中心的40%，
cb 2500 U 2 exp( ) 0.4 cm 4 Dy x 2500 U 1.609 4 Dy x x 2500 0.3 2428 m 4 0.048 1.609
c (cui ) c Dm Fc t xi xi xi
2
c c c
ui ui ui
2
代入后，对各项求时均，化简整理得
c (cui ) c (cui) Dm Fc t xi xi xi xi
时均运动产生 的移流扩散 脉动引起的 紊动扩散
（5）分子扩散系数 Dm 是由物质特性所决定的。 紊动扩散系数 Dt 则和流场特性密切相关。
（6）以上分析是以一维紊动扩散为例，所得结论可推广至二 维、三维问题。 3 举例 （P.119例4-1) 根据实测资料对紊动扩散系数、长度比尺和时间比尺计算。
7.2 紊动扩散的Euler方法
研究流场中扩散质的浓度分布，即求解浓度场。 1 紊流扩散方程 根据层流运动的移流扩散方程 考虑紊流脉动
Y22 (t ) 2 2 2 2 Dt v2 TL v2 v2 RL ( )d v2 L 0 2t
（3）拉格朗日扩散长度比尺
L v
2 2
0
RL ( )d
是流速尺度与时间尺度的乘积，是旋涡尺度的量度。 说明当扩散时间较长时，Dt 与 L 成比例。 所以可认为紊动扩散系数主要取决于大尺度的旋涡运动。
7.3紊动扩散求解实例
例1 P.147例4.3 例2 矩形断面明渠宽度w=100m，水深h=5m，流速v=0.3m/s。 在x=0断面中心瞬时投入示踪剂，在下游450m处测得横向浓度 分布如表示，求横向紊动扩散系数。
y c 27 17 24 16 y v 21 22 18 31 15 42 12 55 9 6 3 86 0 87 -3 87 -6 74 -9 66 12 60 15 52 18 45 21 30 24 22
第七章
紊动扩散
紊流运动中脉动引起的物质传递，在数量上远大于分 子扩散，故一般在紊流情况下可忽略分子扩散的作用。
7.1紊动扩散的Lagrange方法
1 单个质点的紊动扩散——Taylor理论 分析质点的随机紊动，得到一维扩散中质点位移的均方值
Y (t ) 2v
2 2
2 2
(t )R ( )d
t TL ,
2 Y22 (t ) v2 2tTL t
（2）紊动扩散与分子扩散的比较： 随机的分子扩散服从正态分布， 2 Dmt , x 2 2 Dmt t
紊流中 t TL 时，扩散的均方差 Y 2 (t ) t 2
所以，可定义一个与分子扩散系数 Dm 类似的紊动扩散系数：
M y 2U z 2U c ( x, y , z ) exp( ) 4 xDy 4 xDz 4x D y Dz M U ( y2 z2 ) exp[ ] 4Dx 4 xD
代入：
x 1200m,
2
y 0, z 50m
D 4m / s, M 250g / s, U 5m / s
2
2
（2）时间连续源在均匀紊流中的扩散解
x Ut c( x, t ) c0 [1 erf ( )] 4 Dx t M y 2U c ( x, y ) exp( ) 4 Dy x U 4D y x / U M y 2U z 2U c ( x, y , z ) exp( ) 4 xDy 4 xDz 4x D y Dz
i j, Dij 0
（3）紊流扩散方程的简化： 紊动尺度远大于分子运动尺度，可忽略分子扩散项； 一般流场中无扩散质的发生与衰减； 不可压缩流体； 各向同性紊流。
c c c ui Dt t xi xi xi
2
(4.55)
2 均匀紊流中的扩散求解 均匀紊流： 方程 建立动坐标 方程变为
2 2
M ( x1 Ut ) x2 c( x1 , x2 , t ) exp[ ] 4 D11t 4 D22t 4t D11 D22
c( x1 , x2 , x3 , t ) M (4t )
3 2
x32 ( x1 Ut) x2 exp[ ] 4 D11t 4 D22t 4 D33t D11 D22 D33