_曲线的曲率解析
曲线的曲率与弯曲性质的解析几何描述
曲线的曲率与弯曲性质的解析几何描述曲线是解析几何中的重要概念，它在数学以及其他领域中都有广泛的应用。
曲线的曲率和弯曲性质是描述曲线形状的重要指标，它们可以帮助我们理解曲线的特征和性质。
在本文中，我们将从解析几何的角度出发，对曲线的曲率和弯曲性质进行详细的描述和解释。
一、曲线的曲率曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的量度，它反映了曲线在某一点的弯曲程度。
要计算曲线的曲率，我们首先需要了解曲线的切线和法线。
1. 切线：曲线上的任意一点，都可以通过该点的切线来描述曲线在该点的方向。
切线的斜率等于曲线在该点的导数，即切线的斜率等于曲线的导数。
切线的方向与曲线在该点的切线方向相同。
2. 法线：曲线上的任意一点，都可以通过该点的法线来描述曲线在该点的垂直方向。
法线与切线垂直，即切线和法线的斜率的乘积等于-1。
曲线的曲率可以通过计算曲线在某一点的切线与曲线的夹角来得到。
曲线的曲率越大，说明曲线在该点的弯曲程度越大；曲率越小，则说明曲线在该点的弯曲程度越小。
二、曲线的弯曲性质曲线的弯曲性质描述了曲线的整体形状和特征，包括曲线的凸性和凹性。
1. 凸曲线：如果曲线上的任意两点的连线都位于曲线的上方或者曲线上，那么这条曲线被称为凸曲线。
凸曲线的弯曲方向向外，如圆的外弯部分。
2. 凹曲线：如果曲线上的任意两点的连线都位于曲线的下方或者曲线上，那么这条曲线被称为凹曲线。
凹曲线的弯曲方向向内，如圆的内弯部分。
曲线的弯曲性质可以通过曲线的曲率来判断。
如果曲线的曲率在某一点大于零，则该点属于凸曲线；如果曲率小于零，则该点属于凹曲线。
三、曲线的解析几何描述在解析几何中，我们可以使用数学模型来描述曲线的曲率和弯曲性质。
常见的数学模型包括参数方程和隐式方程。
1. 参数方程：曲线的参数方程是用参数表示曲线上的点的坐标。
例如，对于平面上的曲线，可以使用参数方程x=f(t)和y=g(t)来描述曲线上的点的坐标，其中t为参数。
通过对参数方程求导，我们可以计算曲线在某一点的切线和曲率。
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】空间曲线的曲率和挠率是微分几何中重要的概念，它们描述了空间曲线的弯曲程度和扭曲程度。
在工程和科学研究中，空间曲线的曲率和挠率广泛应用于物理学、天文学、地质学、材料科学等领域。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
假设曲线的参数方程为$ \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其切线向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$，单位切向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{T}(t)}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|}$，曲率为$$ \kappa(t)=\frac{\left\| \mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|} $$曲率还有一种计算方法是参考弧长$s$，即$ds=\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|dt$，曲率公式可以表示为：其中，$ds/dt$表示弧长在$t$处的导数。
空间曲线的挠率描述了曲线沿着切线方向的扭曲程度。
假设曲线的单位切向量为$\mathbf{T}(t)$，单位法向量为$\mathbf{N}(t)$，单位切向量和单位法向量的导数分别为$\mathbf{T}'(t)$和$\mathbf{N}'(t)$。
则曲线的挠率为其中，$[\cdot,\cdot,\cdot]$表示向量的混合积。
挠率的单位也是长度的倒数，通常用$\operatorname{m}^{-1}$表示。
对于平面曲线，挠率为0，因为它们没有扭曲的方向；而对于球面曲线，它们在任何一点处的挠率都是常数$\dfrac{1}{R}$，其中$R$为球面曲线半径。
三、曲率与挠率的关系曲率和挠率之间存在一种联系，即弯曲和扭曲方向垂直。
曲线的弧长与曲率的计算与性质
曲线的弧长与曲率的计算与性质曲线是我们经常在数学、物理等领域中遇到的概念。
当我们研究曲线的性质时，曲线的弧长和曲率是两个重要的参数。
本文将介绍曲线的弧长和曲率的计算方法，并探讨它们的性质。
一、曲线的弧长计算方法在几何学中，曲线的弧长是指曲线上两点之间的距离。
对于一条平面曲线来说，我们可以通过积分来计算其弧长。
具体计算方法如下：假设有一条曲线C，其方程为y = f(x)，其中a ≤ x ≤ b。
我们可以将曲线分割成无穷多个小线段，然后对每个小线段求长度，并将这些长度累加起来，即可得到曲线C的弧长L。
设曲线上某一点P(x, y)，其切线与x轴的夹角为θ，则小线段的长度可以通过勾股定理计算得到：ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²)dx将dx用x表示，即可得到弧长的积分表达式：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx (a ≤ x ≤ b)通过求解上述积分，我们可以计算曲线的弧长。
二、曲线的曲率计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的一个参数，它与曲线上某一点处的切线有关。
曲线的曲率可以通过以下公式计算：K = |dθ/ds| = |(d²y/dx²)/(1 + (dy/dx)²)^(3/2)|其中，dθ表示角度的变化量，ds表示弧长的微元。
我们可以根据上述公式，对曲线进行求导，然后带入相应的数值，即可得到曲线上某点的曲率K。
三、曲线弧长与曲率的性质1. 弧长与曲线的形状有关：对于相同起点和终点的两条曲线，其弧长不同，取决于曲线的形状。
比如，一条圆形的曲线与一条直线的曲线相比，弧长要更长。
2. 曲率描述曲线的弯曲程度：曲率大的地方，曲线的弯曲程度越大；曲率小的地方，曲线的弯曲程度越小。
通过计算曲率，我们可以描述曲线的局部形态。
3. 曲率与切线垂直：曲线上任意一点处的切线与曲线的法线（垂直于切线的直线）平行。
曲线的曲率
于是 ds 1 y2 dx．这就是弧微分公式．
(
(
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线 C 上从点 M 到点 M 的弧 为 D s ，切线的转角为 D a ．
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设x，x+Dx 为(a，b)内两个邻近的点， 它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
Ds MM D x Dx
2
2
2 2 MM | MM | MM ( Dx ) ( Dy ) 2 2 | M M | ( D x ) | M M |
2 MM Dy 1 | MM | Dx
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
空间曲线的弧长和曲率
空间曲线的弧长和曲率在数学中，空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
而了解空间曲线的弧长和曲率是研究曲线性质的重要一环。
一、空间曲线的弧长空间曲线的弧长是指曲线的长度。
在三维空间中，空间曲线可以用参数方程表示。
假设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中t为参数。
我们可以利用微积分的知识来计算空间曲线的弧长。
将曲线分割成无穷小的线段，每个线段的长度可以表示为√(dx^2 + dy^2 + dz^2)。
然后将每个线段的长度加起来，再通过极限运算求得曲线的弧长。
具体来说，在参数范围[a, b]内，曲线的弧长可以表示为如下积分形式：L = ∫(a到b) √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2 dt二、空间曲线的曲率曲率描述了曲线的弯曲程度。
在三维空间中，曲线的曲率可以通过计算曲线上某点附近的切线来求得。
曲线在某一点的曲率是该点处曲线切线的弯曲程度。
对于空间曲线，曲率的计算公式为：k = |dT/ds|其中，T是曲线的切向量，s是曲线的弧长。
切向量T可以通过参数方程求导得到：T = (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k因此，曲线的曲率可以表示为：k = |d/ds (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k|根据向量的微积分公式，我们可以进一步化简曲率的计算公式：k = |(dy/ds)(d^2z/ds^2) - (dz/ds)(d^2y/ds^2)| / ((dx/ds)^2 + (dy/ds)^2 + (dz/ds)^2)^(3/2)三、应用举例以螺旋线为例，介绍空间曲线的弧长和曲率的计算方法。
螺旋线的参数方程为：x = a cos(t)y = a sin(t)z = bt其中a和b为常数。
首先计算曲线的弧长。
根据上述的弧长计算公式，我们有：L = ∫(0到2π) √(a^2 sin^2(t) + a^2 cos^2(t) + b^2) dt= ∫(0到2π) √(a^2 + b^2) dt= 2π√(a^2 + b^2)接下来计算曲线的曲率。
高考数学知识点速记曲线的弧长与曲率
高考数学知识点速记曲线的弧长与曲率高考数学知识点速记：曲线的弧长与曲率在高考数学中，曲线的弧长与曲率是一个重要但又颇具挑战性的知识点。
理解和掌握这部分内容，对于解决相关的数学问题以及深入理解数学的本质都有着重要的意义。
首先，让我们来了解一下什么是曲线的弧长。
简单来说，曲线的弧长就是曲线在某一段上的长度。
对于一条光滑曲线，如果我们能够用一个函数来表示它，比如 y ＝ f(x)，且函数在区间 a, b 上连续可导，那么这段曲线的弧长可以通过一个积分来计算。
具体的计算公式是：L ＝∫a,b √（1 ＋ f'（x)²) dx 。
这里的 f'（x) 是函数 f(x) 的导数。
这个公式的原理其实是基于对曲线进行微小线段的近似，然后通过积分将这些微小线段的长度累加起来。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个简单的例子来看看。
假设曲线是 y ＝ x²，在区间 0, 1 上，那么 f(x) ＝ x²，f'（x) ＝ 2x 。
将其代入弧长公式，得到弧长 L ＝∫0,1 √（1 ＋ 4x²) dx 。
这个积分的计算可能会稍微复杂一些，但通过一些数学技巧，比如换元法，我们可以求出具体的数值。
接下来，再说说曲线的曲率。
曲率反映的是曲线弯曲程度的大小。
想象一下，一条直线的曲率是 0，因为它根本不弯曲；而一个圆的曲率是恒定的，且与圆的半径有关。
对于给定的曲线 y ＝ f(x) ，其曲率的计算公式是：K ＝｜f'＇（x)｜／（1 ＋ f'（x)²)＾（3/2) 。
这里的 f'＇（x) 是函数 f(x) 的二阶导数。
为了更直观地理解曲率，我们可以拿常见的曲线来举例。
比如抛物线y ＝x²，它在不同点的曲率是不一样的。
在顶点处，曲率相对较小，而在远离顶点的地方，曲率逐渐增大。
那么，知道曲线的弧长和曲率有什么用呢？在实际问题中，比如在工程设计、物理运动的研究等方面，都可能会涉及到对曲线长度和弯曲程度的计算和分析。
曲线的弧长与曲率
曲线的弧长与曲率曲线是数学中常见的概念，而研究曲线的性质也是数学分析的重要内容之一。
在曲线的研究中，弧长和曲率被广泛应用于描述和分析曲线的特征。
本文将重点介绍曲线的弧长与曲率的概念、计算方法以及它们之间的关系。
一、曲线的弧长曲线的弧长是指曲线上两点之间的长度。
在平面几何中，我们经常使用直线段的长度来描述距离，但是对于曲线，由于其不是直线，所以无法直接使用直线段的长度来描述曲线间的距离。
曲线的弧长是通过将曲线分成无限多个微小的线段，然后对每个微小线段的长度进行累加得到。
计算曲线的弧长可以使用微积分中的积分方法。
设曲线函数为y=f(x)，对于曲线上的一段很小的微小线段[Pn, Pn+1]，则该微小线段的长度可以表示为：ΔL = √(Δx^2 + Δy^2)其中Δx和Δy分别为微小线段[Pn, Pn+1]在x轴和y轴上的长度变化。
通过将上述微小线段长度进行累加求和，可以得到曲线在给定区间[a, b]上的弧长L，表示为积分形式：L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)^2)dx其中dy/dx表示曲线的导数。
二、曲线的曲率曲线的曲率是描述曲线的弯曲程度的量。
对于曲线上的任意一点P，曲率是一个与该点有关的值，可以表示为曲线在该点处的切线与曲线的夹角的度量。
曲率的大小与曲线的曲率半径有关，曲率半径是曲线在该点处的切线与曲线夹角的倒数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程来计算，参数方程表示曲线上的点与参数之间的关系。
设曲线的参数方程为[x(t), y(t)]，则曲线的曲率可以表示为：K = |(dx/dt)(d^2y/dt^2) - (d^2x/dt^2)(dy/dt)| / [(dx/dt)^2 +(dy/dt)^2]^(3/2)其中dx/dt和dy/dt分别表示曲线参数关于t的导数，d^2x/dt^2和d^2y/dt^2分别表示曲线参数关于t的二阶导数。
三、弧长与曲率的关系曲线的弧长和曲率之间存在一定的关系。
曲线的曲率PPT课件
s( x) lim s lim x0 x0
(x)2 (y)2 ( x )2
x lim
1 ( y )2
1 ( y)2,
x0
x
.
, lim M M 1 x0 M M
4
ds 1 ( y)2dx
或
ds (dx)2 (dy)2 .
几何意义:
y
ds MT
dx cos ;
ds
O
dy sin .
.
12
由此可得曲率中心公式
y
D( , )
x y(1 y2) ,
y
y 1 y2 .
CR
T
M(x, y)
y
O
x
当点 M (x, y) 沿曲线 C : y f ( x) 移动时, 相应
的曲率中心的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线, 曲线 C
称为曲线G 的渐伸线 .
.
13
二、典型例题
A
M
M0
有向弧段M0M的值 s .
O a x0 x b x
.
2
弧的定义
y y f (x) B
有向弧段M0M的值 s (简称弧 s)
A
M
M0
规定为：
s 的大小等于弧M0M的长度, O a x0 x b x
当弧M0M的方向与曲线的正方向一致时, s > 0, 相反时, s < 0.
显然, s 是个代数量, 且是x的单调增函数 s(x).
3
2a
3.
(1 y2 )2 [1 (2ax b)2]2
显然,
当x b 时, 2a
K最大.
又
Q
(
b 2a
,
空间曲线的曲率和挠率
空间曲线的曲率和挠率在复杂的几何图形中，空间曲线是一种重要的概念。
它在从二维几何图形到三维几何图形的转换中发挥重要作用。
空间曲线不仅包含折线和曲线，还包括曲面和曲线的交点，所以它比折线和曲线更复杂。
空间曲线的曲率和挠率是它的重要性质之一，可以用来描述曲线的曲率，并且是几何图形中重要的参数。
空间曲线的曲率是指曲线上任意一点所处于的曲线段上，曲线段的半径，它表示曲线的内曲率和外曲率。
一条曲率大的曲线，半径就小，曲率就小，反之，曲率就大。
曲率是曲线的一个基本特性，是这条曲线的几何性质的测量，用以反映曲线的实际变化程度。
挠率是曲线的另一种性质，也是曲线的重要参数，它与曲率的关系也很密切。
曲线上一点移动时，曲率在其周围受到改变，这种改变就是挠率。
挠率可以用来分析曲面的变形情况，以及曲线上每个点单点计算曲率的变化程度。
空间曲线的曲率和挠率在数学中是广泛应用的概念，在几何图形中，它们发挥着重要作用。
可以利用这些参数来表示曲线的曲率，分析曲面的变形情况，从而提供曲线形状的重要依据。
此外，曲率和挠率还可以用来求解曲面的曲率，以及求解曲面的曲率变化程度。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法也不同，一般情况下，首先要确定曲线的方程，根据形式的不同分别采用不同的方法来求解曲率和挠率。
例如，如果曲线方程是抛物线，可以直接求解曲率和挠率；如果曲线方程是椭圆，可以通过偏微分求解曲率和挠率；如果曲线方程是曲面，可以通过特征线求解曲率和挠率。
空间曲线的曲率和挠率是复杂几何图形中重要的参数，可以用来表示曲线的曲率，从而提供曲面形状的依据。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法不同，要根据实际情况确定曲线或曲面的方程，然后采用不同的方法求解曲率和挠率。
这些概念在几何图形中具有重要意义，应用非常广泛，可以作为几何图形研究的重要参考依据。
平面解析几何基础知识曲线的曲率与半径
平面解析几何基础知识曲线的曲率与半径在平面解析几何中，曲线的曲率和曲线的半径是非常重要的基础知识。
曲线的曲率描述了曲线在某一点处弯曲的程度，而曲线的半径则是曲线在该点处的弯曲半径。
一、曲率的定义和计算方法曲线在某一点处的曲率是该点处曲线切线的变化率。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点(x0,y0)处的曲率K可以通过以下公式计算：K=|y''|/(1+y'²)^(3/2)，其中y'和y''分别表示曲线方程的一阶和二阶导数。
二、曲率的几何意义曲线的曲率可以反映曲线的弯曲程度。
当曲率K为正时，曲线向外凸出，表示曲线在该点处向外弯曲；当曲率K为负时，曲线向内凹陷，表示曲线在该点处向内弯曲；当曲率K为零时，曲线是直线。
曲率的绝对值越大，曲线在该点处的弯曲程度越大。
三、曲线的半径和曲率的关系曲线在某一点处的曲率K与曲线的半径R满足如下关系：K=1/R。
即曲线的曲率等于曲线的半径的倒数。
这意味着曲线的半径越大，曲线的曲率越小，曲线的弯曲程度越小；曲线的半径越小，曲线的曲率越大，曲线的弯曲程度越大。
四、曲线的曲率与切线方向的关系曲线在某一点处的曲率K与曲线在该点处的切线方向有密切关系。
当曲率K为正时，曲线的切线方向是逆时针旋转的；当曲率K为负时，曲线的切线方向是顺时针旋转的。
五、曲线的曲率和半径的应用曲线的曲率和半径在计算机图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中，曲线的曲率和半径常用于绘制平滑的曲线和曲面，以及进行形状分析；在物理学中，曲线的曲率和半径用于描述粒子在运动过程中的轨迹；在工程学中，曲线的曲率和半径用于设计道路的弯曲程度和转弯半径。
综上所述，曲线的曲率和曲线的半径是平面解析几何中的基础知识。
它们描述了曲线在某一点处的弯曲程度和弯曲半径，对于理解和分析曲线的性质和特点非常重要。
这些知识在实际应用中有广泛的用途，能够帮助我们解决各种问题，并且在科学研究和工程设计中起着重要的作用。
曲线的弧微分和曲率分析
曲线的弧微分和曲率分析曲线是我们日常生活中常见的概念，指的是由一系列的点或者坐标连接而成的连续性图形。
学习曲线是计算机科学、数学、物理、工程学等领域必须掌握的基础知识。
本文将介绍曲线的弧微分和曲率分析，让大家更深入理解曲线中的形态和特征。
一、弧微分在学习曲线之前，我们需要了解一下微积分中的概念：导数。
导数是描述一个函数在某点处变化率的概念，计算导数的过程就叫做微分。
对于曲线，由于它特殊的连续性，我们可以在不断微分的基础上得到它的弧长，进而求得弧微分。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，则曲线从 $a$ 到 $x$ 的长度为$L(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f'(t))^2}dt$对 $L(x)$ 进行微分，即可求出弧微分 $\Delta s$：$$\Delta s=\sqrt{1+(f'(x))^2}\Delta x$$二、曲率分析曲率是描述曲线形态的重要指标，它的概念是指曲线在某一点处形成的圆的半径，半径越小曲线越弯曲，反之曲线越平滑。
计算曲率的过程就叫做曲率分析。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，曲线上某一点的坐标为$(x_0,f(x_0))$，则通过一系列的推导，可以得到它在该点处的曲率为：$$K(x_0)=\frac{|f''(x_0)|}{[1+(f'(x_0))^2]^{3/2}}$$在计算曲率时，需要首先求出曲线的二阶导数，也就是 $f''(x)$。
对于不同类型的曲线，计算曲率的方法略有不同，但其本质是类似的。
比如对于圆弧，由于其表现为标准的圆形，曲率计算非常简单。
三、弧微分和曲率的重要意义曲线的弧微分和曲率是描述曲线特征的重要概念，它们不仅在计算机科学、物理、工程学等领域有着广泛的应用，而且在医学影像、地理信息科学等人文领域也有着重要的应用。
通过对曲线特征的描述和分析，可以更好地理解曲线的形态和变化，从而为人们提供更好的分析和决策基础。
02-8曲线的曲率.曲率半径解析
o a x x dx b
x
弧微分
ds 1 y dx
2
d .的计算公式 曲率K ds
设y f ( x )二阶可导,
tan y,
y d dx, 2 1 y
有 arctan y,
2 ds 1 y dx. k
y (1 y )
3 2 2
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a b b2 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
x a(t sin t ) 例2 求摆线 在t 处的曲率(a 0)。 y a(1 cos t )
解：y ' cos x, y " sin x,
K y" (1 y ' )
2 3 2
sin x (1 cos x )
2 3 2
故当 0<x<π 时， x=π/2 ，k=1的曲率最大。
二、平面曲线的曲率圆
1、定义 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处曲率为K(K≠0) 在点M处曲线凹侧的法线上取点O为圆心， 使|OM|=1/K=ρ为半径作圆曲率圆
§2-8
曲线的曲率
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
弧段弯曲程度
越大转角越大
转角相同弧段越
短弯曲程度越大
M 0 是基点.
MM s ,
y
4.3曲线的凹凸性及曲率
+ –
在I上向下凹 拐点 — 连续曲线上的凹凸分界点
3. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过
由正变负
由负变正
为极大值
为极小值 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件
4. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ;
5.弧长微分、曲率与曲率半径
例
判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
（二）曲线的拐点
定义：连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。
1
o
1
2
x
四、平面曲线的曲率--- 描述曲线在一点的弯曲程度 曲线的弯曲程度决定于
s
N
N1
N
N1
M
1 ,
1
⌒ ⌒ , MN MN 1
⌒ ⌒ MN MN1
M
M1
弧长若相等，
弧两端切线的转角若相等，
转角大的弯度程度大． 弧长的反而弯度程度较小．
和 x 1 是曲线的铅垂渐近线．
三、复杂函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
2. 求
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
解析几何中的曲线与曲率
解析几何中的曲线与曲率曲线是解析几何中的研究对象之一，它是指平面上或空间中一条具有特定几何性质的连续曲线。
这些曲线可以被用来刻画物体的轮廓以及在计算机图形学、工程学、物理学、天文学等领域得到广泛应用。
其中，曲率是指在曲线上某处的弯曲程度，是解析几何研究的一个重要概念。
本文将从曲线基本定义、曲率概念初步、一般曲线曲率计算公式等三个方面对曲线与曲率进行解析。
曲线基本定义解析几何中曲线的基本定义是：一条曲线是由$x(t)$、$y(t)$（或$x(t)$、$y(t)$、$z(t)$）所确定的点的集合，其中$t$为参数，可以理解为是曲线上的坐标轴。
根据参数方程，曲线所在平面或空间中的位置可以用参数$t$表示，又由于参数$t$的变化可以表示曲线在平面或空间中的不同位置，因此参数$t$往往被称为曲线的弧长。
曲率概念初步曲率是指曲线上某点处的弯曲程度，它是解析几何中一个重要的概念。
曲线上任意一点处，都可以将曲线近似看做一个局部的圆弧，即应该有理性地求取当弧线充分地靠近该点时的曲率，该点处的曲率的计算公式是：$$k=\frac{\left|{\boldsymbol{r}'(t)\times\boldsymbol{r}''(t)}\right| }{\left|\boldsymbol{r}'(t)\right|^3}$$其中$r$表示进入$x$、$y$、$z$等各方向的空间平面，$\boldsymbol{r}'(t)$和$\boldsymbol{r}''(t)$分别表示$r$在$t$时刻的一阶导数和二阶导数。
上述公式的分子表示曲线在该点处的曲率半径，分母表示曲线上该点处的切向量大小。
曲率半径越小，曲率就越大，而切向量大小越小，则曲率的数值也会越大。
显然，曲在线某点展开的局部近似效果越好，则该点的曲率应当越大。
一般曲线曲率计算公式对于参数方程$r(t)=(x(t),y(t))$的二维曲线，它在上述式子中的计算公式可以写成：$$k=\frac{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{\left[x'(t)^2+y'(t)^2\right]^\frac{3}{2}}$$其中$x'(t)$、$x''(t)$、$y'(t)$、$y''(t)$分别表示$x(t)$与$y(t)$的一阶导数和二阶导数。
曲线的曲率推导
曲线的曲率推导曲线的曲率是曲线局部上的一种本质性质，它描述了曲线的弯曲程度。
在工程、物理、生物学等领域，曲率的概念都有着广泛的应用。
在本文中，我们将从几何和数学角度出发，详细介绍曲线的曲率的定义、性质以及推导过程。
一、曲率的定义假设我们有一条平面曲线C，并以P为曲线上的一个点，同时过该点P可以画出曲线的切线L。
记曲线C在点P处的曲率为k，则有如下公式：k = |\frac{d\boldsymbol{T}}{ds}|其中，T是曲线在点P处的切向量，s为曲线上从起点到点P的弧长，d\boldsymbol{T}/ds为切向量在弧长方向的导数。
此处符号“| |”表示向量的模长。
从上述定义中可以看出，曲率k刻画的是曲线在局部上的弯曲情况。
当k值越大时，曲线的弯曲程度越大；反之，当k值越小或为0时，曲线的弯曲程度越小或没有弯曲。
二、曲率的推导过程现在，我们来推导一下曲率的公式。
在P处切线L上选取一个点A，并以AP为半径画出一个圆弧BC，其中B和C分别是圆弧上AP两侧的点。
则有如下关系：AC = 2APsin(\theta/2)其中，\theta是圆弧BC对应的圆心角的大小，即∠BPC。
又有：\boldsymbol{T} = \frac{\boldsymbol{AP}}{AP}此处的AP是向量AP的模长。
考虑将\boldsymbol{AP}写成曲线上的表示，即\boldsymbol{AP} = s\boldsymbol{T}。
因此，我们可以得到：AC = 2s\sin(\theta/2)根据三角函数的定义，可以得到：\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} =\frac{2}{AC}\cdot\frac{\mathrm{d}AC}{\mathrm{d}s}将上述两式相乘并代入之前的定义公式中，得到：k = \frac{1}{s}\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{\dot{\boldsymbol{T}}}{s}其中，符号“·”表示向量的点积，\dot{\boldsymbol{T}}是切向量在固定坐标系下的导数（即加速度）。
曲率的一般范围
曲率的一般范围
曲率的一般范围取决于具体的领域和上下文。
在几何学中，曲率描述的是曲线或曲面在某一点的弯曲程度。
以下是关于曲率的一些一般性信息：
1.圆弧的曲率：圆上每一点的曲率都是相同的，等于其半径的倒
数。
因此，曲率范围为0<K<∞，其中K是曲率，r是圆的半径。
2.平面曲线的曲率：对于平面曲线，曲率是描述曲线在某一点如
何弯曲的量。
曲率随着曲线的变化而变化，不同位置的曲率可
能不同。
3.空间曲线的曲率：空间曲线在三维空间中弯曲，每一点的曲率
与该点的切线方向和主法线方向有关。
曲率范围同样取决于具
体的曲线形状。
4.曲面曲率：曲面在各个位置的曲率也可能不同，取决于该位置
的切平面和法线方向。
对于不同类型的曲面（如球面、圆柱面
等），曲率范围也会有所不同。
请注意，上述只是一般性的范围，实际范围取决于具体的问题和场景。
在实际应用中，例如工程设计、物理学等领域，曲率的范围和变化情况需要根据具体情境进行分析和计算。
曲线的曲率
r r
k（s）
所以
k(s）
（ ）
k(s）
， || ||
由于密切平面把空间分成上下两部分，对扭转程 度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有 下面的定义
定义：曲线 (C ) 在 P 点的挠率为
(s)
,当
和 异向，
，当 和同向。
挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。
弧长 s AM s(x)
s ds (dx)2 (dy)2
弧微分
或 ds 1 ( y)2 dx
若曲线:
x
y
x(t) y(t)
则弧微分 ds x2 y2 d t 几何意义: ds MT
y y f (x) B
N
A M
y
x
oa x
bx
x x
y
T
M dy dx o x x dx x
s0 s R
DR
M s
M
结 论：
o
（1） 圆上各点处的曲率都相等，且 K 1 。 R
（2）半径越小，曲率越大，圆弧弯曲得越厉害；
x
7
弧长参数的空间曲线计算公式
(s)
lim
r
s0 s
lim
lim
1
lim
MM
s0 s s0 s
s0 s
(s)
P
M
P1
M (s s)
MM
MM
(s)
反r 之 ,0若
(s)
于是
0 r
,则 sa b
所以该曲线是直线.
9
曲率和挠率的一般参数表示式
给出 C3 类r的 曲r(t线) （, rC ） d：r ds r ds ds r
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2.9 曲线的曲率
例： 空间曲线， r r (s) 为直线的充要条
件是曲率 (s) 0
证明：若为直线 r sa b 其中
a和b 都是
(s) r a 0 反之, 若 (s) 0 , 则 (s) r 0 于是 r sa b
2.9 曲线的曲率
2.9 曲线的曲率
1．曲率概念
⌒ 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M 沿 曲线弧 MN
曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到 NT 所转过的角， 故 又称为转角。
N
决定曲线弯曲程度的两个因素： （1）曲线的弧长； （2）弧两端切线的转角。
M
2
2.9 曲线的曲率
弧长参数的空间曲线计算公式
lim
( s s ) ( s ) MM
s MM
s 0
lim
( s s ) ( s )
s
s 0
( s ) ( s ) ( s ) r r r
d 称为曲线 L 在 M 点处的绝对曲率 K lim s 0 s ds
（简称曲率） 。
5
2.9 曲线的曲率
例 1．求直线 L 上各点处的曲率。
解：对直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动 时，切线的倾角 不变，即 0 ，从而
k lim 0 ，即直线上各点处的曲率都是零。 s 0 s
( r 1, r r ) r r 由此得到曲率的一般参数的表示式 k 3 r
3
3
2.9 曲线的曲率
11
2.9 曲线的曲率
曲率 k 的计算公式
x x(t ) 设曲线 y y (t )
弧长 s AM s(t ) M 处切线的夹角 (t ) 弧段 M N 的长＝s s(t t ) s(t ) y 切线的转角
(t t ) (t ) ,
点 M 处的曲率
d k lim s 0 s ds
则
d dt ds dt
A
o
N s M
x
xy xy k 2 2 32 ( x y )
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2.9 曲线的曲率
定义：在具有长度和连续 转动切线的曲线 L 上取定
y
y f ( x)
一点 M 0 ，作为弧长计算
的起点，取定曲线的一个 走向作为弧长增加的方向。 当弧长 M 0 M 确定之后，
o
M s M s M
x
点 M 的位置就随之确定（规定切线的正向与弧长增大的 方向一致） ，于是 是 s 的 函数。对于任何 s ，由弧长 ⌒ M0 M s s 所确定的点 M 处 的切线正向与 x 轴 正 ⌒ M 的平均曲率， 向的夹角为 ，称比值 为弧段 M s 4
M
结
论 ：
oxLeabharlann 1 （1） 圆上各点处的曲率都相等，且 K 。 R
（2）半径越小，曲率越大，圆弧弯曲得越厉害；
7
2.9 曲线的曲率
P ( s ) M ( s) lim r P s 0 s 1 (s s) M MM MM 1 lim lim lim s 0 s s 0 s 0 s s MM
N
N
N1
M ⌒ ⌒ MN MN1 , 1 ,
N1
M
1
M1
⌒ , MN MN 1
⌒
弧长若相等，角大弯度大。 转角若相等， 弧大弯度小。
综上分析可知：弧的弯曲程度可用弧两端切线的转角与弧 长之比
MN 值愈小，弧的弯曲程度就愈小。
3
⌒
来描述，比值愈大，弧的弯曲程度就愈大，比
所以
2 3 2 ds d s ds ds r r r r r r r , 2 dt dt dt dt
ds 因此 r r r r sin k r dt
所以该曲线是直线.
9
常向量， 并且 a 1 ，则
2.9 曲线的曲率
曲率和挠率的一般参数表示式 给出 C 3 类的曲线（C）：
2
dr ds ds ds r r (t ) , r r r ds dt dt dt
2 2 2 2 ds d s d r ds d s ds d s r (r ) r 2 r 2 r r 2 , dt dt ds dt dt dt dt
2.9 曲线的曲率
⌒ 长 M0 M s s 所确定的点 M 处 的切线正向与 x 轴 正
⌒ 向的夹角为 ，称比值 为弧段 MM 的平均曲率， s
⌒ 。 ⌒ 称为弧段 MM 的平均绝对曲率记作 k M M s s
d lim 称为曲线 L 在点 M 处的曲率。 s 0 ds s
2.9 曲线的曲率
6
2.9 曲线的曲率
例 2．求半径为 R 的圆上各点处的曲率。
解：在点 M、M 处圆的切线所夹的角 等于 s ， MDM ，而 MDM R y
s 1 R ， ∴ s s R 1 k lim 。 s 0 s R
D
R
M
s