_曲线的曲率解析

弧长参数的空间曲线计算公式
lim
( s s ) ( s ) MM
s MM


s 0
lim
( s s ) ( s )
s


s 0
( s ) ( s ) ( s ) r r r
N
N
N1
M ⌒ ⌒ MN MN1 , 1 ,
N1

M
1

M1

⌒ , MN MN 1
⌒
弧长若相等，角大弯度大。 转角若相等， 弧大弯度小。
综上分析可知：弧的弯曲程度可用弧两端切线的转角与弧 长之比

MN 值愈小，弧的弯曲程度就愈小。
3
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来描述，比值愈大，弧的弯曲程度就愈大，比
8
2.9 曲线的曲率
例： 空间曲线， r r (s) 为直线的充要条
件是曲率 (s) 0
证明：若为直线 r sa b 其中
a和b 都是
(s) r a 0 反之, 若 (s) 0 , 则 (s) r 0 于是 r sa b
2.9 曲线的曲率
定义：在具有长度和连续 转动切线的曲线 L 上取定
y
y f ( x)
一点 M 0 ，作为弧长计算
的起点，取定曲线的一个 走向作为弧长增加的方向。 当弧长 M 0 M 确定之后，
o
M s M s M
x
点 M 的位置就随之确定（规定切线的正向与弧长增大的 方向一致） ，于是 是 s 的 函数。对于任何 s ，由弧长 ⌒ M0 M s s 所确定的点 M 处 的切线正向与 x 轴 正 ⌒ M 的平均曲率， 向的夹角为 ，称比值 为弧段 M s 4
2.9 曲线的曲率
⌒ 长 M0 M s s 所确定的点 M 处 的切线正向与 x 轴 正
⌒ 向的夹角为 ，称比值 为弧段 MM 的平均曲率， s
⌒ 。 ⌒ 称为弧段 MM 的平均绝对曲率记作 k M M s s
d lim 称为曲线 L 在点 M 处的曲率。 s 0 ds s
(t t ) (t ) ,
点 M 处的曲率
d k lim s 0 s ds
则
d dt ds dt
A
o
N s M
x
xy xy k 2 2 32 ( x y )
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M

结
论 ：
o
x
1 （1） 圆上各点处的曲率都相等，且 K 。 R
（2）半径越小，曲率越大，圆弧弯曲得越厉害；
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2.9 曲线的曲率
P ( s ) M ( s) lim r P s 0 s 1 (s s) M MM MM 1 lim lim lim s 0 s s 0 s 0 s s MM
2.9 曲线的曲率
d 称为曲线 L 在 M 点处的绝对曲率 K lim s 0 s ds
（简称曲率） 。
5
2.9 曲线的曲率
例 1．求直线 L 上各点处的曲率。
解：对直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动 时，切线的倾角 不变，即 0 ，从而
k lim 0 ，即直线上各点处的曲率都是零。 s 0 s
( r 1, r r ) r r 由此得到曲率的一般参数的表示式 k 3 r
3
3
2.9 曲线的曲率
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2.9 曲线的曲率
曲率 k 的计算公式
x x(t ) 设曲线 y y (t )
弧长 s AM s(t ) M 处切线的夹角 (t ) 弧段 M N 的长＝s s(t t ) s(t ) y 切线的转角
所以
2 3 2 ds d s ds ds r r r r r r r , 2 dt dt dt dt
ds 因此 r r r r sin k r dt
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2.9 曲线的曲率
例 2．求半径为 R 的圆上各点处的曲率。
解：在点 M、M 处圆的切线所夹的角 等于 s ， MDM ，而 MDM R y
s 1 R ， ∴ s s R 1 k lim 。 s 0 s R
D

R
M
s
2.9 曲线的曲率
2.9 曲线的曲率
1．曲率概念
⌒ 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M 沿 曲线弧 MN
曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到 NT 所转过的角， 故 又称为转角。
N
决定曲线弯曲程度的两个因素： （1）曲线的弧长； （2）弧两端切线的转角。

M
2
2.9 曲线的曲率
所以该曲线是直线.
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常向量， 并且 a 1 ，则
2.9 曲线的曲率
曲率和挠率的一般参数表示式 给出 C 3 类的曲线（C）：
2
dr ds ds ds r r (t ) , r r r ds dt dt dt
2 2 2 2 ds d s d r ds d s ds d s r (r ) r 2 r 2 r r 2 , dt dt ds dt dt dt dt