析取范式与合取范式(课堂PPT)
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式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式. ② 为方便起见，有时用 A 1,A 2, A s表示 s 个简单
析取式或 s 个简单合取式.
4
定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式; （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式。
一、简单合取式和简单析取式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.
3
如，p, ┐q 等为一个文字构成简单析取式， p∨┐p，┐p∨q 等为2个文字构成的简单析取式， ┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r 等为3个文字构成的简单析取
第二章 命题逻辑等值运算
第1节 等值式 第2节 析取范式与合取范式 第3节 联结词的完备集
1
第2节 析取范式与合取范式
一、简单合取式和简单析取式 二、范式 三、范式的唯一性——主范式 四、几点注意
2
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。
逻辑公式在等值演算下也有标准形—范式，范式 有两种：析取范式和合取范式。
2 、主范式 (1) 定义2.5
设由n个命题变项构成的析取范式（合取范式）中 所有的简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大 项），则称该析取范式（合取范式）为主析取范式 （主合取范式）.
5
证明： 设 A i 是含 n 个文字的简单析取式.
若
A
中既含有某个命题变项
i
P
j ，又含有它的
否定式 P j ，由交换律、排中律和零律可知，A i
为重言式。
反之，若 A
为重言式，则它必同时含某个命
i
题变项及它的否定式，否则，若将 A
中的不带
i
否定号的命题变项都取0，带否定号的命题变项
都取1，此赋值为 A i 的成假赋值，这与 A i 是重 言式相矛盾。
13
例2.7 求公式 (p→q) ↔ r 的析取范式与合取范式： 解：（1）先求合取范式
(p→q) r (┐p∨q) r
（消去→）
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) （消去 ）
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→）
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （否定号内移）
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3 、求范式的步骤：
(1) 消去联结词→ 、
(2) 否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利 用德摩根律）。
(3) 利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， 利用∨ 对∧的分配律求合取范式。
注意
为了清晰和无误，演算中利用交换律，使得 每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是 按字典顺序，这对下文中求主范式更为重要.
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r) (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
15
在以上演算中，从第二步到第三步是利用矛盾律 和同一律。另外，第二步和第三步结果都是析取范式， 这正说明命题公式的析取范式是不唯一的。同样，合 取范式也是不唯一的。
上述范式不唯一，下面追求一种更严格的范式 — 主范式，它是存在且唯一的。
(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （∨对∧分配律）
14
（2）求析取范式 求析取范式与求合取范式的前两步是相同的，只
是在利用分配律时有所不同。因而可以用（1）中前四 步的结果，接着进行∧对∨分配律演算。
(p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
i 做极大项的角标，记作 M
.
i
18
(4) 表2.3 p, q形成的极小项与极大项
19
表2.4 p, q, r 形成的极小项与极大项
20
(5) 极小项与极大项的关系。
定理2.4 设 m i 与 M i 是命题变项 P 1,P 2, ,P n
形成的极小项和极大项，则
mi Mi, Mi mi .
21
11
(2) 用双重否定律和德摩根律，可得
┐┐A A
┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B) ┐A∧┐B
（2.18）
(3Biblioteka Baidu 利用分配律，可得
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
(2.19)
由（2.17）,（2.18）,（2.19）3步，可将任一公 式化成与之等值的析取范式或合取范式.
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三、范式的唯一性——主范式
1、极小项（极大项） (1) 定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简 单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时 出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题 变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合 取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
8
设 A i(i 1 ,2 , ,s)为简单的合取式，则 A A 1 A 2 A s为析取范式。
设 A i(i 1 ,2 , ,s)为简单的析取式，则 A A 1 A 2 A s为合取范式.
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2 、范式的性质 定理2.2
（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式.
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
10
定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明: (1) 由蕴涵等值式与等价等值式可知
A→B ┐A∨B
A B(┐A∨B)∧(A∨┐B)
（2.17）
因而在等值的条件下，可消去任何公式中的联 结词→和↔．
6
类似的讨论可知，若 A i 是含n个命题变项的 简单合取式，且 A i 为矛盾式，则 A i 中必同时含 有某个命题变项及它的否定式，反之亦然.
如：p∨┐p，p∨┐p∨r 都是重言式. ┐p∨q，┐p∨┐q∨r 都不是重言式.
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二、范式
1、范式的定义 定义2.3 （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式. （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式. （3）析取范式与合取范式统称为范式.
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(2) 由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式 形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n 个不同的极小项.
(3) 每个极小项都有且仅有一个成真赋值.
若成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数 i ，
就将所对应极小项记作 m i . 类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项，每
个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式. ② 为方便起见，有时用 A 1,A 2, A s表示 s 个简单
析取式或 s 个简单合取式.
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定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式; （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式。
一、简单合取式和简单析取式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.
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如，p, ┐q 等为一个文字构成简单析取式， p∨┐p，┐p∨q 等为2个文字构成的简单析取式， ┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r 等为3个文字构成的简单析取
第二章 命题逻辑等值运算
第1节 等值式 第2节 析取范式与合取范式 第3节 联结词的完备集
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第2节 析取范式与合取范式
一、简单合取式和简单析取式 二、范式 三、范式的唯一性——主范式 四、几点注意
2
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。
逻辑公式在等值演算下也有标准形—范式，范式 有两种：析取范式和合取范式。
2 、主范式 (1) 定义2.5
设由n个命题变项构成的析取范式（合取范式）中 所有的简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大 项），则称该析取范式（合取范式）为主析取范式 （主合取范式）.
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证明： 设 A i 是含 n 个文字的简单析取式.
若
A
中既含有某个命题变项
i
P
j ，又含有它的
否定式 P j ，由交换律、排中律和零律可知，A i
为重言式。
反之，若 A
为重言式，则它必同时含某个命
i
题变项及它的否定式，否则，若将 A
中的不带
i
否定号的命题变项都取0，带否定号的命题变项
都取1，此赋值为 A i 的成假赋值，这与 A i 是重 言式相矛盾。
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例2.7 求公式 (p→q) ↔ r 的析取范式与合取范式： 解：（1）先求合取范式
(p→q) r (┐p∨q) r
（消去→）
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) （消去 ）
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→）
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （否定号内移）
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3 、求范式的步骤：
(1) 消去联结词→ 、
(2) 否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利 用德摩根律）。
(3) 利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， 利用∨ 对∧的分配律求合取范式。
注意
为了清晰和无误，演算中利用交换律，使得 每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是 按字典顺序，这对下文中求主范式更为重要.
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r) (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
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在以上演算中，从第二步到第三步是利用矛盾律 和同一律。另外，第二步和第三步结果都是析取范式， 这正说明命题公式的析取范式是不唯一的。同样，合 取范式也是不唯一的。
上述范式不唯一，下面追求一种更严格的范式 — 主范式，它是存在且唯一的。
(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （∨对∧分配律）
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（2）求析取范式 求析取范式与求合取范式的前两步是相同的，只
是在利用分配律时有所不同。因而可以用（1）中前四 步的结果，接着进行∧对∨分配律演算。
(p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
i 做极大项的角标，记作 M
.
i
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(4) 表2.3 p, q形成的极小项与极大项
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表2.4 p, q, r 形成的极小项与极大项
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(5) 极小项与极大项的关系。
定理2.4 设 m i 与 M i 是命题变项 P 1,P 2, ,P n
形成的极小项和极大项，则
mi Mi, Mi mi .
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(2) 用双重否定律和德摩根律，可得
┐┐A A
┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B) ┐A∧┐B
（2.18）
(3Biblioteka Baidu 利用分配律，可得
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
(2.19)
由（2.17）,（2.18）,（2.19）3步，可将任一公 式化成与之等值的析取范式或合取范式.
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三、范式的唯一性——主范式
1、极小项（极大项） (1) 定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简 单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时 出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题 变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合 取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
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设 A i(i 1 ,2 , ,s)为简单的合取式，则 A A 1 A 2 A s为析取范式。
设 A i(i 1 ,2 , ,s)为简单的析取式，则 A A 1 A 2 A s为合取范式.
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2 、范式的性质 定理2.2
（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式.
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
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定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明: (1) 由蕴涵等值式与等价等值式可知
A→B ┐A∨B
A B(┐A∨B)∧(A∨┐B)
（2.17）
因而在等值的条件下，可消去任何公式中的联 结词→和↔．
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类似的讨论可知，若 A i 是含n个命题变项的 简单合取式，且 A i 为矛盾式，则 A i 中必同时含 有某个命题变项及它的否定式，反之亦然.
如：p∨┐p，p∨┐p∨r 都是重言式. ┐p∨q，┐p∨┐q∨r 都不是重言式.
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二、范式
1、范式的定义 定义2.3 （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式. （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式. （3）析取范式与合取范式统称为范式.
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(2) 由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式 形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n 个不同的极小项.
(3) 每个极小项都有且仅有一个成真赋值.
若成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数 i ，
就将所对应极小项记作 m i . 类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项，每
个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数