初三锐角三角函数知识点与典型例题

合集下载

初三锐角三角函数知识点与典型例题

3 5
3 5 3 4
，那么 tanA 的值等于（ D.
4 3
）.
B.
4 5
C.
类型二 . 利用角度转化求值： 1．已知：如图， Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°． D 是 AC 边上一点， DE ⊥ AB 于 E 点． DE ∶ AE ＝ 1 ∶ 2．求： sin B、 cosB 、 tanB．
F
90 ， AC
C
6 ， D 为 AC 上一点，若
7. 如图 6 ，在等腰直角三角形
ABC 中，
C
tan DBA
1 5
，则
AD 的长为 ( )
A． C． 1
2
B D
．
2
．2 2
8. 如图 6 ，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °， AC =8，∠ A 度数及边 BC 、 AB 的长 .
A
AD =
的顶点为 O ，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边．
OA 上有
sin
4.（ 2009 ・庆阳中考）如图，菱形的面积 = cm ．
2
ABCD 的边长为 10cm， DE ⊥ AB ， sin A
3 5
，则这个菱形
5.（ 2009 ・齐齐哈尔中考）如图，径为
⊙ O 是 △ ABC 的外接圆， AD 是 ⊙O 的直径，若 ⊙ O 的半
（昌平） 1） . 计算： 2 cos 30
2 sin 45
tan 60 ．
（朝阳） 2）计算： tan 60
sin 45
2
2 cos 30 .
（ 2009 ・黄石中考）计算：
3 +(2 π － 1) －
－1
0

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4．二、平方关系由定义知sin a A c =，cos b A c=，所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭．三、相除关系由定义中sin a A c =，cos bA c=，得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α，所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ，所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ，又C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ．六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（）（A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163，所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4，在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB，由Rt△C D B ∽Rt△ACB ，所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

锐角三角函数知识点总结与典型习题

锐角三角函数知识点总结讲义1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A邻边直角三角形中的边角关系解直角三角形一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例 1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝3 分析 sin A ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ＝33，cos B ＝BC AB ＝12．故选D.例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于；分析在Rt △ABC 中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==．分析在Rt △ABC 中，BC ＝222254AB AC -=-＝3，∴sin A ＝35BC AB =．故填35．例3（12·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是；例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为；例5 ( 2012宁波)，R t △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为；例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=BCAC=的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦= ；（2）如图，已知tanA=43，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．例7（2012山东滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（）A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定例8（2012湖南）观察下列等式 ①sin30°= cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=根据上述规律，计算sin 2a+sin 2（90°﹣a ）= ．C BA图4DC B A图4例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE ⊥，EF BE ⊥，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有哪组【解析】对于①，可由公式AB=BC ×tan ∠ACB 求出A 、B 两点间的距离；对于②，可设AB 的长为x ，则BC=x tan ACB∠，BD=xtan ADB ∠，BD-BC=CD ，可解出AB ．对于③，易知△DEF ∽△DBA ，则DE BDEF AB=，可求出AB 的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA ，SAS ，SSS ，两直角三角形相似的判定还有HL ．例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是．例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于．分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD 的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD 是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD 是直角三角形．∴tanC= 43例12（2011山东日照）在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（） ABCDEFFA ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义，得 A 、tanA•cotA=a b b a ⋅=1，关系式成立；B 、sinA=c a ，tanA•cosA=cac b b a =⋅，关系式成立；C 、cosA=，cotA•sinA=c b a b c a =⋅，关系式成立；D 、tan 2A+cot 2A=（ba ）2+（a b）2≠1，关系式不成立．故选D ．点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=BAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．例13（2011•贵港）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=2，则tan ∠CAD 的值是．解答：解：∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt △ACD 中，AC===2，∴tan ∠CAD===2．故选A ．例14（2011烟台）如果△ABC 中，sin A =cos B =22，则下列最确切的结论是（）A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形解：∵sinA=cosB=22，∴∠A =∠B =45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ．例15（2011四川）如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是（）A 、330sin 602sin x ︒︒<< B 、3cos302x ︒︒<<cos45C 、3tan 302x ︒︒<<tan45D 、3cot 4502x ︒︒<<cot3 解答：故选D ．同步练习1（2011甘肃）如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’，则tanB ’的值为．2 （2011甘肃兰州）点M （－sin60°，cos60°）关于x 轴对称的点的坐标是． 3（2011广东）已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（） A 、sinA =cosA B 、sinA ＞cosA C 、sinA ＞tanA D 、sinA ＜cosA 4、（2011•宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33，则边BC 的长为．cm5、（2011福建莆田）如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为．6、（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是．EC DA BF7、（2012福州）如图15，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是，cosA 的值是 .（结果保留根号）8、（2012南京）如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读书恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为厘米.（结果精确到0.1厘米，参考数据sin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75）ABCC ’ B ’C B AO43219、（2012·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A =∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=23千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据2≈1.41473.13≈ 45.26≈）（2）求∠ACD 的余弦值.10、（2011新疆建设兵团）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°．（1）用尺规作图的方法，作出△ABC 绕点A 逆时针旋转45°后的图形△AB 1C 1（保留作图痕迹）；（2）若AB ＝3，BC ＝5，求tan ∠AB 1C 1．AC专题2 特殊角的三角函数值例1（2012，湖北孝感）计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________．【答案】1例2（2012陕西）计算：(02cos 45=︒_______例3(2012广安)计算：---)32(218cos45o +13- ；例4 计算|－3|＋2cos 45°－1)0．例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(－1)2007－cos 60°．例6 计算||＋(cos 60°－tan 30°)0例7 计算312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|.例8（2012呼和浩特）计算：11|12sin 45---+︒例9（2011天水）计算：si n 230°+tan 44°tan 46°+si n 260°= ．分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA •tan （90°﹣A ）=1．解答：解：原式=14+1+34=2．故答案为2．例10（2011•莱芜）若a=3﹣tan60°，则196)121(2-+-÷--a a a a = 。

中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(提高)

中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就Ca bc是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++．直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高） ②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例2】1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．举一反三：【变式】（2015•乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．类型二、特殊角的三角函数值【高清课堂：锐角三角函数综合复习例1】2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式．【答案与解析】解 (1)tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°(2)∵12sin cos A A -2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，∴12sin cos A A -cos sin (045)sin cos (4590)A A A A A A -<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．举一反三：【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例1】【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22βα===， ∴β＝45°． ∴23tan()tan 3033β==°． 3．（2015春•凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求：（1）tanC 的值；（2）sinA 的值．【思路点拨】（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了．（2）同理作AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值．【答案与解析】解：（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ． ∵S △ABC =BC •AD=84， ∴×14×AD=84，∴AD=12．又∵AB=14， ∴BD==9．∴CD=14﹣9=5．在Rt △ADC 中，AC==13，∴tanC==；（2）过B 作BE ⊥AC 于点E ． ∵S △ABC =AC •EB=84， ∴BE=，∴sin ∠BAC===．【总结升华】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵活应用．举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到)【答案】过点C 作CD ⊥AB 于点D.EABCCD 就是连接两岸最短的桥.设CD=x （千米）. 在直角三角形BCD 中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，所以AD=CD ×tan ∠ACD=x ·tan30°=x.因为AD+DB=AB ，所以x+x=3，x=≈答：从C 处连接两岸的最短的桥长约为. 类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°．∵4cos 5CD DCE CE =∠=，设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k =+==．∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541．【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等． 5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到)．(参考数据：sin10°≈°≈°≈°≈°≈°≈ 【思路点拨】本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解．【答案与解析】解：如图所示，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝DB ·sinl5°≈50× CE ＝BF ＝DB ·cos15°≈50× ∴AE ＝CE ·tan10°≈× ∴≈答：树高约为．【总结升华】一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式．【答案】解：(1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB-AP ＝2-t(0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°， ∴1133sin (2)2222PCD S CD PE CD BP B t ===-△，即3333(02)42y t t =-+≤<． (2)由(1)不难得出，3(2)2PE t =-，1(2)2BE t =-． ∴112(2)(2)22EC BC BE t t =-=--=+． ∵22222231(2)(2)2444PC PE EC t t t t =+=-++=-+．∴224(02)z t t t =-+≤<．6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO 与BO 的长．(2)若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．①如图(2)所示，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD ＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑了多少米；②如图(3)所示，当A 点下滑到A ′点，B 点向右滑行到B ′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ′点，若∠POP ′＝15°，试求AA ′的长．【思路点拨】（1）在直角△AOB 中，已知斜边AB ，和锐角∠ABO ，即可根据正弦和余弦的定义求得OA ，OB 的长；（2）△APO 和△P′A′O 都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO 的度数，和∠P′A′O 的度数，在直角△ABO 和△A′B′O 中，根据三角函数即可求得OA 与OA′，即可求得AA′的长．【答案与解析】解：(1)Rt △AOB 中，∠O ＝90°，α＝60°，∴∠OAB ＝30°．又AB ＝4米，∴OB ＝12AB ＝2米．OA ＝AB ·sin 60°＝4×2＝米)． (2)①设AC ＝2x ，BD ＝3x ，在Rt △COD 中，OC ＝2x ，OD ＝2+3x ，CD ＝4，根据勾股定理：OC 2+OD 2＝CD 2，∴2222)(23)4x x ++=．∴213(120x x +-=．∵x ≠0，∴13120x +-=．∴1213x =．24213AC x ==．即梯子顶端A 沿NO 下滑了2413米． ②∵点P 和点P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′OB ′的斜边A ′B ′的中点，∴PA ＝PO ，P ′A ′＝P ′O ．∴∠PAO ＝∠AOP ，∠P ′A ′O ＝∠A ′OP ′．∴∠P ′A ′O-∠PAO ＝∠POP ′＝15°．∵∠PAO ＝30°，∴∠P ′A ′O ＝45°．∴A ′O ＝A ′B ′·cos 45°＝42⨯=∴AA ′＝OA-A ′O ＝米．【总结升华】解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．。

初三锐角三角函数(一)

A C锐角三角函数(一)知识要点1.锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C=90°。

∠A 的正弦：sin aA c=（对边比斜边） ∠A 的余弦： cosA=bc （邻边比斜边） ∠A 的正切： tanA=a b（对边比邻边） cotA=a b（邻边比对边）2．特殊角度的三角函数值113.三角函数的范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1。

引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。

小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

你想知道小明怎样算出的吗？典型例题例1.（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．（2）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，︒341米10米?(1)3A(2)sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例2:在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°，BC=6， 53sin =A ，求cos A 和tanB 的值.例3:(1)如图(1), 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,6=AB ,3=BC ,求A ∠的度数.(2)用一片半径为2，面积为π2的扇形纸片围成如图(2)的圆锥，求圆锥的高OA 及α.例4.计算下列式子的值(1)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(2)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 222例5．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例6．（四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB=45°，则sinC 的值为（）A.22B.222-C. 222+ D.42经典练习1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．2.因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 3（滨州，第11题3分）在Rt △ACB 中，∠C =90°，AB =10，sinA =53，cosA =54，tanA =43，则BC 的长为（）4．（江苏宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（）ABCD A. 5 B.552 C. 55 D.325．﹙黑龙江﹚ 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 56.﹙成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D.已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（）A ．35B ．32 C ．552 D ．257.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（） A．B． C ． D ．8.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．9.（广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA = ．10.（广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME =EF 且EF ∥MN ，则cos ∠E = ．11．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB和cos B ．AB12．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．13.已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．巩固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 2.求下列各式的值：（1）︒︒+︒+︒45sin 30sin 245cos 60cos 22CB A（2）︒+︒︒-︒+︒-︒︒+︒45cos 30sin 45cos 60cos 45sin 60cos 45sin 60cos3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．4．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．。

九年级下册锐角三角函数专题讲义

1九年级下册锐角三角函数专题讲义一．知识框架二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中:(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边2.特殊角的三角函数:A sinA cosA tanA 30°12 32 33 45°22 22 160° 321232基础训练：例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（）A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ．不能确定例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 43练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2sin 3A =，则边AC 的长是（）AB ．3C ．43D练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值25247C BA练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA=练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA＝4，c ＝2，则a ＝练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．13练习7.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sin α= ，cos α= ，tan α=练习8.在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若56AC =，65AB =，则tan ∠ACD 的值为（）Ａ．5Ｂ．5 Ｃ．30Ｄ．6例3.计算：sin30°·sin60°+sin45°练习9.计算tan 602sin 452cos30+-o o o 的结果是（）A ．2B ．2C ．1D ．2313-练习10.计算：()0132sin 452007tan 30--⋅+-oo能力拓展例1.如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（）A ．（81035+）m B ．21.6m C ． 103m D ．10385⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭m例2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（） A ．sin α B ．COS α C ．tan α D ．1tan ααy x P(2,3)O AE DCBAαPDA4例3.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=19，试求cosA 与tanA的值例4.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（）A ． 23B ．55C ． 105D ．13中考链接：（2008昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，AC = 6cm ，AB = 8cm ，把AB 边翻折，使AB边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin ∠DBE 的值为（）A ．13B ．310C ．37373D ．1010（2011昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则sin ∠CAD =（）A 、错误!未找到引用源。

锐角三角函数及应用经典例题

锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。

其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。

锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。

下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。

解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。

解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。

由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。

根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。

代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。

我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。

第9讲锐角三角函数

第9讲锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大．【典例】例1在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝8，BC ＝6，那么∠A 的正弦值为（） A ．35B ．45C ．34D ．43例2在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AC 的长为（） A ．2sin α B ．2cos αC ．2tan αD ．2cot α例3计算：tan 260°−2sin30°4cos 245°+cot30°．【随堂练习】1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，那么tan B 的值等于（） A ．23B ．√53C ．√52D ．2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，AC ＝2，那么AB 的长等于（） A ．2sinαB ．2sin αC ．2cosαD ．2cos α3．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．4．计算：tan 245°cot30°−2cos45°−2sin60°．知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．2.基础知识在Rt △ABC 中，∠A ∠B ∠C 所对的边分别是a ，b ，c. （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 （2）锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠=90（3）边角之间的关系：sin A =a c cos A =b c tan A =ab sin B =bc cos B =ac tan B =ba（4）面积公式：S=12ab=12ch （h 为斜边上的高） 3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝30°．（1）求AD 的长．（2）求sin C 的值．例2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC =12∠BAC ，求sin ∠BPC ．例3如图，在△ABC 中，cos B =√22，sin C =35，AC ＝10，求△ABC 的面积．【随堂练习】1．如图，在△ABC 中，tan C =35，点D 在边BC 上，AB ＝AD ，CD ＝2BD ＝4，求sin B 的值．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝4√3，解这个直角三角形．3．如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝，点D 为边AC 上一点，若∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AD 的长．（结果保留根号）知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示．2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则i=ℎl =tan α．【典例】例1如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 m 时，才能确保山体不滑坡．（取:i h l=hlαtan50°≈1.2）例2如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1：，求背水坡的坡长CD为多少米．例3 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6√2米（结果保留根号）．【随堂练习】1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：√3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（）A．5 m B．10m C．5√3m D．8 m2.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE 的长．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）3．农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD 的坡度i ＝1：1.8，背阳坡AC 坡度i ＝1：0.5，棚宽CD ＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB 、EF ，其中BF ＝AB ．求AB 、EF 的长．知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【典例】例1如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A 的仰角为30°，底端B 的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB 的高度．（精确到0.1米）仰角水平线视线视线俯角（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，＝1.41， 1.73）例2某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]例3如图，永州市德雅、高峰学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，路经白石山公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝8米，求信号柱AB的长度．（结果保留根号）【随堂练习】1．如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】2．某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB＝40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE ＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．2.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．【典例】例1如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．例2 某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边，如图．他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行80米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向．请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．（结果保留根号）例3 一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30°，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60°，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【随堂练习】1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A ．100mB ．100√2mC ．100√3mD ．200√33m2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（）A ．200tan70°米B ．200tan70°米C ．200sin 70°米D ．200sin70°米3．如图，MN 是公园劳动湖边一段东西走向的笔直湖岸，A ，B 是岸边两建筑物，一小艇在点C 处，与MN 的距离CE ＝60米，小艇向北偏西30°方向行驶100米到达点D ，此时，小艇上的人测量A 在小艇的南偏西60°方向，B 在南偏西30°方向，求A 、B 两建筑物之间的距离．综合运用1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sin B=1213，则AC的长是（）A．25B．12C．5D．13 2．计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．3．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）4．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．5．如图所示，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝2.5米，坝高AE＝DF＝4米，背水坡AB的坡度是1：1，迎水坡CD的坡度是1：1.5，求坝底宽BC．6．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2，使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝36cm，O'C⊥AC于点C，O′C＝18cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？7．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8.如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是；点B在小岛D什么方位？；（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）。

初中三角函数知识点总结及典型习题共5页

初中三角函数知识点总结及典型习题共5页初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

2、在直角三角形Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为：定义表达式取值范围关系正弦 sinA a/c (-1,1] 对边/斜边余弦 cosA b/c (-1,1] 邻边/斜边正切 tanA a/b (-∞。

+∞) 对边/邻边同时，有以下关系式：sinA = cosBcosA = sinBsin^2A + cos^2A = 13、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值。

即：sinA = cos(90°-A)cosA = sin(90°-A)4、特殊角的三角函数值：角度 30° 45° 60°正弦值1/2 √2/2 √3/2余弦值√3/2 √2/2 1/2正切值√3/3 1 √35、正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。

7、正弦定理、余弦定理：1) 三角形常用公式：A+B+C=π；S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB2) 三角形中的边角不等关系：A>B⇔a>b。

a+b>c。

a-b<c3) 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（外接圆直径）4) 正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角。

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

③几何作图时，存在多种情况。

如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。

已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：1)A为锐角一解：a = bsinA/sinB两解：a < b2)A为锐角或钝角，当a>b时有一解。

28.1锐角三角函数(1)(知识点总结和典型例题汇总)

28.1锐角函数（一）知识点1：当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的角都有唯一的确定的值。

观察图的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3所以＝__________=__________.可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.同时：＝__________=__________；＝__________=__________. 所以当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值。

知识点2：正弦和余弦的定义：由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边和斜边的比值是一个固定的值，∠A 的邻边与斜边的比值也是一个固定的值。

（1）在Rt △ABC 中,∠C=900,把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine),记作sinA ( sin ∠BAC ) 即 sinA= =（2）我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cosA ，即注意：（1）正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值；（2）正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关（3）sinA ，cosA 是整体符号，不能写成sinA,cosA 。

（4）每用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如 sin ∠BAC图19.3.2 A BC 对边邻边 ┌斜边ab c 在图中 ∠A 的对边记作a ∠B 的对边记作b ∠C 的对边记作cc b A A =∠=斜边的邻边cos（5）sin 2A 表示（sinA ）2，而不能写成sinA 2（6）三角函数还可以写成sin α，cos β。

知识点3正切的定义：由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定的值。

我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA ，即注意：（1）正切是一个比值，是没有单位的数值；（2）正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 (3)tanA 是整体符号，不能写成sin 。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________．【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ．在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ．答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。

锐角三角函数知识点总结+典型例题

AB= BC = 5，
sin A
4 5
，求
B
解：作BD⊥AC于点D， ∵ sin A 4
∴ BD AB sin A 5 4 4，
5
5
AD AB2 BD2 52 42 3.
，
5 A
5
C D
又∵ △ABC 为等腰三角形, BD⊥AC, ∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
斜边c
B ∠A的对边a
sin A=∠A斜的边对边 cos A=∠A斜的边邻边
A ∠A的邻边b C
tan A=∠∠AA的的对邻边边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
例如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10， BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
解：由勾股定理,得
B
因此 sin A BC = 6 = 3，
AB 10 5
10
6
A
C
cos A AC 8 4 , tan A BC = 6 = 3 .
AB 10 5
AC 8 4
已知一边及一锐角三角函数值求函数值
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
求sinB的值.
sin A 5, AC=12.
13
B
解:在Rt △ABC中,
13 5
设AB=13x，BC=5x,;122=(13x)2.
C 12
解得x=1.所以AB=13，BC=5.
因此 sin B AC 12. AB 13
如图，在 △ABC中， △ABC 的面积.
正弦:
sin
A
A的对边斜边

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

A
l l t h i n
g s
n
t h
e i r
b A
D E C B F
8
图
︒6AC =
C =90°，AC =8，∠A 的平分线
A
B
e
AD交CB于D点，求：
m
e h
e i a r
e g
o o
d f
o r
s 的长．
10cm ．求AD 的长．的长．、45°，如果此时热气球A 、D 在同一直线上，则两点的距离是（）200米220米（）米
已知小聪和树的高度C 的俯角为从山顶(答案可带根
点的仰角为30°，朝物体AB 米，到达点，则物体的高度为（）10米20米．
米
益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行
A B
C
D E
海里，
求AD
．如图，在平行四边形
）求证：∠
=4
的值为（）
D．4 5
AC与⊙O交于点D,
C
B P
．如图，某同学在楼房的︒同一条直线上，已知2∠．
︒O
A B
C
D E
D 图18图图
O
C
B
A
处，它计划
m。

初三锐角三角函数知识点与典型例题

最新初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)