数学建模培训-微分方程

设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度
为h(t), 则有
dh (t ) kh (t )[ H h(t )] dt
其中 k 0 是比例常数. 这个方程为Logistic方程. 它是 可分离变量的一阶常数微分方程. 下面来求解方程， 分离变量得
dh kdt, h( H h)
常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数，即单位 时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r 根据假设，在 t 到 t t 时间段内，人口的增长量为
ln y x 2 C1
y Ce 为所求通解.
x2
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
数学建模培训－ 微分方程模型
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的
切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
(2)
(3)
y 2 xdx x 2 C 对（1）式两端积分得：
dM M dt
二、微分方程的解法
积分方法，分离变量法
可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
t
C M0
M 所以有， (t ) M 0e
这就是铀的衰变规律。
例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后
降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
H (t ) 20 17e kt
为求出 k 值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有
35 20 17e k 2
求得k 0.063 ，于是温度函数为
H 20 17e 0.063t
将 H 30 代入式(6-21)求解t ，有
10 e 0.063t 17
2
三、建立微分方程数学模型
1、简单的数学模型
2、复杂的数学模型
1、简单的数学模型
利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方
程，确定初始条件；
(2) (3) 求出微分方程的通解； 根据初始条件确定通解中的任意常数，求
出微分方程相应的特解．
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1) d y 0 y(0) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x 2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
直接求 很困难
建立变量能满足 的微分方程
哪一类问题
？
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际 的” , 常涉及到导数. 运用已知物理定律 常 机理分 用建 析法 利用平衡与增长式 微立 分方 运用微元法 方法 程 应用分析法
1 t 6
dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 6
x |t 6 0.03 0.07e 1 0.056,
,
1 t 6
x |t 0 0.1, C 0.07, x 0.03 0.07e
,
6分钟后, 车间内 CO2的百分比降低到 0.056%.
例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1% 的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含0.03%的 CO2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO2的百分比降低到多少?
2、复杂的数学模型
案例1 [小树生长问题－逻辑斯谛方程]
逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型,
下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候
长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于
稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来
x(t t ) x(t ) rx(t )t x(t t ) x(t ) x(t) ~时刻t的人口 rx(t ) t dx rx r t t x(t ) x0 (e ) x0 (1 r) dt x(0) x0
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高 度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不 可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前 高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我 们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度 之差成正比.
又因曲线满足条件 y |x1 2 代入（3）得C＝1
因此，所求曲线的方程为
y x2 1.
回答什么是微分方程：
y ' 2x

建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
y xy ,
2 y 3 y e x , y
d k ( 20) dt
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
模型检验 据估计1961年地球上人口总数为30.6亿，在以后7年中， 人口总数以每年2% 的数度增长，这样
t0 1961, x0 3.06 109 , r 0.02
x(t ) 3.06 10 e
9 0.02(t 1961)
这个公式非常准确地反映了1700－1961年世界人口的总数。 但是：x(2670) 36000 10 ＝36000亿
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
例题
dy 2 xy 的通解. 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 2xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
，即得 t 8.4（小时）。
于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的 8.4 小时， 即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
案例2 人口增长模型
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
1 C C e C1H 0 其中 C2
h(t )的图象称为Logistic曲线. 它的形状, 一般也称为S曲线. 可以看到,
它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得
t
limຫໍສະໝຸດ Baiduh(t ) H .
这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.
解
设尸体的温度为 H (t )，其冷却速度为 即得微分方程模型
dH dt
dH ，根据题意，dt
k H 20
，
dH k H 20 dt H 0 37
k0
其中 k 0 是常数，分离变量并求解得:
H 20 Ce kt
代入初值条件 H 0 37，求得C 17 。于是得该初值问题的解为
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T (0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
或
T m ce
两边积分
dh h( H h) kdt,
1 [ln h ln( H h)] kt C1 , H
或
h e kHt C1H C2 e kHt , H h
所求通解
C2 HekHt H h(t ) , kHt kHt 1 C2 e 1 Ce
是常数。
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
例3 [刑事侦察中死亡时间的鉴定]
牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气 温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴
定。当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律
开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气 的 温度保持20℃不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸 体 发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？
ln(T－m)=－k t+c, kt
, t 0,
代入条件:T (0) 60 T (3) 50 1 16 求得c=42 ， k ln , 3 21 最后得 1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21 , t ≥0.
1 16 结果 ：T(10)=18+42 3 ln 21 10 =25.870， e
一、运用已知物理定律 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍
例1
铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地
有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量 不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理 学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的
含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为 M 0 ，
求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化
解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x(t )% 在 [t , t dt ]内,
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),