基本不等式: ≤(a+b)_PPT
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+y)2-32·2xy=1,
∴(2x+y)2-
3 2
·2x2+y
2≤1,解之得(2x+y)2≤
8 5
,即2x+
2 y≤
510.等号当且仅当2x=y>0,即x=
1100,y=
510时成立.
│ 要点探究
方法2:令t=2x+y,则y=t-2x,代入4x2+y2+xy=1,得 6x2-3tx+t2-1=0,由于x是实数,故Δ=9t2-24(t2-1)≥0,解
│ 要点探究
[点评] 本题中对车距d有两个限制条件,这两个条件是在
不同的车速的情况下的限制条件,解题中容易出现的错误是不
能正确地使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类,即在
车速小于或等于25
2
时,两车之间的最小车距是
a 2
,当车速大
于25 2时,两车之间的最小车距是25100av2.
│ 规律总结
[解答] (1)v>0且a2≥25100av2,解得0<v≤25 2.
(2)当v≤25
2
时,Q=
1000v 3
,Q是v的一次函数,所以,当v
2a
=25
2
时,Q最大为
50000 3a
2 ;当v>25
2
时,Q≤
1000 a1v+25v00
≤250a00,当且仅当1v=25v00,即v=50时,Q最大为250a00.
│ 要点探究
变式题 (1)[2011·东北师大附中三测] a=(m,1),b=(1-
n,1)(其中m、n为正数),若a∥b,则
1 m
+
2 n
的最小值是
________.
(2)[2011·山西师大附中模拟] 已知正数x,y,z满足x2+y2
+z2=1,则S=12+xyzz的最小值为(
)
A.3
( 3+1) B. 2
)
25 8 A. 6 B.3
11 C. 3
D.4
│ 易错警示
[答案] (1)D (2)A
[解析]
(1)a2+
1 ab
+
1 aa-b
=a2-ab+ab+
1 ab
+
1 aa-b
=ab
+
1 ab
+a(a-b)+
1 aa-b
≥2+2=4.当且仅当ab=1,a(a-b)=
1,即a= 2,b= 22时等号成立.
13 6
+ba+ab≥163+2=265,故选A.
│ 易错警示
等式.等号当且仅当a=b=c=23时成立.
│ 要点探究
[点评] 我们把任意交换不等式中两个字母不等式不变的不 等式称为轮换对称不等式,其证明的基本技巧也在“轮换”上, 即先对某个或某几个字母证明一个不等式,其余的类似解决, 最后通过同向不等式相加或相乘达到证明的目的.
│ 要点探究
► 探究点2 利用基本不等式求函数最值
│ 问题思考
► 问题 5 函数 y=sinx+si4nx,x∈0,π2的最小值为 4.( )
│ 问题思考
[答案] 错 [解析] 当 sinx=si4nx时,sinx=±2,显然等号取不到,事 实上,设 t=sinx,则 t∈(0,1],y=t+4t 在(0,2]上为减函数,故 当 t=1 时,y 取最小值 5.
│ 易错警示
自我检评(1)[2010·四川卷] 设a>b>0,则a2+a1b+a(a1-b)的最 小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
│ 易错警示
(2)设x,y满足约束条件 3xx--y+y-26≥≤0,0, x≥0,y≥0,
若目标函数z=ax+
by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为(
│ 易错警示
(2)不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax +by=z(a>0,b>0)
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6,而
2 a
+
3 b
=
2a+3b
2a+3b 6
=
a2+b2
≤
2 .( )
│ 问题思考
[答案]对
[解析] 根据基本不等式和不等式的性质a2+abb≤22aabb= ab;由
于
a+b 2
=
(a+b)2 4
=
a2+b2+2ab
4
≤
a2+b2+a2+b2 4
=
a2+b2 2.
所以a2+abb≤
a+b ab≤ 2 ≤
a2+b2 2.wk.baidu.com
│ 问题思考
► 问题3 当x<0时,函数y=x+1x的最大值为-2.( )
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 与基本不等式有关的函数最值问题 例1 证明下列不等式: (1)已知a>0,b>0,c>0,证明:acb+bac+cba≥a+b+c; (2)已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,证明: a+13 +
b+13+ c+13≤3.
│ 要点探究
[思路] (1)每两个一组使用基本不等式即可;(2)不等式左端
│ 规律总结
3.利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求解目 标,可以建立一个变量的函数关系,也可以建立满足一定条件的二 元函数关系.
│ 易错警示
易错警示
[易错六] 基本不等式—忽视“等号”条件成立的要素 例在算式“4×△+1×○=30”中的△,○中,分别填入两 个正整数,使它们的倒数和最小,则这两个数构成的数对(△, ○)应为________.
警示2:根据求解目标进行常数代换,防止两次使用基本不 等式时,不能保证等号同时成立.
警示3:不要忘记验证等号成立时,具体的变量数据.
│ 易错警示
[方法剖析] 运用基本不等式求最值的一个高频出错点就是 等号不能同时成立,这种情况主要出现在两次使用基本不等式 上,避免出现这种情况的方法之一就是进行常数代换,尽可能只 使用一次基本不等式.
2 10 (2) 5
[解析]
(1)
1 a
+
4 b
=
1 2
(a+b)(
1 a
+
4 b
)=
1 2
(5+
b a
+
4a b
)≥
1 2
(5+
2 ba·4ba)=92.
当且仅当ba=4ba, a+b=2
即a=23,b=43时取到等号.
∴ymin=92.
│ 要点探究
(2)方法1:∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2-3xy=1,即(2x
得上述最小值.( )
│ 问题思考
[答案] (1)对 (2)对 [解析] (1)根据基本不等式xy≤x+2 y2=P42,等号当且仅当x =y=P2. (2)根据基本不等式x+y≥2 xy =2 S ,等号当且仅当x=y = S.
│ 问题思考
►
问题2
如果a>0,b>0,则一定有
2ab a+b
≤
a+b ab ≤ 2
得t2≤
8 5
,即-
2
10 2 5 ≤t≤
10 5
,即t的最大值也就是2x+y的最大值
为2
10 5.
方法3:化已知4x2+y2+xy=1为2x+14y2+ 415y2=1,令
2x+14y=cosα, 415y=sinα,则34y= 515sinα,则2x+y=2x+14y
+34y=cosα+
515sinα=2
[答案] (5,10)
│ 易错警示
[规范解答] 设数对为(a,b),则4a+b=30.
∴1a+1b=3101a+1b(4a+b) =3105+ba+4ba≥130.
当且仅当ba=4ba, 4a+b=30
时等号成立,即ab= =51, 0.
│ 易错警示
[易错警示] 警示1:理解清楚题目给出的4×△+1×○= 30,正确把问题用数学式子表达出来.
C.4
D.2( 2+1)
[答案] (1)3+2 2 (2)C
│ 要点探究
[解析] (1)向量a∥b的充要条件是m×1=1×(1-n),即m+n
=1,故m1 +n2=(m+n)m1 +n2=3+mn +2nm≥3+2 2. (2)根据已知x2+y2=(1+z)(1-z),故1+z=x12+-yz2,
510sin(α+φ)≤2
10 5.
│ 要点探究
[点评] (1)本题常犯的错误是两次使用基本不等式,从而使 等号不能成立;(2)本题是一个典型条件最值问题,已知条件实 际上是一条曲线的方程,目标就是当点(x,y)在这条曲线上变 化时,求线性目标函数t=2x+y的最大值,在本题的各个解法 中注意方法2,这是解决这类试题的一个通用方法.使用基本 不等式求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件,在求解 过程中尽可能地只使用一次基本不等式,如果使用两次基本不 等式则需要验证两次不等式是否等号成立的条件相同,如果两 次不等式等号成立的条件产生矛盾,则求解结果就是错误 的.使用基本不等式求最值有时需要进行适当变换(变换已知条 件和求解目标,常数代换等),看下面变式.
所以S=
x2+y2 (1-z)z·2xy
≥
2xy 1-2z+z2·2xy
=4,等号当且仅当x=
y,z=12时成立.
│ 要点探究
► 探究点3 基本不等式的实际应用
例3 [2011·银川一中五测] 在交通拥挤地段,为了确保交通
安全,规定机动车相互之间的距离d(m)与车速v(km/h)需遵循的
关系是d≥25100av2(其中a(m)是车身长,a为常量),同时规定d≥a2.
│ 知识梳理
2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥__2_a_b__(a,b∈R); (2)ab+ba≥__2__(a,b同号); (3)ab≤a+2 b2(a,b∈R);
│ 知识梳理
3.利用基本不等式求最值问题 已知 x、y∈R+,x+y=P,xy=S,有下列命题: 如果 S 是定值,那么当且仅当__x_=__y_时,x+y 有最小值 _2___S__;
条件变为
a+b 2
=1,进行常数代换;(2)根据已知的和求解的目
标,把已知等式变形为关于2x+y的不等式,或者使用代数换元
的方法,即令t=2x+y,得y=t-2x,代入已知方程,这个方程
的判别式不小于零,或者变换已知式为2x+14y2+ 415y2=1使 用三角换元的方法.
│ 要点探究
[答案] (1)C
的每一个都可以看作是1· 以构造轮换不等式.
+13 的形式,根据基本不等式可
│ 要点探究
[解答] 证明:(1)由于a、b、c均为正实数,∴acb+bac≥2b,
cba+bac≥2c,cba+acb≥2a,三式相加即得欲证不等式成立.
(2)
a+13=
1·a+13≤1+a2+13=23+a2,
同理 b+13≤23+b2, c+13≤23+2c,三式相加即得所证不
(1)当d=a2时,求机动车车速的变化范围;
(2)设机动车每小时流量Q=
1 000v a+d
,应规定怎样的车速,使
机动车每小时流量Q最大.
│ 要点探究
[思路]
(1)把d=
a 2
代入d≥
1 2500
av2,解这个关于v的不等式即
可;(2)根据d满足的不等式,以最小车距代替d,求此时Q的最
值即可.
│ 要点探究
规律总结
1.利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是利用基本不 等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小,在含有三个字 母的不等式证明中要注意利用对称性.
2.利用基本不等式可以求特定条件下的二元函数的最值,其 基本思想是通过变换的方法在已知条件和求解目标之间建立起使用 基本不等式的条件,即“一正、二定、三相等”,其中对条件和求 解目标的变换是解题的关键.
P2 如果 P 是定值,那么当且仅当_x_=__y__时,xy 有最大值___4___.
│ 问题思考
问题思考
► 问题1 x>0,y>0,P,Q为常数
(1)若x+y=P,则xy有最大值
P2 4
,当且仅当x=y=
P 2
取得上
述最大值;( )
(2)若xy=S,则x+y有最小值2 S ,当且仅当x=y= S 取
│ 问题思考
[答案]对 [解析] 当 x<0 时,-x>0,∴y=x+1x=--x+1x≤- 2 x·1x=-2,当且仅当 x=1x,即 x=-1 时取等号,即 y 的最 大值为-2.
│ 问题思考
► 问题 4 若 x>0,y>0,且 x+y=2,则 2xy 的最大值为 1.( )
│ 问题思考
[答案]错 [解析] 2xy≤2x+2 y2=2,当且仅当 x=y=1 时取等号.故 2xy 的最大值为 2.
│基本不等式
基本不等式
│ 考纲要求 考纲要求
1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
│ 知识梳理
知识梳理
1.基本不等式
a+b ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件: _______________a_>_0_且__b_>__0__________.
(2)等号成立的条件:当且仅当__a_=__b___时取等号.
例2 (1)[2011·重庆卷] 已知a>0,b>0,a+b=2,则y
=1a+4b的最小值是(
)
A.72 B.4
9 C.2
D.5
(2)[2011·浙江卷] 设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则
2x+y的最大值是________.
│ 要点探究
[思路] (1)为达到使用基本不等式的目的,可以把已知中的