弹性力学接触问题

设α为圆心O1、O2因压缩 而相互接近的距离，如果M1 与O1、M2与O2之间无相对移 动则M1与M2、之间接近的距 离也为α； 现分别用w1和w2表示M1 点沿z1方向的位移及M2点沿 z2方向的位移（即相外的相 对移动）； 于是M1点和M2点之间的 距离减少为α－(w1+w2)，如果 点M1、M2由于局部变形而成 为接触面内的同一点M，则由 几何关系有： α－(w1+w2)=z1+z2
F
= 9.8×10-4 mm
FE ( R2 R1 ) q0 0.383 2 2 R1 R2 = 940N/ mm
2 2

1 3
接
触
问
题
两弹性体之间的接触压力问题
• 两球体的接触问题
• 圆球与平面（或凹球面）的接触
• 例题
一.两球体的接触问题
根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可 导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变 形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。
设两个球体半径分别为R1和R2,如图。 设开始时两球体 不受压力作用，它仅 接触于一点O，那么此 时，在两球体表面上 取距公共法线距离为r 的M1和M2两点，与O 点的切平面之间的距 离z1和z2.
则由几何关系有：
(R1－z1)2+r2=R12
(R2－z2)2+r2=R22 得
r2 z1 2 R1 z1
r2 z2 2 R2 z2
当M1,M2 离O点很近时， 则 z1＜＜R1, z2＜＜R2， 上面两式可化为：
z1 r2 2 R1
z2
r2 2R2
（a）
而M1、M2两点之间的距离为：
2
1 12 1 22 F E E2 1
2
1 3
在E1=E2=E及ν1= ν 2=0.3时，
FR1 R2 a 1.11 E(R R ) 2 1
F 2 ( R2 R1 ) 1.23 E2R R 1 2
二.圆球与平面（或凹球面）的接触
利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可 得如下公式：
Hale Waihona Puke Baidu
当圆球与平面接触时，将以上结果中的R1=R0,R2→∞ 则得：
3 1 1 a R0 4 E E2 1
2 1 2 2
F
1 3
1 3
F
FE 2 ( R1 R2 )2 q0 0.388 2 2 R1 R2
1 3
= 1080N/ mm
(b)直径为10mm的钢球与钢平面；
FR0 a 1.109 E
3
= 0.069 mm
F2 1.2313 2 E R0
F
= 9.5×10-4 mm
FE 2 q0 0.388 3 R02
(g)
这样，只要式（g）成立，Hertz所假定的接触 面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球 体的体积与的乘积应等于总压力F，即
q0 2 a 3 F a 3
由此的最大压力 q0 3F / 2π 3 a 它等于平均压力F/πa2的一倍半。
（h）
将式（c）和式（h）代入式（g），求解a及α
令q0表示接触圆中心O的压力，则根据上述假定，应 有 q0=ka 由此得： k= q0/a k这个常数因子表示压力分布的比例尺。 接触圆内任一点的压力， 应等于半球面在该点的高度h 和k=q0/a的乘积。由此，不难 从图可以看出，
q0 q0 qd s a hd s a A
ψ
A为弦mn上的半圆（用虚线 表示）面的面积，即
即得：
3 F ( k1 k2 ) R1 R2 π a 4( R1 R2 )
1 3
1 3
2 9πF 2 (k1 k2 )2 ( R1 R2 ) 16 R1 R2
由此并可求得最大接触压力为；
3P 3F 4( R1 R2 ) q0 2a 2 2π 3 F (k1 k2 ) R1 R2 π
积分后得：
(k1 k2 )
π0 q (2a 2 r 2 ) r 2 4a
π0 q (k1 k2 ) (2a 2 r 2 ) r 2 4a
要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项 和r2的系数分别相等，于是有
(k1 k 2 )
2 aq0
2

2 q0 (k1 k 2 ) 4
2

1 3
在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半 空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中 的应力。 最大压应力发生在接触面中心，值为q0； 最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为 0.47a 处，其值为0.31 q0； 最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为 0.133 q0。
2
在E1=E2=E及ν1= ν 2=0.3时，
FR0 a 1.109 E
3
F
F2 1.2313 2 E R0 FE 2 q0 0.388 3 R02
当圆球与凹球面接触时，将以－R1代替两圆球接触 时公式中的R1，则可得：
3 R1R2 1 12 1 22 a E E F 4 R R 2 2 1 1
A

2
(a 2 r 2 sin 2 )
qd s
由于
A
q0 A a

2
(a 2 r 2 sin 2 )
代入后再代入式（e）
(k1 k2 ) q d s d r 2
有
(k1 k2 ) 2 02

θ ψ
dψ
q0 2 2， 2 (a r sin ) d r 2 a 2
(k1 k2 ) q d s d r 2 （e）
到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要 找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。 根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作 半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该 点处的大小。 例如弦mn上一点 压力的大小，可用过 mn所作半圆的高度h 来代表。
3 F 6 1 q0 3 2 π R0 1 12 1 22 E E 1 2
9 1 2 1 2 2 1 2 F 16 R0 E1 E2 1
2
1 3
F
1 3
9 R R 1 2 1 2 2 1 2 F 2 1 16 R1R2 E1 E2
6 R R q0 3 2 1 π R1R2
q d s d
其中ν1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个 接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于 是：
w1 w2 ( k1 k2 ) q d s d （d）
其中
1 12 k1 πE1
1 22 k2 πE2
并由（d）式及(c)式得
= 1010N/ mm
(c)直径为10mm的钢球与半径为 50mm的凹球面相接触；
FR1 R2 a 1.11 E(R R ) 2 1
= 0.071 mm
F 2 ( R2 R1 ) 1.23 E2R R 1 2
1 3
1 3
2 3
在E1=E2=E及ν1= ν 2=0.3时，由上列各 式得出工程实践中广泛采用的公式：
FR1 R2 a 1.11 E(R R ) 1 2
F 2 ( R1 R2 ) 1.23 E2R R 1 2
2
1 3
1 3
FE ( R1 R2 ) q0 0.388 2 2 R1 R2
2
1 3
1 3
F
FE ( R2 R1 ) q0 0.383 2 2 R1 R2
2

1 3
三 例题
直径为10mm的钢球与 a)直径为100mm的钢球； b)钢平面； c)半径为50mm的凹球面相接触， 其间的压紧力P=10N，试球接触圆的半径a,
两球中心相对位移α和最大接触应力q0 。 (E=2.1×105 N/mm2, ν =0.3） .
z1 z 2 r 2 ( R R2 1 1 ) 1 r2 2 R1 2 R2 2 R1R2
当两球体沿接触点 的公共法线用力F 相压 时，在接触点的附近， 将产生局部变形而形成 一个圆形的接触面。由 于接触面边界的半径总 是远小于R1、R2，所以 可以采用关于半无限体 的结果来讨论这种局部 变形。
将式（a）代入，得
w1+w2=α－βr2 其中，

R1 R2 2 R1 R2
(b) （c）
根据对称性接触面一定 是以接触点O为中心的圆。 现以图中的圆表示接触面， 而M点表示下面的球体在接 触面上的一点（即变形以前 的点M1），则按照弹性半空 间受垂直压力q的解答，该 点的位移为：
1 12 w1 πE1
解: a)直径为10mm的钢球与直径为100mm的 钢球；
FR1 R2 a 1.11 E(R R ) 1 2
= 0.067 mm
1 3
1 3
F
1.23
F ( R1 R2 ) 2 E R1 R2
2
= 9.8×10-4 mm