三角运算及三角不等式

――三角运算及三角不等关系

三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。

三角运算

一．三角运算的常规思考

三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。 例1．已知βα,都是钝角，且1312sin =

α，53)cos(=-αβ，求βsin

例2．设βα,为锐角，且)sin(sin sin

22βαβα+=+，求证：2πβα=+。

二．三角变换与方程

数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。

例3．已知⎩⎨

⎧=+=+a b βαβαcos cos sin sin （422≤+b a ），求)sin(βα+，)cos(βα+。

三．三角变换与构造法

通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题

例5．求5

4cos 52cos

ππ+的值。

例6．求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22

例7．已知：0cos cos cos 2211=+++n n A A A ααα

0)1cos()1cos()1cos(2211=++++++n n A A A ααα

求证：对任意R ∈β，恒有0)cos()cos()cos(2211=++++++βαβαβαn n A A A 。

例8 求满足等式4sin 347cos 1215=-+-x x 的锐角x 。

四．三角法

引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。

例9．已知0>>b a ，求证：2

222

2b a b a ab b a ab +<+<<+。

例10．在△ABC 中，P 为形内一点，PD 、PE 、PF 为P 到三边BC 、CA 、AB 的距离，求证：)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++

例11．求函数x x y 3154-+-=的值域。

三角不等关系

这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。

一．三角不等式的证明

证明三角不等式注意3点：

（1）三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。

（2）三角不等式又有自己的特点——含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性（或极值），正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。

（3）三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别之处，需要加倍注意。

例12．若πθ<<0，求证：03sin 312sin 21sin >++

θθθ

例13．已知πθ<<0，证明：22sin 2θθctg

≤，并讨论等号成立的条件。

例14．已知)2,0(,π

βα∈，能否以αsin ，βsin ，)sin(βα+的值为边长，构成三角形。

例15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：

3π≥++++c b a cC bB aA 。

例16．在锐角△ABC 中，求证

（1）C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++；（2）1>tgAtgBtgC

二．三角最值的求解

例17．求函数x x x x b x a x f 22cos cos sin sin )(++=的最大值、最小值)0,(≠≠b c a

例18．求btgx x a y -=

|

cos |的最小值，其中0>>b a

例19．求函数2

sin 1sin 3++=

x x y 的最值。

例20．设12π

≥≥≥z y x ，且2π

=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。

习题

1．︒

-︒︒

20cos 135cos 20cos = 。 2．)3

4(cos )32(cos cos 222ππ++++x x x = 。 3．若Φ≠=++}0sin cos |{2m x x x ，求m 的取值范围。

4．在△ABC 中，2

sin 2sin 2sin C B A 的最大值为 。 5．设n x x x ,,21为n 个实数，则M x x x x x x n n ≤+sin sin sin cos cos cos 2121 时，则M 的最小值为 。

6．函数x

x x x x f 2222sin 1cos cos 1sin )(+++=的值域为 。 7．对任意实数C B A ,,，求A C C B B A 2

22222cos sin cos sin cos sin ++的最大值。

8．在矩形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，且BD AP ⊥，BC PE ⊥于E ，CD PF ⊥于

F ，求证：1)()(3232=+BD

PF BD PE 。 9．任给13个互不相等的实数，求证其中至少有两个实数y x ,满足3210-<+-

A a

B b a cos cos +≥。

11．设α为锐角，求证：223)cos 11)(sin 11(+≥++α

α 12．对)2,0(π

∈x ，求证：tgx x x +