质点系动量守恒定律
3-7质点系的动量定理
t2 v v I 外 = ∫ F外力dt t1
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的 时 动量的增量为零， 动量的增量为零，即系统的总动量保持不变
v 若: F外 = 0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量 :是矢量式 应用时写成分量式 是矢量式,应用时写成 是矢量式 应用时写成分量式
三种 情况 （1）不受外力 ）不受外力; （2）受外力 外力矢量和为零 ）受外力,外力矢量和为零 （3）内力远远大于外力 ） (打击,碰撞,爆炸等) 打击,碰撞,爆炸等)
分动量守恒: 分动量守恒
动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 但若沿某一方向合外力为零, 但若沿某一方向合外力为零,则该方向的动量守恒
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
分析：这是由于外力 车厢的反作用力和重力共同作用的 分析：这是由于外力---车厢的反作用力和重力共同作用的 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 车厢反作用力为一冲力， 车厢反作用力为一冲力，与它相比重力可以忽略不计
一、关于质点系
几个相互作用的质点组成质点系 系统所受的力分为外力和内力 系统所受的力分为外力和内力
外力: 外力
系统外的物体作用于 系统内各质点的力
内力: 内力:
系统内各质点之间的 相互作用力
注:
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力 系统内的所有内力总是由一对对的 作用力和反作用力组成 对于系统: 对于系统
v v0
物理-动量守恒定律 火箭推进原理
2、守恒条件：合外力为零，或外力<<内力；
3、合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒；
Fix, y,z 0 pix, y,z 常量
4、适用范围： 惯性系中普遍适用。
一、动量守恒定律
例：炮车以 角发射一炮弹，炮 车质量为M，炮弹质量 为m，炮弹出口速度为u（对炮车），如图。
求：炮车反冲速度（炮车与地面磨擦力忽略不计）
•多级末速度： υf ui ln Ni
若 u1 u2 un u
υ f ui ln( N1 N 2 N n )
例 u＝2.8km / s N1 N2 N3 15
υ f 22.75km / s
•重力场中： υt u ln M0 gt
M
•自由场中： υt u ln M0
M
火箭质量比：
N M0 Mf
末速度： υ f u ln N
(1) 提高 u（现可达 u = 4.2 km/s）
(2) 增大 N（受一定限制）
Mg
二、火箭推进原理
单级末速度： υ f u ln N
为提高N，采用多级火箭
分析： 炮车+炮弹系统在水平 方向 动量 守恒
设炮弹对地速度为 υ
υ uV υ
u
ห้องสมุดไป่ตู้
V
υx
x
V
υx u x V ucosθ V
二、火箭推进原理 1、动力学方程
F外
M
dυ dt
u
dm dt
υ dυ
F外：火箭系统所受外力；
沿火箭飞行方向为正 u dm：喷气对火箭的反推力
dt
二、火箭推进原理
2、箭体飞行的理想速度
一、动量守恒定律
质点系动量定理
质点系角动量守恒定律
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
质点系动量守恒定律
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
大学物理之3-2 动量守恒定律
3-2 动量守恒定律 -
pe(电子) pe = 1.2 ×10 kg m s 电子) 23 1 pν = 6.4 ×10 kg m s pN α θ 解 pe + pν + pN = 0 pν(中微子) 中微子) pe ⊥ pν 2 2 12 ∴ p N = ( pe + pν ) 22 1 = 1 .36 × 10 kg m s pe o = 61.9 图中 α = arctan pν 或 θ = 180o 61.9o = 118.1o
(3) 若 F )
ex
= ∑ Fi ≠ 0 ,但满足 F
ex
ex x
=0
有 px =
∑m v
i i
i
ix
= Cx
i
F
F
F
ex x
ex y
= 0,
= 0,
= 0,
p x = ∑ mi vix = C x
p y = ∑ mi viy = C y
p z = ∑ mi viz = C z
i
i
ex z
动量守恒定律是物理学最普遍 最普遍, (4) 动量守恒定律是物理学最普遍,最基 本的定律之一. 本的定律之一.
3-2 动量守恒定律 -
已知 v = 2.5 ×10 m s
3
1
v'= 1.0 × 10 m s
3
1
m1 = 100 kg
求
m2 = 200 kg
v1 , v 2
y
s
v
o
y'
s'
m2
v'
m1
z
o'
z'
x x'
质点系动量矩守恒定律
质点系动量矩守恒定律介绍物体的运动是一个复杂的过程，涉及到质点的动量和力矩等概念。
质点系动量矩守恒定律是描述多个质点在相互作用下的动量守恒规律。
本文将深入探讨质点系动量矩守恒定律的原理和应用。
质点系动量矩守恒定律的原理质点系动量矩守恒定律是基于质点的动量和力矩守恒的推导而来的。
在一个封闭系统中，如果没有外力和外力矩的作用，质点系的总动量和总动量矩将保持不变。
质点系动量守恒定律的表达式质点系动量守恒定律可以用以下表达式表示：∑m i⋅v i⃗⃗⃗ =∑m i⋅v i⃗⃗ ′其中，m i表示第i个质点的质量，v i⃗⃗⃗ 表示第i个质点的速度，v i⃗⃗ ′表示第i个质点的速度在相互作用后的值。
质点系动量守恒定律的应用质点系动量守恒定律的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1. 弹性碰撞在弹性碰撞中，两个物体之间发生碰撞后会互相作用。
根据质点系动量守恒定律，碰撞前后质点系的总动量保持不变。
这种定律在撞球、弹簧振子等场景中得到了广泛的应用。
2. 力矩平衡在一个力矩平衡的系统中，物体对轴产生的力矩之和为零。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量矩也将保持不变。
这个应用场景常见于杠杆平衡、旋转机械等领域。
3. 爆炸反应在爆炸反应中，物体间发生的爆炸会导致质点系的动量发生变化。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量依然保持不变。
这个原理被应用于爆炸物理学和火箭动力学等领域。
4. 流体力学在流体力学中，质点系动量守恒定律被广泛应用于描述流体的运动。
根据定律，流体中各个质点的总动量保持不变，从而可以推导出流体动力学的一些基本方程。
质点系动量守恒定律的证明质点系动量守恒定律可以通过牛顿定律的推导来证明。
假设在一个封闭系统中，只有内力存在，没有外力作用。
根据牛顿第三定律，内力满足作用力与反作用力相等且方向相反。
因此，内力互相抵消，系统的总动量保持不变。
质点系动量守恒定律的局限性质点系动量守恒定律在某些特殊情况下可能不适用，比如包含外力或外力矩的系统。
§3.5 动量守恒定律的常见形式
一、质点系动量守恒定律
若 Fi 0 ，则：
i
i
p＝恒矢量 i
1.内力远大于外力，可近似认为动量守恒。 例:碰撞、打击、爆炸等. 2.动量沿某一坐标轴的投影守恒。
＝恒量 例：若 Fix 0 则： pix
i i
例1
已知：粒子 B 的质量是粒子A 的质量的 4 倍， 开始时粒子A 的速度为 ( )，粒子 B
v
m( x1 x ) M ( x2 X ) xC mM
V
x1
x2
L x X
解得：
x X
x 2 x1
已知：m，v0 , θ
2 1 m1 m;m2 m 3 3
例5 y
v0
求：x2
o
x1
m1
m2 xC x2
x
解：（一）动量守恒定律
(二)质心运动定理
y
炮弹炸裂后，质心 仍沿原路径飞行
v0
o
x1
m1
m2 xC x2
x
注意： 1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的
过程中，往往可忽略外力。 3、动量守恒可在某一方向上成立。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。
drc drc 又 vc ，若vc (t 0) 0，即 0 dt dt 则：rc 恒矢量
质心位置恒定不变
i
已知:质量为m的人站在一质量为M、长为L的小车 例4 一端，由静止走向车的另一端，求人和小车各移动 了多少距离?(不计摩擦) m
3.2质点系的动量定理动量守恒定律
t2
内力冲量之和
fidt
同样，由于每个质点的
i t1
受力时间dt 相同,
t2
t2
fidt ( fi )dt
因为内力之和为零：
i t1
t1 i
fi 0
fi
mi
质点系
Fi
i
所以有结论：
t2
fidt 0
i t1
内力的冲量 之和为零
质点系的重要结论之二
则，质点系的动量定理
t2
F外dt P P0 （积分形式）
第2步，对所有 质点求和：
i
(
t2 t1
Fidt
t2 t1
fidt)
i
(Pi Pi0 )
第3步，化简上式： 外力冲量之和 内力冲量之和
先看外力冲量之和
由于每个质点的受力
时间dt 相同,所以：
i
t2 t1
Fidt
( t2
t1
i
Fi )dt
t2 t1
F外dt
2
第三章动量与角动量
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时,
Lm
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，
地面所受链条的作用力。
解设
ml
l
ml L
链条在此时的速度 v 2g(l h)
h
dm dl dt
根据动量定理 fdt 0 (vdt)v
f vdt v v 2 2m(l h)g
dt
L
f'
地面受力
F
f
' ml g
m (3l L
2h)g
10
第三章动量与角动量
动量守恒定律
子弹的速度。
l
v
M
s
28
解：根据动量守恒定律得
m v = (m + M )u
根据机械能守恒定律得
1 (m + M )u 2 = (m + M ) gh 2
l
v
h
M
s
由图知
h = l - l 2 - s2
解以上三方程的联立方程组得
m+M v= m 2 g (l - l 2 - s 2 )
n
质点系动量定理
如果质点系不受外力作用，或所受合外力为零，即：
Fi 0
n i 1
d dt
n
mi vi 0
i 1
n
mi vi 恒矢量
i 1
3
mi vi 恒矢量
i 1
n
该式表明，在外力的矢量和为零的情况下，质点系的 总动量不随时间变化。这个结论称为动量守恒定律。 学习该定律时，应该说明的几点：
得 由三角关 系可算得
2，
v 1 u 1 cos v 2： u 1 sin
X 3 346 (m· s-1) 400× 2 1 -1) 200 (m· s 400 × ， 2 ， 27
2 2
90º 30º 60º
例 ：如图所示的装置称为冲击摆, 可用它来测定
子弹的速度。质量为M的木块被悬挂在长度为l的细 绳下端, 一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中 木块, 并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆 动, 当到达最高位置时, 木块的水平位移为s。试确定
v3 v1 cos
y
v3
θ
v1
O
质点系动量定理 动量守恒定律
i
i
当Fz Fiz 0时，pz miviz 常量
i
i
7、动量守恒定律只适用于惯性系。在非惯性系 中必须考虑到惯性力才能用动量定理和动量守恒定 律；
例 水平光滑的铁轨上有一小车，车长 L，质量为M，
车端站有一人，质量为m。人和车原来都静止不动，
现设该人从一端走到另一端，求人和车各移动的距离.
vv车 M
vv人
m 已知： L, M , m, 0
求：X、x
解：1）以人和车为研究
L
对象
L
X
X
x
2）分析力：系统在 水平方向受力为零
3）以地球为参照系 建立坐标OX
4）依动量守恒
O
列方程
mvv人 M vv车 0
vv车
m M
vv人
整个过程中，人在车上行走了 距离 L，故要找到 L 与人的速度的关系。
uur ex F2
ur d P1 dt
ur P2 dt
uur F1 ex
uur ex F2
uur d (P1
dt
ur P2)
r dP dt
uur (F1 ex
uur ex
r
F2 )dt dP
F1ex
f1in
p1
F2ex
p2
f
in 2
质点系所受的合外力的冲量，等于质点系的 总动量的改变量。
m2
O
m1
y
y
解 以竖直悬挂的链条和桌面上的 链条为一系统,建立如图坐标
则 F ex m1g yg
由质点系动量定理得
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
什么是动量守恒定律
什么是动量守恒定律动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的物理定律。
它表明在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律是质点运动的基本定律之一，它与质量和速度密切相关。
质点的动量定义为质量与速度的乘积，即动量=质量 ×速度。
根据动量守恒定律，如果质点或质点系系统中的质点没有受到外力作用，或者外力作用合力为零，则系统的总动量在运动过程中保持不变。
动量守恒定律可以用数学公式来表示。
对于一个由n个质点组成的系统，在任意时刻t的总动量为：P_total(t) = P_1(t) + P_2(t) + ... + P_n(t)其中，P_i(t)为第i个质点在时刻t的动量。
动量守恒定律是通过对系统内部相互作用力和外力之和的分析得出的。
在一个孤立系统中，由于没有外力作用（或外力合成为零），系统内部相互作用力之和为零。
根据牛顿第三定律，质点i对质点j的作用力与质点j对质点i的作用力大小相等、方向相反。
因此，系统内各质点的作用力对总动量的贡献相互抵消，导致总动量保持恒定。
动量守恒定律适用于各种不同的物理情境。
在力学中，例如弹性碰撞和非弹性碰撞中，质点间的相互作用力可以改变质点的动量，但总动量保持不变。
在流体力学中，根据质点流体运动的动量守恒定律，可以推导出流体动量守恒定律，描述流体运动过程中总动量的守恒。
动量守恒定律的应用广泛，并在科学和工程领域中有着重要的意义。
例如，在交通工程中，研究车辆碰撞时的动量守恒可以帮助设计安全的汽车结构和防护设施。
在天体力学中，动量守恒定律用于解释行星间的相互作用和天体运动的轨迹。
此外，在核物理学和高能物理学中，动量守恒定律被广泛应用于粒子加速器中的粒子碰撞实验和粒子物理过程的研究。
总结起来，动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的基本物理定律。
它指出在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
质点系的动量守恒定律
质点系的动量守恒定律一、前言质点系的动量守恒定律是力学中一个非常重要的定律，它描述了质点系在不受外力作用下动量守恒的情况。
本文将从以下几个方面来详细介绍这个定律：定义、公式、证明、应用以及注意事项。
二、定义质点系是指由多个质点组成的系统。
在不受外力作用下，质点系内部的相互作用力使得系统内部各个质点之间的动量发生改变，但是系统整体的动量却保持不变。
这就是质点系的动量守恒定律。
三、公式根据牛顿第二定律，一个物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。
因此，对于一个由N个质点组成的系统，其总动量可以表示为：P = m1v1 + m2v2 + ... + mNvN其中，mi和vi分别表示第i个质点的质量和速度。
如果该系统不受外力作用，则其总动量保持不变：ΣPi = Σmi vi = 常数这就是质点系的动量守恒定律。
四、证明证明该定律可以采用牛顿第三定律和牛顿第二定律。
具体证明过程如下：1. 假设一个由N个质点组成的系统不受外力作用，其总动量为P0。
2. 假设第i个质点受到第j个质点的作用力Fij，根据牛顿第三定律，Fij = -Fji。
3. 根据牛顿第二定律，Fij = mi ai，其中ai是第i个质点的加速度。
4. 对于整个系统来说，Σmi ai = 0。
因此，Σmi vi = P0是一个常数。
5. 如果该系统在某一时刻发生碰撞或者其他内部相互作用力的变化，则会导致其中某些质点的速度发生改变。
但是由于其他质点对这些质点的作用力仍然满足牛顿第三定律，因此整个系统的总动量仍然保持不变。
6. 因此，在不受外力作用下，质点系的总动量守恒。
五、应用1. 碰撞问题在碰撞问题中，可以利用质点系的动量守恒定律求解碰撞前后物体的速度和方向等信息。
例如，在弹性碰撞中，两个物体碰撞前后总动量保持不变，因此可以通过总动量守恒定律求解碰撞后物体的速度和方向。
2. 火箭推进问题在火箭推进问题中，可以利用质点系的动量守恒定律分析火箭的推进效率。
动量守恒定律
例2、一质量均匀分布的柔软细绳 、 铅直地悬挂着， 铅直地悬挂着，绳的下端刚好触 到水平桌面上， 到水平桌面上，如果把绳的上端 放开，绳将落在桌面上。试证明： 放开，绳将落在桌面上。试证明： 在绳下落的过程中， 在绳下落的过程中，任意时刻作 用于桌面的压力， 用于桌面的压力，等于已落到桌 面上的绳重量的三倍。 面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标， 时刻已有 证明：取如图坐标，设t时刻已有 x长的柔绳落至桌面，随后的 时 长的柔绳落至桌面， 长的柔绳落至桌面 随后的dt时 间内将有质量为ρ 间内将有质量为ρdx(Mdx/L)的柔 的柔 绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止， 的速率碰到桌面而停止， 绳以 的速率碰到桌面而停止 dx 它的动量变化率为： 它的动量变化率为： − ρ dx ⋅
p(t ) = λ xvi
链条的动量随时间的变化率为
dp(t ) dx = λ v i = λ v 2i dt dt
作用在整个链条的外力，有手的提力 ，重力λxg和 作用在整个链条的外力，有手的提力F，重力 和λ(lx)g以及地面对链条的支持力 ，由牛顿第三定律知 与 以及地面对链条的支持力N，由牛顿第三定律知N与 以及地面对链条的支持力 λ(l-x)g大小相等，方向相反，所以系统所受的合外力为 大小相等， 大小相等 方向相反，
dp dv dM F= =M −u dt dt dt
dv dM M =F +u dt dt
dM 叫作火箭发动机的推力 u dt
2、火箭运动的速度公式
对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭， 对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可 以认为系统不受外力作用， 以认为系统不受外力作用，即F=0
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L 所以 F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
质点系动量定理
质点系动量定理质点系动量定理是一个物理学中重要的定理，它描述了物体在不受外力干扰的情况下，其动量的总和将恒定不变。
它也被称为质点系动量守恒定律，或简称动量守恒定理。
它由英国物理学家威廉汉弗莱斯斯特兰奇（William H.F. Strutt）于1902年首先提出。
质点系动量定理的运用广泛，它说明了物体的动量的总和在某一时刻可以在没有外力干扰的情况下保持不变。
也就是说，当外力不作用时，它保证物体的动能在任何时刻保持不变。
这就是所谓的动量守恒定理。
它还说明了当外力作用时，物体的总动能也将发生变化。
即受外力的作用，物体的动能总和也会发生改变，有增有减。
换句话说，当物体受到外力的作用时，它的动能总和将发生变化，即动量定理不再成立。
这个定理也被应用于多体系统，它表明：多体系统的动量的总和也受外力的作用而发生变化，即总动量不再恒定不变，而是会受外力的作用而发生变化。
质点系动量定理的有趣地方是，当其中的任何物体受到外力的作用时，整个系统的动能总和将发生改变，而并不只是这个物体本身的动量发生改变。
如果相对论性质也考虑在内，这个定理就可以被引申出更多的结论。
举个例子，在相对论当中，如果一个质点系统中有两个物体，由于它们之间的运动状况相互影响，当两个物体受到外力的作用时，它们的动能并不是变化的，而是一个物体的动量增加而另外一个物体的动量减少而使得总的动能不变。
总的来说，质点系动量定理是物理学中重要的定理，它描述了物体在不受外力干扰的情况下，其动量的总和将保持恒定不变；它也给出了动量定律、相对论以及多体系统分析中有关物体动能变化的重要指导。
同时它也被广泛用于物理、力学和电子学科的研究中，其影响力是非常深远的。
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
3-2-1质点的冲量 动量定理 质点系的动量守恒定律
4.动量守恒定律只适用于惯性系。
大学物理学
北京交通大学 理学院 赵红娥
物体动量的矢量和不变，而不是指
某个物体的动量不变。
N
∑ 2.系统动量守恒条件：F外 = Fi外 = 0 i =1
满足下面之一：
①系统不受外力；
②合外力=0；
③内力>>外力。
如在碰撞、打击、爆炸等相互作 用时间极短的过程中，内力>>外 力，可略去外力。
N
∑ 3.若 F外 = Fi外 ≠ 0 ， i =1
大学物理学
三、 质点的冲量 动量定理 质点系的动量守恒定律
冲量
由力的定义式
F
dP =
得 Fdt = dp
dt
考虑时间过程 : t1 → t2
∫ ∫ t2 Fdt = t1
p2 dp
p1
=
p2
−
p1
=
∆p
定义力的作用对时间的积累量称为力的冲量
∫ I = t2 Fdt t1
国际单位：Ns 量纲：MLT－1
(3) 动量定理的分量式
∫
I
x
=
t2 t1
Fx dt
=
mv 2 x
− mv 1 x
∫
I
y
=
t2 t1
Fy dt
=
mv 2 y
− mv 1 y
∫
I
z
=
t2 t1
Fz dz
=
mv 2 z
− mv 1z
思考问题： “一质点在某一过程中，所受合力的冲 量为零，则该质点的动量一定守恒”。 这说法正确否？ 答：不对。
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
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m m0
v0
v
v0
v
kg
这便是某物体“质量的操作型定义”。
从上面的讨论可看出，二物体相碰， m 大者较难改变运 动状态或速度，m 小者则较易。因此上式所定义的质量应叫做 “惯性质量”，并简称质量，以示它与另外一种质量概念—— 引力质量相区别。
二、动量•动量守恒定律
动量的概念虽普遍适用于物理学各个领域，但从历史上讲， 动量的概念却是在研究碰撞和打击问题时建立的。人们在研究 打击和碰撞过程中，发现质点作机械运动的“运动量”不只依 赖于其运动速度，而且是依赖于质量，质点的质量和速度越大， 它的“运动量”就越大。因此，人们就引用质点的质量和速度 的乘积来量度质点的“运动量”，称为动量，其数学表达式为
便会永远保持静止或匀速直线运动的状态。这便是通常所说的 牛顿第一定律。我们到现在为止还没有给力下过严格的定义。
我们不妨改用下列较为现代化的说法来表达惯性定律：
自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。
孤立质点（自由质点）：不受其他物体作用或离其他一切物体 足够远的质点。 牛顿第一定律表述的只是一种理想情况，无法用实验直接 验证，它的正确性主要在于它所推出的结果和实验事实相符合。 定律揭示了维持物体的运动不需力的作用，而是靠物体本身的 惯性，惯性是任何物体都具有的固有属性。定律还揭示了力和 运动的关系，即力是使受作用的物体改变运动状态的原因，力 是产生加速度的原因。 既然运动只能相对于参考系来确定，对 S 系为匀速运动的 物体，对 S′系可能成为非匀速的。那末，一个自由运动物体 在 S′系看来惯性定律不成立，可想象：一定存在着这样的参考 系，相对于它，所有不受外力作用的物体都保持自己的速度， 这类特殊的参考系称为惯性参考系。
简言之，牛顿第一定律在其中成立的参考系称为惯性参考系 （惯性系）。
一个参考系是不是惯性系要依靠观测和实验来判断。实验
证明，地球不是一个精确的惯性系，但由于它旋转得较慢，只 要我们所讨论的问题不是象大气或海洋环流牵涉空间范围较大、 时间间隔较长的过程，固定在地面上的参考系（基本参考系或 实验室参照系）可看成近似程度相当好的惯性系。
第三章 动量定理及动量守恒定律
（Chapter 3 Theorem of momentum &
Law of conservation of momentum）
前言
牛顿第一定律和惯性参考系
惯性质量 • 动量和动量守恒定律
牛顿运动定律 • 伽利略相对性原理
主动力和被动力
牛顿运动定律的应用
非惯性系中的力学 用冲量表述的动量定理 质点系动量定理和质心运动定理 经典力学中动量守恒定律的常见形式
三、本章思考题及练习题
1. 思考题：105—107页 2. 练习题：3.4.2 3.4.4 3.5.1 3.8.1 3.5.2 3.8.3 3.4.5 3.5.5 3.4.8 3.6.2 3.4.13 3.6.2 3.4.14 3.6.4 3.4.18 3.7.5
§1 牛顿第一定律和惯性参考系
力的概念虽然出现得很早，但是关于力和运动的关系的正 确认识，却得到相当晚。在亚里士多德的《物理学》中有一条 原理：“凡运动着的事物必然都有推动者在推动着它运动。” 这个论断在几乎两千年的时间里，被认为是无可怀疑的经典。 伽利略用一个理想实验证明了亚里士多德的错误，他曾做过一 系列小球沿斜面下滑的实验。 伽利略的正确结论隔了一代人以后由牛顿总结成动力学的 一条最基本的定律：任何物体，只要没有外力改变它的状态，
p mv
通过两质点在气桌上碰撞，发现对任何两质点均有：
m1v1 m2 v 2 m1v1 m2 v 2 m1v10 m2 v 20
我们把由两个或更多个有相互作用的质点或物体所组成的 研究对象称为质点系或物体系。质点系内各个质点动量的矢量 和叫作质点系的动量， p pi mi vi 实验表明：若质 点系不受质点系以外其它物体的作用，该质点系动量守恒—— 质点系动量守恒定律。
二、本章的基本要求
1. 了解牛顿运动定律建立的基本历史线索，深刻理解牛顿运动 定律的基本内容，理解力、惯性的涵义；
2. 理解动量、冲量的概念，掌握动量定理和动量守恒定律；
3. 理解力学相对性原理； 4. 了解惯性力的物理意义及在非惯性系中运用牛顿定律求解动 力学问题的方法； 5. 掌握质心概念和质心运动定律。
§2 惯性质量 • 动量和动量守恒定律
只有“自由粒子”相对于惯性系才可能静止或作匀速直线 运动，显然，我们不可能真正观察到自由粒子，更多情况是质 点运动状态发生变化。因此需要研究质点运动状态变化的规律。
一、惯性质量
我们现在观察两个质点，它们只受它们之间相互作用的影 响。实验上发现：
● 在任意给定的时间间隔内，这两个速度的变化 v1和 v 2 方向相反； ● 不论时间间隔 t 如何，速度的变化 v1 和 v 2的大小之比 总是一样的。 v1 kv 2 ，式中 k 对于每一对质点是相同的， 而与它们怎样运动无关。 现在取某一物体作为标准物体，并用 O 表示它，然后，让 质点与标准质点 O 相互作用。并用 v 0 和 v 分别表示标准物 体与某物体的速度改变量，将与二物体有关的 k 记作 m m ,有
火箭的运动（自学）
前
言
一、本章的基本内容及研究思路
运动学只描述物体的运动，并不阐明物体运动的原因。运 动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。自 牛顿发表他的《原理》300多年来，人类对于自然界的认识已经 发生了天翻地覆的变化。表面上看来，能量、动量和角动量三 个定理和三个守恒定律是牛顿运动方程的数学变形，但物理学 的发展表明，能量、动量和角动量是更为基本的物理量，它们 的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。它既适用于宏观世界， 又适用于微观世界；既适用于实物，又适用于场。因此我们从 动量入手研究动力学。在力学中，牛顿定律仍保持其应用的重 要地位。本章还讨论了力学相对性原理、非惯性参照系和惯性 力。用冲量概念表述的动量定理和经典力学中动量定理以及动 量守恒定律的常见形式。