2021高二数学寒假作业同步练习题：数列大题专项训练
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题12 数列大题专项训练
一、巩固基础知识
1．已知数列}{n a 是递增的等差数列，32=a ，1a 、13a a -、18a a +成等比数列。 (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)若13+=
n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和n S ，求满足25
36
>n S 的最小的n 的值。 【解析】(1)设}{n a 的公差为d (0>d )，由条件得：31=+d a ，211)2()72(d d a a =+，0>d ，
解得11=a ，2=d ，∴12-=n a n ； (2))1
21
121(23)12)(12(331+--=+-==
+n n n n a a b n n n ， ∴1
23)1211215131311(23+=
+--+⋅⋅⋅+-+-=n n
n n S n ， 由
2536123>
+n n 得12>n ，∴满足25
36
>n S 的最小值的n 的值为13。 2．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且121+=+n n S a (+∈N n )。 (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)若数列}{n b 满足13-=n b n a ，求数列}{
n
n
a b 的前n 项和n T 。 【解析】(1)当1=n 时，1212+=a a ，
当2≥n 时，n n n n n a S S a a 22211=-=--+，即n n a a 31=+，
∴等比数列}{n a 的公比是3，∴123a a =，即11312a a =+，故11=a ， 故数列}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，13-=n n a ； (2)由(1)知，13-=n n a ，又13-=n b n a ，∴11-=-n b n ，故n b n =，∴13
-=n n n n a b ， 则1
2321033132333231---+
-+-+⋅⋅⋅+++=
n n n n n
n n T ， =n T 31 n n n n n n 3
313233323112321+-+-+⋅⋅⋅+++--， 两式相减得n n n n n n n n n n n T 32322333
1131
1331313131313132123210⨯+-=---
=-+++⋅⋅⋅+++=---， ∴1
3
43
249-⨯+-=
n n n T 。 3．已知数列}{n a 满足122++=+n n n a a a ，n S 为}{n a 的前n 项和，8522a a a =+，255=S 。数列}{n b 为等比
数列且0>n b ，11a b =，512
2
a a
b =。 (1)求2b 的值； (2)记n n n a b
c ⋅+=
)3log 2(43，其前n 项和为n T ，求证：3
4≥n T 。
【解析】(1)由122++=+n n n a a a 得数列}{n a 为等差数列，设公差为d ，则由8522a a a =+，255=S 得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯⨯+=+2524553)(211d
a d
d a ，解得⎩⎨⎧==211d a ， ∴12)1(21-=-+=n n a n ，∴11=a ，95=a ，
由512
2
a a
b =且0>n b 得32=b ； (2)设}{n b 的公比为q ，由(1)可知3=q ，∴13-=n n b ， ∴)1
21
121(2)12()12(4)3log 2(43+--=-⋅+=⋅+=
n n n n a b c n n n ，
)1
211(2)1211215131311(2+-=+--+⋅⋅⋅+-+-=n n n T n ，
易知n T 随着n 的增大而增大，∴3
4)31
1(21=
-=≥T T n 。 4．已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和是n S ，且123+-⋅=t t S n n (+∈N n )。 (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设n n S b +=11
log 3
1
(+∈N n )，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T 。 【解析】(1)11231+=+-=t t t S ，171292+=+-=t t t S ，12512273+=+-=t t t S ，
则111+==t S a ，t S S a 6122=-=，t S S a 18233=-=，则t t t 18)1()6(2⋅+=， 解得1=t ，21=a ，3=q ，∴132-⋅=n n a ；
(2)1313132-=--⨯=n
n n S ，n b n n
n ==-+=3log 1311log 33
1
，设132-⋅=⋅=n n n n n b a c ， 则123210323)1(23)2(2363432---⋅+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n n n T ①，
n n n n n n n T 323)1(23)2(2363432312321⋅+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=--②，
①-②得n n n n n T 323232323232212210⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=---
13)21(321332)333(2110-⋅-=⋅--=⋅-+⋅⋅⋅++⨯=-n n n n n n n n ，
∴2
1
23)12(+⋅-=n n n T 。