2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调考试数学(理)试题(解析版)

2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调考试数学（理）

试题

一、单选题

1．已知()2

sin 3

απ+=-

，则cos2=α（ ） A ．

79

B ．19

-

C ．

19

D ．59

-

【答案】C

由三角函数的诱导公式求得2

sin 3

α=

，再由余弦的倍角公式，即可求解. 解：由三角函数的诱导公式，可得()2

sin sin 3απα+=-=-，即2sin 3

α=， 又由2

2

2

1cos 212sin 12()3

9

αα=-=-⨯=. 点评：

本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，410S =，则6S 等于（ ） A ．12 B ．18

C ．24

D ．42

【答案】B

根据24264,,S S S S S --成等差数列列方程组，解方程求得6S 的值. 解：由于{}n a 是等差数列，故24264,,S S S S S --成等差数列，所以

()422642S S S S S -=+-，即()62104410S -=+-，解得618S =.

故选：B. 点评：

本小题主要考查等差数列前n 项和的性质，考查方程的思想，属于基础题.

3．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作

为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线

ˆ13.7433095.7y

x =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

根据ˆb

和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数. 解：由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，

又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选：D. 点评：

回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数

2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.

4．函数2cos 1

()22

x x

x f x --=-的部分图象大致是（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

根据函数的奇偶性及03

x π

<<时，()0f x >进行排除即可得解.

解：因为2cos 1

()22

x x

x f x --=

-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以B ，D 错误， 当03

x π

<<时，()0f x >，所以C 错误.

故选：A. 点评：

本题主要考查了识别函数图像，一般从以下几个方面进行选择即可：奇偶性，定义域，特殊值，极限值，属于基础题.

5．已知1F ，2F 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，

212121

4

BF BF F F ⋅≥，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A ．1(0,]2

B ．2(0,

]2

C ．3(0,

]3

D ．1(,1)2

【答案】C

用,,a b c 表示出2

1212,BF BF F F ⋅，解出不等式得出e 的范围. 解：由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，

则1sin c

OBF e a

∠=

=， 所以22

121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，

因为212121

4

BF BF F F ⋅≥

，即222(12)e a c -≥， 22(12)e e -≥，即21

3

e ≤.

03

e ∴<≤

. 点评：

本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题. 6．若()

4

21ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为 A ．2- B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出()

4

2

1ax x -+的通项公式()24t

r t

r t r C C a x --，

令25r t -=，解此不定方程得出t ,r 的值，得到关于a 的方程，可得解. 解：(

)

()44

22

11ax x

x ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦,所以()4

21x ax ⎡⎤+-⎣⎦的展开式的通项为()()

()

()2221444r

r t

t

t

r

r t r t

r t r r r T C x ax C C x ax C C a x --+=-=-=-，其中

0,1,2,3,4;0,1,

r t r ==，

令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨

=⎩或3

4

t r =⎧⎨=⎩， 当13

t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()314312C C a a ⋅⋅-=-， 当34

t r =⎧⎨

=⎩时，5x 的系数为()343

3444C C a a ⋅⋅-=-， 因为5x 的系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即

()()22270a a a -++=，所以2,a =

故选：B . 点评：

本题考查二项式展开式中的特定项的系数，本题关键在于将底数的三项式，组合成二项，运用二项式展开式的通项，建立方程求解，属于中档题.

7．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）