2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调考试数学(理)试题(解析版)

2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调考试数学（理）试题一、单选题1．已知()2sin 3απ+=-，则cos2=α（ ） A ．79B ．19-C ．19D ．59-【答案】C由三角函数的诱导公式求得2sin 3α=，再由余弦的倍角公式，即可求解. 解：由三角函数的诱导公式，可得()2sin sin 3απα+=-=-，即2sin 3α=， 又由2221cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 点评：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，410S =，则6S 等于（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．42【答案】B根据24264,,S S S S S --成等差数列列方程组，解方程求得6S 的值. 解：由于{}n a 是等差数列，故24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-，即()62104410S -=+-，解得618S =.故选：B. 点评：本小题主要考查等差数列前n 项和的性质，考查方程的思想，属于基础题.3．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数. 解：由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选：D. 点评：回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.4．函数2cos 1()22x xx f x --=-的部分图象大致是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A根据函数的奇偶性及03x π<<时，()0f x >进行排除即可得解.解：因为2cos 1()22x xx f x --=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以B ，D 错误， 当03x π<<时，()0f x >，所以C 错误.故选：A. 点评：本题主要考查了识别函数图像，一般从以下几个方面进行选择即可：奇偶性，定义域，特殊值，极限值，属于基础题.5．已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．1(0,]2B ．2(0,]2C ．3(0,]3D ．1(,1)2【答案】C用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅，解出不等式得出e 的范围. 解：由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥，即222(12)e a c -≥， 22(12)e e -≥，即213e ≤.03e ∴<≤. 点评：本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题. 6．若()421ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为 A ．2- B ．2C ．3D ．4【答案】B将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出()421ax x -+的通项公式()24tr tr t r C C a x --，令25r t -=，解此不定方程得出t ,r 的值，得到关于a 的方程，可得解. 解：()()442211ax xx ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+-⎣⎦的展开式的通项为()()()()2221444rr tttrr t r tr t r r r T C x ax C C x ax C C a x --+=-=-=-，其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==，令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩， 当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()314312C C a a ⋅⋅-=-， 当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3433444C C a a ⋅⋅-=-， 因为5x 的系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即()()22270a a a -++=，所以2,a =故选：B . 点评：本题考查二项式展开式中的特定项的系数，本题关键在于将底数的三项式，组合成二项，运用二项式展开式的通项，建立方程求解，属于中档题.7．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A ．2764B ．916C ．81256D ．716【答案】B四名学生随意选择共256种选法，恰有一个地方未被选中共144种，所以其概率为916. 解：四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A ⨯=⨯⨯⨯=种， 所以恰有一个地方未被选中的概率为144925616=. 故选：B 点评：此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其本质是利用排列组合知识解决计数问题.8．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较3log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小.解：当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()x x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 点评：本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.9．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（）（容器壁的厚度忽略不计）A．36πB．40πC．41πD．44π【答案】C根据题意可知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，然后利用公式可计算出球体的表面积.解：由题意知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为141364122++=，因此，该球形容器的表面积的最小值为414414ππ⋅=.故选：C.点评：本题考查长方体的外接球，解题的关键就是要弄清楚球为长方体的外接球时，球的半径最小，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.10．已知定义在R上的偶函数()()()()()cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1 BC ．12D 【答案】A根据辅助角公式化简()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+-⎪⎝⎭由函数为偶函数求出ϕ，再由()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出ω，将6π代入表达式即可求解.解：()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 为偶函数，0ϕπ<< 所以23ϕπ=，即()2cos f x x ω=， 又因为x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 可得：()002f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2cos 02cos02πω+=，解得()22k k Z πωππ=+∈ 所以42k ω=+，0>ω且ω取最小值，所以2ω=综上可得()2cos2f x x =，∴2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A 点评：本题考查了辅助角公式、诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题11．不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()ln3,2B ．[)2ln3,2-C ．(]0,2ln3-D ．()0,2ln3-【答案】C设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解出即可. 解：由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C.点评：本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A ．25|235t t B ．25|25t t C ．|223t t D ．|222t t【答案】D为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，分析其正切值即可求出.解：设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点. 分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ， 可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB ，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B Mθ；当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，此时111111tan 2222A B A B B FB M θ，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为|222t t ，故选D. 点评：本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,3),3a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120︒，则()a ab -=________.【答案】7根据平面向量的数量积公式可得.解：因为(1,3)a =,所以2||1(3)2a =+=, 所以||||cos120a b a b ⋅=123()32=⨯⨯-=-, 所以()a ab -=222(3)437a a b -⋅=--=+=. 故答案为:7 点评：本题考查了平面向量数量积,属于基础题.14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过A 点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，有下面三个结论：①点H 是1A BD ∆的中心；②AH 垂直于平面11CB D ；③直线1AC 与直线1B C 所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.【答案】①②③对于①，先利用线面垂直的性质，结合已知条件，得到1HB HD HA ==，进而可判断①；对于②，由已知条件，根据面面平行的判定定理，得到平面11//CB D 平面1A BD ，再由AH 垂直于平面1A BD ，即可判断②；对于③，连接111,,AC BC AD ，根据线面垂直的判定定理，得到1B C ⊥平面11ABC D ，即可得出11AC B C ⊥，从而可判断③解：对于①，因为AH ⊥平面1A BD ，1AB AD AA ==， 所以1Rt Rt Rt ∆≅∆≅∆ABH ADH AA H ， 所以1HB HD HA ==，所以H 是1A BD ∆的外心；又因为1A BD ∆是等边三角形，所以点H 是△1A BD 的中心.故①正确； 对于②，因为1111//,=A B AB A B AB ，//,=CD AB CD AB ，所以11//A B CD ，且11A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//B C A D . 又因为1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD . 同理可证11//B D 平面1A BD .又因为1111B C B D B ⋂=，所以平面11//CB D 平面1A BD ；又因为AH 垂直于平面1A BD ，所以AH 垂直于平面11CB D .故②正确； 对于③，连接111,,AC BC AD .因为四边形11BCC B 是正方形，所以11B C BC ⊥.因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1B C AB ⊥. 又因为1BC ABB ，所以1BC ⊥平面11ABCD .又因为1AC ⊂平面11ABC D ，所以11AC B C ⊥， 所以直线1AC 与1B C 所成的角是90°.故答案为①②③ 点评：本题主要考查棱柱相关结构特征的判断，熟记棱柱的结构特征，以及线面、面面平行与垂直的判定定理即可，属于常考题型.15．已知F 为抛物线2C y x ：＝的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且OA OB ⋅＝12(其中O 为坐标原点)，若AFO 的面积是18，则BFO 的面积是______ 【答案】12根据三角形AFO 的面积求得A 点的纵坐标，代入抛物线方程求得A 点的坐标，根据12OA OB ⋅=及B 点在抛物线上，求得B 点的纵坐标，由此求得三角形BFO 的面积.解：设()()1122,,,A x y B x y ，且120y y ⋅<.由抛物线2y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，而111111,1,1248AFO S y y x ∆=⨯⨯===.由121221212OA OB x x y y x y y ⋅=+=+=①，由于B 在抛物线上，故222y x =②，由①②解得24y =，所以2111242BFO S y ∆=⨯⨯=.点评：本小题主要考查抛物线上点的坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查三角形的面积公式，考查方程的思想，属于中档题.16．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin (23)b A a B =-，则B =__________．若D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 15BC =_________．【答案】6π15①利用正弦定理sin sin sin (23)B A A B =，得sin 23B B =，即可求解； ②根据三角形ACD 的面积求出15sin 4ACD ∠=，得出余弦值根据余弦定理求出AD ，利用正弦定理求15sin 8A =，再求BC . 解：①ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin 0A >由题：sin (23cos )b A a B =-，由正弦定理可得：sin sin sin (23cos )B A A B =-， 所以sin 23cos B B =-，sin 3cos 2B B +=，2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,B π∈，所以6B π=，②锐角三角形ACD 152CD =，4AC =， 所以1sin 152CD AC ACD ⨯⨯⨯∠= 所以15sin ACD ∠=，所以1cos 4ACD ∠=，锐角三角形ACD 中，由余弦定理：1414224144AD =+-⨯⨯⨯=， 由正弦定理sin sin ACD A AD CD ∠=，15sin 8A =，在ABC ∆中由正弦定理可得：sin sin BC ACA B=， 解得：15BC .故答案为：①6π15点评：此题考查利用正余弦定理和面积公式解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，合理使用.三、解答题17．在2018、2019每高考数学全国Ⅰ卷中，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲.2018年髙考结束后，某校经统计发现:选择第22题的考生较多并且得分率也较高.为研究2019年选做题得分情况，该校高三质量检测的命题完全采用2019年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题):第22题的得分统计表第23题的得分统计表(1)完成如下2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，并说明理由.附:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】(1) 列联表见解析；有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第23题，理由见解析（1）由已知数据可填好列联表，计算出2K 观测值10.828k >，从而可知有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；（2）分别计算全体学生两道题的平均得分，选做平均得分较大的题. 解：（1）由数据表可得22⨯列联表如下：则2K 的观测值()212002004005001008011.4210.8287005003009007k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.(2)全体高三学生第22,23题的平均得分分别为:()1144757507532005125822510 6.4700700x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； ()213746350623685658270107.5500500x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； 21x x > ∴以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第23题.点评：本题考查独立性检验解决实际问题、利用平均数估计总体的数据特征等知识；考查学生的计算和求解能力，属于较易题. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11160,,2BAC A AC A AB AA AB AC ∠=∠=∠===,点O 是BC 的中点.（1）求证:BC ⊥ 平面1A AO ；（2）若11A O =，求直线1BB 与平面11A C B 所成角的正弦值. 【答案】(1) 见解析;(2) 21sin 7θ=. 试题分析：（1）利用11A AB A AC ∆≅∆可得11A B A C =,而AB AC =，O 是BC 中点，所以1,AO BC AO BC ⊥⊥，由此可证得BC ⊥平面1A AO .（2）以1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值为217. 试题解析:(1)11111111,,A AC A AB AB AC AA AA A AB A AC A B AC ∠=∠===∴∆≅∆∴=.又O 为BC 中点，1,AO BC A O BC ∴⊥⊥.又11,,AO AO O AO AO ⋂=⊂平面1,A AO BC ∴⊥平面1A AO .(2)60,2,BAC AB AC O ∠===为BC 中点，2,1,3BC BO CO AO ∴====又222111112,1,,AA A O AO A O AA AO A O ==∴+=∴⊥.又由（1）知，1,BO AO BO AO ⊥⊥，则以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则)()()()1,0,1,0,0,1,0,0,0,1A B C A-.()()1113,1,0,0,1,1C A CA A B∴===-.设平面11A C B的一个法向量为(),,n x y z=，则yy z+=-=，令1x=，得(()111,3,,n BB AA=-==-.设1BB与平面11A C B的所成角为θ，则11·23sin727·BB nBB nθ===.19．已知单调等比数列{}n a中，首项为12，其前n项和是n S，且335441,,2a S S a S++成等差数列,数列{}n b 满足条件(n b123n12.a a a a=(Ⅰ) 求数列{}n a、{}n b的通项公式；(Ⅱ) 设1n nnc ab=-,记数列{}n c的前n项和n T.①求n T;②求正整数k，使得对任意*n N∈，均有k nT T≥.【答案】(Ⅰ)1()2nna=；(1)nb n n=+；(Ⅱ)①见解析；②见解析.(Ⅰ)由题意首先求得数列的公比，据此即可确定数列{}n a的通项公式，进一步利用递推关系可得数列{}n b的通项公式；(Ⅱ)①.结合(Ⅰ)中求得的通项公式分组求和即可确定n T的值；②.利用作差法结合指数函数和一次函数增长速度的关系可得k的值.解：(Ⅰ)设11nna a q-=. 由已知得53344122S a S a S=+++即5341222S a S=+进而有()543122S S a-=. 所以53122a a=，即214q=，则12q=±，由已知数列{}n a是单调等比数列，且11.2a=所以取12q=，数列{}n a的通项公式为12nna⎛⎫= ⎪⎝⎭.∵(12312n bna a a a=，∴232222n⨯⨯⨯⨯=()12222nn n b+=则()1nb n n=+.数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+. (Ⅱ)由(Ⅰ)得()11121n n n n c a b n n =-=-+ ①设n n p a =，{}n p 的前n 项和为n P .则2111112222n n nP =+++=-. 又设1111n n q b n n ==-+，{}n q 的前n 项和为n Q . 则1111111122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以n n n T P Q =-= 112n -1111112n n n ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭ ②令1111112212n n n n T T n n ++-=--+=++ ()()()()11122212n n n n n n ++++-++.由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减.所以，4T 最大.即当4k =时，k n T T ≥. 点评：本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法，数列中最大项的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值.【答案】（1）见证明（2）22解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直； （2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值. 解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值. 解：解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ， ()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =-，()11,1,2B C a =--． 因为0DE BC ⋅=，10DE BC ⋅=， 所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂=于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =， 则0n BC ⋅=，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =-，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1cos ,sin30n B C =︒，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得2a =，(1,1,2n =． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211cos ,2n AF n AF n AF+⋅==⋅，所以二面角1D BC B --的余弦值为2． 解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ,AB AC = ∴ AF BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC∴ 1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ,1B B ⊂平面11BCC B ,1BC B B B ⋂=∴ AF ⊥平面11BCC B ．E 为1B C 中点，∴ 1EF BB ，112EF BB =， ∴ EF DA ，EF DA ＝，∴四边形ADEF 为平行四边形， ∴ AF DE ．∴ DE ⊥平面11BCC B ．（2）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =， 则0n BC ⋅=，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =-，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1|cos ,)|sin30n BC <>=︒，11n B C n B C⋅∴=⋅()22121242a a =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，解得22a =，(1,1,2n =． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫=⎪⎝⎭，211cos ,2n AF n AF n AF+⋅==⋅所以二面角1D BC B --的余弦值为2． 解法3： （1）同解法2．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =AF =,BD DC ==DF ∴==12BDCSBC DF ∴=⋅=，1112BCB SBB BC =⋅=， D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDC D BCB V V --=得11133BCB BDC S DE S d⋅=⋅，即113232d ⋅=⋅⋅ d =．因为1B C与平面BCD 所成的角为30︒， 所以12sin30dB C d ===︒，而在直角三角形1B BC 中1B C ===，解得a =因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，DF ⊂平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角， 而22DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒， 所以二面角1D BC B --的余弦值为22．点评：本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,13（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:260l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。