2004北京科技大学应用物理、材料物理普通物理热学考题及答案

2004应用物理、材料物理普通物理热学考题及答案

概率：[10分]考虑一个赌博游戏（俄罗斯轮盘赌），一把左轮手枪中装有6粒子弹，其中只有一粒是真的，其他5粒都是假的。

（1） [3分]扣动扳机连续射击，第一枪就射出子弹的几率是多少？

（2） [3分]第一枪未射出子弹，但第二枪射出子弹的几率是多少？

（3） [4分]前两枪未射出子弹，第三枪射出子弹的几率是多少？ 解：（1）1/6；（2）1/6；（3）1/6；

随机行走模型[8分]：太阳的半径为m R sun 810959.6⨯=，光子在太阳内部由于频繁散射平均自由程只有cm a 2=，已知光速为18100.3-⋅⨯=s m c 。

（1）[4分]假设光子在太阳内部的运动可以用随机行走模型描述，估算一个光子由太阳中心出发经过多少年才能到达太阳表面？

（2）[4分]光子在射出太阳表面后即为自由传播，太阳表面距离地球大约为

m 11105.1⨯，求光子由太阳表面到达地球所需时间？

解：（1）sun R =，()2

282102126.95910 3.510 1.210210sun R m N a m -⎛⎫⨯⎛⎫===⨯=⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭， 2121038111.210 2.0108.010 2.5103.010*********Na m s T y c m s s y

---⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⋅⨯⨯⨯⋅ 如果0.5a cm =，2

10000Na R T y c ac

===； （2）11811.5105008min 3.010m T s m s

-⨯'===⨯⋅

绝热过程[14分]：

（1）[4分]试证理想气体在准静态绝热过程中常数=γpV 。

（2）[3分]假设理想气体是单原子分子组成（即质点系），则?=γ

（3）[4分]并请对理想气体准静态绝热过程，导出下列公式：常数=-γγ1p T

。

（4）[3分]把300开1大气压的单原子理想气体准静态绝热地压缩到5个大气压，求终态温度为多少？

解：（1）热力学第一定律：dU dQ dA =+，绝热过程：0dQ =，

理想气体内能改变：v dU C dT =，理想气体作功：dA pdV =-，

所以：0v C dT pdV +=，由于是准静态过程，所以可应用理想气体状态方程： pV RT =（假设1摩尔气体），0v dT dV C R T V

+=，积分可得：v C R T V Const = 将pV T R

=代入上式：()v v v C C C R R pV V p V Const +==，其中：v p C R C += 定义：p

v C C γ=，所以：pV Const γ=；（2）32v C R =，52p C R =，所以：53

γ= （3）利用：RT V p =，1T T p Const p p

γγ

γγ-==，所以：1T Const p γγ-=；（4）利用：0.430015

K T =，得到：300 1.9570T K K =⨯=

理想气体的混合熵[8分]：n 摩尔理想气体的态函数熵可表示为：0ln ln S V nR T C S V ++=，这里V C 为等容热容，在温度范围不大的区间内可视为常数，假设有一个隔板将此体积为V 的理想气体等分为两部分，每部分含有相同温度和压强的相同理想气体。

（1）[3分]计算有隔板时两部分气体的熵；

（2）[3分]计算隔板移去后，整个系统的熵；

（3）[2分]在此过程中是否有熵的变化发生?为什么？

解：（1）假设v C 是等容摩尔热容，隔板将理想气体分为左右相等两部分，即：

0ln ln 2222L R v n n V S S S C T R ==++，0ln ln 2

L R v V S S nC T nR S +=++；（2）隔板移去后：0ln ln v S nC T nR V S =++；（3）比较（1）（2）结果，我们发现熵增加了，

这可解释为混合过程是一不可逆过程，即便是相同的气体分子混合，我们也无法得到隔板打开前的气体分子分布状况。但实际上同种气体的混合，应当是一可逆过程，因为无论何时我们将同种气体进行分隔，都不会与混合前有任何差别，所以熵在混合前后又应当保持不变。这种矛盾就叫作Gibbs 佯谬，并且我们发现这里定义的熵并不是广延量。这里的关键是相同分子是否可以被分辨，根据经典力学，总可以无限地辨认分子的轨迹得到区分，因此Gibbs 佯谬总存在。但根据量子力学，分子（或称全同粒子）在原则上是不可分辨的，我们无法知道隔板放下前后每个粒子的具体位置，我们只能知道它们在盒子内的分布情况，因此熵应保持不变，Gibbs 佯谬自然不存在。Gibbs 是统计力学的创始人，他是通过重新定义熵为：0ln ln v V S nC T Nk S N

=++来避免佯谬的，这里N 是总粒子数，这样定义后熵将成为广延量。Gibbs 佯谬只有在学习过量子力学的全同性原理后我们才能在概念上完全清楚。

季燕江（北京科技大学、物理学系）