第6节课 飞行器数学模型及其自然特性

（3）动力学方程
Fx vr wq g sin u m ur wp g cos sin v Fy m Fz uq vp g cos cos w m
（3）动力学方程
如果发动机偏置角 T T 0,那么根据机体坐标系与气流坐标 系之间的转换关系 X
俯仰角运动、偏航角运动及滚转角运动
由于飞机具有一个几何和质量的对称面，根据各自由度 之间的耦合强弱程度，可以将六自由度运动分成对称面内和 非对称面内的运动
2.3.2
六自由度飞机运动方程
一个角运动 : 俯仰q 航程L 纵向 两个线运动:高度H 滚转p 侧向 两个角运动:偏航r 一个线运动 : 侧偏Y
的正弦和余弦项，是因为空气动力是定义 之所以出现 、
在气流坐标系的，需要转换到机体坐标系。
（3）动力学方程
再根据气流坐标系与机体坐标系之间的转换关系得到气流 角 , 和飞行速度V之间的关系：
u V Vcoscos T v Sαβ 0 Vsin w body 0 wind Vsincos
飞行控制系统
第六节课(20160406)
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(feikong)
（2）偏航力矩
滚转角速率p引起的偏航力矩（交叉动态力矩），主要由机 翼和垂尾两部分产生。
1 N A ( p ) C np ( V 2 ) S w b p 2 C n p (C n p ) v (C n p ) w

C np
pb p 2V
C n 为交叉动导数，由机翼和垂尾两部分组成。 p
对于垂尾而言，当飞机向右滚转时，即 在垂尾处产生局部侧滑角
p 0 ，这相当于
0 ，因而产生负的侧力和正
的偏航力矩 N A ( p ) 0 ，因此 (C ) 0 np v
（2）偏航力矩
机翼对交叉动导数 Cnp 的影响较为复杂。当飞机向右滚转 时，即
熟悉飞机姿态角，航迹角以及气流角的定义以及方向。 熟悉纵向静稳定性导数，航向静稳定性导数以及横滚静稳定 性导数对飞机稳定性的影响。
2.2.7 作用在飞机上的推力与重力
（1）发动机推力
发动机根据其安装情况不同有不同的推力表达式。典型安装图如图 1-34所示。只讨论一种单台尾部安装情况。
2.2.7 作用在飞机上的推力与重力
2.3 飞行器运动方程组
2.3.1 建立飞机运动方程的基本假定
2.3.2 六自由度（非线性）飞机运动方程 2.3.3 飞机运动方程的分组与线性化
2.3.1 建立飞机运动方程的基本假定
认为飞机不仅是刚体，而且质量不变； 假定地球固定于空间，即略去地球自转、公转的影响;
假定飞机有一个对称面xoz（机体坐标系）,且飞行器不仅
Cn 副翼操纵交叉导数；
a
Cnr 航向阻尼导数。
复习 飞机静稳定性判定
纵向静稳定性导数
Cm
Cm 0, 纵向静稳定； Cm 0, 纵向静不稳定； Cm 0, 纵向中立静稳定；
横滚静稳定性导数
C l
Cl 0, 横滚静稳定； Cl 0, 横滚静不稳定；
航向静稳定性导数
几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积
I xy I zy O
忽略地面曲率，视地面为平面;
2.3.2
六自由度飞机运动方程
(1) 飞机运动的自由度：(six-degrees-of freedom) 飞机在空间的运动有六个自由度， 1）质心沿地面坐标系的三个移动自由度（线运动） 增减运动、升降运动及侧移运动 2）绕机体坐标轴系的三个转动自由度（角运动）
（2）偏航力矩
（2）偏航力矩
复习 CY


侧向气动力及力矩系数含义
CY 方向舵侧力系数；
r
侧力系数；
Cl 横滚静稳定性导数； C 滚转操纵导数； l a Cl r 操纵交叉导数； C 滚转阻尼导数；
lp


Clr 交叉动导数；
Cn航向静稳定性导数；

Cnr航向操纵导数； Cn p交叉动导数；
通常发动机固定于飞机纵轴方向。设发动机的推力作用点
在机体坐标系的坐标为： lx , l y , lz 。并将发动机推力T的偏置 角 T和 T 定义为：发动机推力T在飞机对称平面OXZ内的投影 与X轴的夹角为 T ，规定其投影在X轴之下为正；推力T在 OXY平面内的投影与对称平面OXZ的夹角为T ，规定其投影
（3）动力学方程
2）力平衡方程式：
F iX jY kZ
wq vr )m X (u dv ur wp )m F m Y (v dt Z (w vp up )m
（3）动力学方程
将前面推导的重力单独写出来有： （已将重力转换到机体坐标系）
将力方程写成用飞行速度V、迎角 和侧滑角 表示的形
式更方便计算。对上式两边分别求导数：
V cos sin cos cos u V sin cos V V cos sin V v V sin sin w V sin cos V cos cos
dV dV 1V V dt dt
dL dL 1H L dt dt
（3）动力学方程
1V ：沿 V 的单位向量； ：动坐标系对惯性系的总角速度向量； ip jq kr 1L：沿动量矩 L 的单位向量； V iu jv kw ：表示叉乘 v 是牵连加速度。
2.2.7 作用在飞机上的推力与重力
（3）重力 飞机所受的重力Biblioteka Baidu可表示为：
G mg
式中，m为飞机质量，g为重力加速度。由于重力属于惯性力， 其方向总是指向地心，所以在惯性坐标系（地面坐标系） Sg 中的三个分量可表示为：在机体坐标系中可表示为： 由于重力总是通过重心的，所以对重心不产生力矩。
Gxg 0 G yg 0 m g Gzg Gx m g sin G m g cos sin y Gz m g cos cos body
（3）动力学方程
飞机运动方程应包括动力学方程及运动学方程：
动力学方程——以动力学为基础，描述力与力矩平衡关系 的方程，亦即为考虑在体轴系下运动参数与力、力矩的 方程。（由于体轴系为动坐标系，所以建方程时既要考 虑绝对运动，又要考虑相对运动（牵连运动）。 运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系，找出体轴系 下角速度、位移量与地面轴系下角速度、位移量的关系。
T L sin Y cos sin D cos cos
m Y cos D sin m L cos Y sin sin D sin cos m
ur wp g cos sin v uq vp g cos cos w
（2）发动机的推力力矩
Tz 以 由上述发动机的推力T在机体坐标系的分量Tx ， Ty ， 及发动机推力作用点在机体坐标轴的坐标 lx , l y , lz ，可将 发动机推力力矩 M , N , L 表示为：


T
T
T
M T Tx lz Tz lx T cosT cos T lz sin T cos T lx NT Tx l y Ty lx T cosT cos T l y sin T lx L T l T l T sin cos l sin l y z z y T T y T z T
p 0，且迎角 较小，当副翼正向偏转时，即
a 0 ，“左上右下”操纵，飞机的右机翼迎角增大，升
力增大，左机翼相反运动，迎角减小，升力减小。 右机翼迎角增大，增大的升力前倾，产生平行于ox轴的分 力，左机翼相反，其合力产生负的偏航力矩。
(C n p ) w 0
（2）偏航力矩
（3）动力学方程
结合前面牛顿定律得气流坐标系内动力学方程：
T cos cos D G mV xa T cos sin Y mV ( p sin r cos ) G mV ya T sin L mv cos mV ( p cos sin q cos r sin sin ) Gza
Fx T L sin Y cos sin D cos cos Fy Y cos D sin Fz L cos Y sin sin D sin cos
（3）动力学方程
力平衡方程式：
vr wq g sin u
dL dV 和 ：表示在动坐标系内的相对导数。 dt dt dL dV 和 ：表示在惯性坐标系内的绝对导数。 dt dt

（3）动力学方程
2）力平衡方程：
dv jv kw I v iu dt
v p q r i(wq vr) j (ur wp) k (vp uq) u v w i j k


在对称平面OXZ之左为正。
2.2.7 作用在飞机上的推力与重力
Ty 和 Tz 分别为： 则发动机的推力T在机体坐标系的分量 Tx ，
Tx T cosT cos T Ty T sin T T T sin cos T T x
2.2.7 作用在飞机上的推力与重力
body T S X wind 有：
Fx T D F T 0 Sαβ Y y 0 body L wind Fz body
其中：D为阻力；Y为侧力；L为升力。将上式展开有：
（3）动力学方程
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运
动参数间关系的方程，显然包括两组方程：
力平衡方程式：理论依据―牛顿第二定律： dv F ma m dt 力矩的平衡方程式： 理论依据―动量矩定理 ：

dL M dt
（3）动力学方程
1）牵连运动
选定地面坐标系为惯性坐标系，因此，基于机体坐标系 建立的飞机运动方程要考虑牵连运动。
C n
Cn 0, 飞机具有稳定偏航力矩； Cn 0, 飞机具有不稳定偏航力矩；
稳定的偏航力矩在 使侧滑角减小的同 时，却使机头转到 新的方向。因此， 稳定的偏航力矩只 是对速度轴向起稳 定作用，因此又称 为风标稳定性力矩
复习 本节重点
熟练掌握常用坐标系的定义以及坐标系之间的转换关系。
（2）坐标系选择
坐标系选择：选坐标系—机体系 飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（飞机姿态 变化），及飞机三个线位置的变化，在建立六自由度方程 时，选机体坐标系。 选体轴系下列好处： 假定3利用飞机对称平面，使 I xy I zy 0 ； 飞机质量不变，因此转动惯量和惯性积为常值； 机体轴的姿态角和角速度就是飞机的姿态角和角速度。