2020年高三文科数学考前大题强化练三附答案详析

2020年高三文科数学考前大题强化练三
17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；
（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018
111b b b b b b +++L 的值．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．
（1）证明：1//BC 平面1A CD ．
（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积．
19．（本小题满分12分）
某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以
80“”
（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？
（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．
附表及公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、
B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且121
3
k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求
12S S -的值．
21．（本小题满分12分） 已知函数()()()2211
2ln 1ln 242
f x x x ax x x =
----． （1）讨论()f x 的单调性．
（2）试问是否存在(]
,a e ∈-∞，使得()13sin 44
a f x π
>+
对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程22
22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）．
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y
y y
=⎧⎨
=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线
l 距离的最大值．
23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式2
|25|5x a x a +++-<． （1）当1a =时，求不等式的解集；
（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围．
答案解析
17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；
（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求
122320172018
111b b b b b b +++L 的值． 【解析】（1）121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥，
注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以1
3n n a -=．
（2）n b n =，于是
()11111
11
n n b b n n n n +==-++， 所以
1223201720181111111120171223201720182018
b b b b b b +++=-+-++-=L L ． 18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．
（1）证明：1//BC 平面1A CD ．
（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积． 【解析】（1）连接1AC 交1A C 于点O ，连接OD ． 因为四边形11AAC C 是平行四边形，所以O 是1AC 的中点．
因为D 是AB 的中点，所以1//OD BC ．
又OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．
（2）设三棱柱111A B C ABC -的高为h ，底面ABC ∆的面积为S ， 则三棱柱111A B C ABC -的体积12V S h =⋅=． 又111A A CE C AA E C ABA V V V ---==，1113C ABA A ABC V V Sh --==，所以11
1243
A A CE V -=⨯=． 19．（本小题满分12分）
某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．
（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有
关？
（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．
附表及公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【解析】（）由题意可知拥有驾驶证的人数为：人，则拥有驾驶证且得分为优秀的人
数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：
()100100.0150.00520⨯⨯+=人，∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人，则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：
100-
()2
210015552551225
12 6.6354060208096
K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯，
∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．
（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=，
∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；
其余的3人记为,,a b c ，从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，
()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个，
∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63
105
P =
=， 20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、
B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且121
3
k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、
2S ，求
12S S -的值．
【解析】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200
221x y a b
+=，①
∵2
00012220001
3
y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，② ∴联立①②得(
)(
)
22
22
30b a x a --=，∴()22
03a a b x =≠，∴222
2
22
12133a b e a a c -===-=
，∴e =． （2）由题意知，24c =，即2c =，
由（1）知，2
2
3a b =，∴22224a b c b =+=+，∴2
2b =，2
6a =，∴椭圆C 的方程为：22162
x y
+=．
由已知得l
：)2y x -
，联立)2
2
21
6
2y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=． 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，
于是
)12121212S S y x x -=⨯+
=+
-
== 21．（本小题满分12分）
已知函数()()()2211
2ln 1ln 242
f x x x ax x x =
----． （1）讨论()f x 的单调性．
（2）试问是否存在(]
,a e ∈-∞，使得()13sin 44
a f x π
>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞． 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增； 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增． （2）假设存在(]
,a e ∈-∞，使得()13sin 44
a f x π>+
对[)1,x ∈+∞恒成立．
则()31123sin 444a f a π=-
>+，即8sin 1504a a π-->， 设()8sin 154x
g x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos
044
x
g x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >． 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44
a f x π>+， 所以由（1）得：
当a e =时，()f x 在[
)1,+∞上单调递增，所以()()min 33
1=2=244
f x f a e =--， 且3123sin 444
e e π
-
>+成立，从而a e =满足题意； 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，
所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧
>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩
所以2
2,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪
⎨--->⎪⎩（*）． 设()()24sin 124
2x
h x ex e x e π=---<<，()4cos
04
4
x
h x e π
π=-
'>，则()h x 在()2,e 上单调递
增，
因为()2
28130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞，所以
2x e <<即2e a <<．
综上，存在(]
,a e ∈-∞，使得()13sin 44
a f x π
>+
对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e ． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程22
22x t y t ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）．
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y
y y =⎧⎨=⎩
得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线
l 距离的最大值．
【解析】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：22
1x y +=．
（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，d ==
其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d ． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式2
|25|5x a x a +++-<． （1）当1a =时，求不等式的解集；
（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =时，令()|1||3|5g x x x =++-<， 当1x <-时，()225g x x =-+<，解得312
x ->>-； 当13x -≤<时，()45g x =<，不等式恒成立； 当3x ≥时，()225g x x =-<，解得732x ≤<
．综上所述，不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
． （2）2
2
2
|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+，所以2
255a a -+<，
即25255a a -<-+<，解得()0,2a ∈。