动点的轨迹问题

动点的轨迹问题

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动点的轨迹问题

根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题:一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口,注重考查学生的逻辑思维能力,运算能力,分析问题和解决问题的能力,而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识,能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化(检验）

建(坐标系)设（动点坐标)现（限制条件,动点、已知点满足的条件）代(动点、已知点坐标代入）化（化简整理)检验（要注意定义域“挖”与“补”)

求轨迹方程的的基本方法：

１．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,ｙ的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。

2．定义法:运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点Ｐ(ｘ,ｙ)却随另一

动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将ｘ’,ｙ’表示为x，y的式子，再代入Ｑ的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中

间变量（参数）,使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

５.交轨法：求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

6.转移法:如果动点P随着另一动点Ｑ的运动而运动,且Q点在某一已知曲线上运动，那

么只需将Ｑ点的坐标来表示，并代入已知曲线方程,便可得到Ｐ点的轨迹方程。

７.几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程。

8.待定系数法:求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时,常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程,然而作差求出曲线的轨迹方程。

此部分内容主要考查圆锥曲线,圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略。

二、注意事项:

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即Ｐ点满足的等量关系，因此要学会动中求静,变中求不变。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨

⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

4.求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。

【典型例题选讲】 一、直接法题型：

例１ 已知直角坐标系中，点Q(2,0)，圆C 的方程为12

2

=+y x ,动点Ｍ到圆C 的切线长与

MQ 的比等于常数)0(>λλ,求动点M 的轨迹。

解：设MN 切圆C 于N,则2

22

ON MO MN

-=。

设),(y x M ，则2

2

2

2

)2(1y

x y x +-=-+λ

化简得0)41(4))(1(2

2

2

2

2

=++-+-λλλx y x (１）当1=λ时，方程为4

5

=

x ,表示一条直线。 (2)当1≠λ时，方程化为2

2

22

222)

1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 说明:求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

变式－ - 如图,圆1O 与圆2O 的半径都是1,421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切

P

y

x

Q

M

N

O

线PM 、P Ｎ(M 、N 分别为切点)，使得PN PM 2=.试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨

迹方程.

解：以21O O 的中点Ｏ为原点,21O O 所在的 直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=

可得：222PN PM =

因为两圆的半径均为1,所以)1(212

22

1-=-PO PO

设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2

2

2

-+-=-+y x x ,即33)6(2

2

=+-y x 所以所求轨迹方程为:33)6(2

2

=+-y x （或03122

2

=+-+x y x ）

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式,化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

二、定义法题型：

运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义）,可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB ｜=|ＢC|＝6,⊙O ′切直线ｌ于点A ，

又过B 、C 作⊙Ｏ′异于l 的两切线,设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点, 两切线交于点P.由切线的性质知:|ＢＡ|=|ＢD|，|ＰD|=|PE|，|ＣA|=｜C Ｅ|,故|PB ｜+|PC|=｜B Ｄ|＋|PD|+｜ＰC|＝｜BA|+｜P Ｅ|＋|ＰＣ| =｜BA|＋｜ＣE|＝|ＡB|+｜CA ｜=6+１2＝１８>6=｜BC|，

故由椭圆定义知,点Ｐ的轨迹是以Ｂ、C 为两焦点的椭圆, 以ｌ所在的直线为x 轴,以B Ｃ的中点为原点,建立坐标系,