正切函数图像及性质 PPT课件

例1.求函数 y tan( x ) 的定义域、单调区间.
23
解：函数的自变量x应满足
x k , k ,
23
2
即
x 2k 1 , k . 3
所以，函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
.
由 k x k, k
2
2 32
解得 5 2k x 1 2k, k .
探究点1 正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
( k k k
2
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周
期函数吗？其最小正周期为多少？
因为 f (x ) tan(x )
tan x f (x),
所以y=tanx是周期函数, 最小正周期是π.
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具
32
y
3
O x
32
记住正切函数在一个周期
( , ) 内的图象 22
【变式练习】
解不等式（1）1 tan x 0；
（2）tan(x ) 3 . 63
答案:（1）
x
k
4
x
k
2
,
k
；
（2）
x
k
3
x
k
2 3
,
k
.
1、y＝tanx( C )
A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数 C．在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上为增函数 D．在每一个闭区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上为增函数
【即时训练】
求下列函数的周期 (1)y＝2tan(2x＋π3)； (2)y＝3tan(12x－π4)． 【解题关键】利用周期函数的定义求解，或利用 y ＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为|ωπ |求解．
解析：(1)∵T＝|ωπ |，ω＝2，∴T＝π2. ∴y＝2tan(2x＋π3)的周期为π2. (2)∵T＝|ωπ |，ω＝12，∴T＝2π. ∴y＝3tan(12x－π4)的周期为 2π.
2．f(x)＝tan(x＋π)是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
3．函数 y＝tanx－π4的定义域是( D ) A．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}
B.
xx∈R，x≠kπ＋π2
，k∈Z
C.
xx∈R，x≠2kπ＋π4
，k∈Z
D.
xx∈R，x≠kπ＋34π
，k∈Z
4．直线 y＝a(a 为常数)与正切曲线 y＝tan ωx(ω 是
常数且 ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是( C )
A．π
2π B. ω
π C.ω
D．与 a 的值有关
5.函数 y＝3tanx－1 的定义域是_x__x≠__π2_＋_k_π_，_k_∈_Z___．
正切函数 图像性质
如何操作？
22
作法: (1) 等分
(2) 作正切线， 平移
o1
(3) 连线
y
Βιβλιοθήκη Baidu
2
x
O 3 84 8
3
84 8
作正切函数的图象：正切曲线
3
O
2
正切曲线是由被互相平行的直线 x= k, k Z
2
所隔开的无穷多支曲线组成的.
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π.( ) (4)函数 y＝tan x 为奇函数，故对任意 x∈R 都有 tan(－x)＝－tan x. ( )
3
3
因此，函数的单调递增区间是
( 5 2k, 1 2k), k . 33
掌握正切函 数的性质是 解决此类问
题的关键
【变式练习】
求函数 y＝tan3x－π3的定义域，并指出它的单调 性．
【解题关键】
把 3x－π3看作一个整体，借助于正切函数的定义 域和单调区间来解决．
解析：要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x
π 7.函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期 T＝|ω|.
函数 tan(sin x)的值域为________________．
例2. 比较 tan 1，tan 2，tan 3 的大小． 【解题关键】可先把角化到一个单调区间中，再利
用单调性比较大小．
【解析】∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．
又∵π2＜2＜π，∴－π2＜2－π＜0. ∵π2＜3＜π，∴－π2＜3－π＜0， 显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2， 且 y＝tan x 在－π2，π2 内是增函数， ∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 因此 tan 2＜tan 3＜tan 1.
22
内是增函数.
思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的
单调性如何？
提示:
正切函数在开区间
(
2
k
k
k
内都是增函数
思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
正切函数会不会在某一区间内是减函数？
提示: 不是 不会
探究点2 正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线
作正切函数 y tan x, x ( , ) 的图象，具体应
－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，得 x≠k3π＋51π8(k∈Z)，
∴函数的定义域为xx≠k3π＋51π8，k∈Z
.
令 kπ－π2<3x－π3<kπ＋π2(k∈Z)，
即k3π－1π8<x<k3π＋51π8(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为k3π－1π8，k3π＋51π8(k∈Z)，不 存在单调递减区间．
【方法规律】 运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．
例3.解不等式 tan x 3.
y
3
T
解：方法一：利用正切线
由图形可知：
原不等式的解集为
x
k
3
,
k
2
(k
)
A
O
x
方法二：利用正切曲线
由图形可知： 原不等式的解集为 x [k , k )(k )
1.4.3 正切函数的性质与图象
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？
通过平移正弦线得到正弦函数在0,2 的图象,再通过
诱导公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象.
然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进 行扩展，即得到整个定义域内的图象.
三角函数包括正、余弦函数和正切函 数，我们已经研究了正、余弦函数的 图象和性质， 因此, 进一步研究正切 函数的性质与图象就成为学习的必然.
有奇偶性吗？
提示: 由诱导公式 tan(x) tan x, x R, x k, k
2
知 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
y
T2
思考4：观察图中的正切线，当
角在 ( , ) 内增加时，正切
22
函数值发生什么变化？由此反
O
Ax
映出一个什么性质？
T1
提示:
函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在（- , ）
1.定义域：x
|
x
2
k,
k
.
2.值域： R
3.周期性：正切函数是周期函数，
周期为 .
4.奇偶性：正切函数是奇函数，
图象关于原点对称.
5.单调性：正切函数在开区间
( k, k), k 22
内都是增函数.
π 6.渐近线：直线 x＝kπ＋ 2 (k∈Z)称为正切曲线的渐近线，渐 近线把正切曲线分成无数个不连续的部分．正切曲线在渐近线右侧 向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线．