辽宁省2020年高考数学 第20题优美解

2020年高考数学（辽宁）第20题（理）试题优美解
试题（辽宁、 理科20）
如图，椭圆()22022:+=1>b>0,a,b x y C a a b 为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点
（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；
（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中
2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，
证明：2212+t t 为定值
解法
设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-,0,,0A a A a ，则
直线1A A 的方程为 ()11=
++y y x a x a ① 直线2A B 的方程为
()11-=--y y x a x a ② 由①②得 ()22221221-=--y y x a x a
③ 由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1-x y b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入③得 ()22
22-=1<-,<0x y x a y a b
（2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，得 2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以
222222121
2221-=1-x x b x b x a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a 。

从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值
试题或解法赏析.
本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.。