湖北省武汉市武昌区2020-2021学年度第一学期九年级十月八校联考数学试卷

2020-2021学年度第一学期部分学校九年级十月联合测试
数学试卷
一、选择题
1．若关于x 的方程()21210a x x ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围为（ ） A ．1a ≠-
B ．1a >-
C ．1a <-
D ．0a ≠
2．方程2
269x x =-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6，2，9
B ．2，6-，9
C ．2，6-，9-
D ．2．6，9-
3．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．2
40x +=
B ．2
4410x x -+=
C ．2
210x x +-=
D ．2
30x x ++=
4．抛物线2
67y x x =++可由抛物线2
y x =如何平移得到的（ ） A ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B ．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C ．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
5．三角形两边长为3和4，第三边长是方程2
12350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．12
B ．14
C ．12或14
D ．以上都不对
6．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如右图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为2
18m ，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）
A ．()()1218x x ++=
B ．2
3160x x -+= C ．()()1218x x --=
D ．2
3160x x ++=
7．关于二次函数2
21y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1
B ．图像的对称轴在y 轴的右侧
C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．y 的最小值为98
-
8．已知二次函数()2210y ax ax a =-+<图象上三点()11,A y -、()22,B y 、()34,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．132y y y <<
D ．312y y y <<
9．有两个一元二次方程M ：2
0ax bx c ++=；N ：2
0cx bx a ++=，其中0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中，错误的是（ ）
A ．如果方程M 有两个相等的实数根，那么方程N 也一定有两个相等的实数根
B ．如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号一定也相同
C ．如果5是方程M 的一个根，那么
1
5
一定是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根一定是1
10．已知关于x 的方程24x ax +=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．4a <-或4a > B ．4a =或4a =- C ．44a -<< D ．04a <<
二、填空题
11．抛物线2
248y x x =-+的对称轴是______．
12．把二次三项式268x x -+化成()2
x q q ++的形式应为______．
13．已知抛物线()()2
10y a x k a =++>，当x ______时，y 随x 的增大而增大．
14．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是2
3602
y t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来．
15．二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①0abc <；②42a c b +<；③
()()1m am b b a m ++>≠-；
④方程2
30ax bx c ++-=的两根为1x ，()212x x x <，则21x <，13x >-，其中正确结论的是______．
16．已知抛物线2
2y x mx m =-++，当12x -≤≤时，对应的函数值y 的最大值是6，则m 的值是______． 三、解答题
17．解方程：2
310x x +-=．
18．某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费3025万元． （1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率：
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
19．若关于x 的一元二次方程2
30x x p -+=有两个不相等的实数根分别为a 和b 、且22
18a ab b -+=．
（1）求p 的值； （2）求
b a
a b
+的值． 20．如图，抛物线2
y ax bx =+过点()1,5P -，()4,0A ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上有一点B ，当PA PB ⊥时，直接写出点B 的坐标______．
21．如图平行四边形ABCD ，E 在AD 边上，且DE CD =，仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图1中，画出C ∠的角平分线； （2）在图2中，画出A ∠的角平分线．
22．“武汉加油！中国加油！”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x 条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y 个． （1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）设该厂每天可以生产口罩w 个，请求出w 与x 的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产
的口罩数量最多，最多为多少个? 23．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是线段BC 、线段CD 上的点，若2BAD EAF ∠=∠，试探究线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．
童威同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△．再证明AEF AGF ≌△△，可得出结论，他的结论应是______． （2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 在线段BC 上、F 在线段CD 延长线上，若2BAD EAF ∠=∠，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD 中，45BDC ∠=︒，连接BC 、AD ，::3:4:5AB AC BC =，4AD =，且
180ABD CBD ∠+∠=︒．则ACD △的面积为______．
24．抛物线G ：2
y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于()0,1C -，且4AB OC =．
（1）直接写出抛物线G 的解析式：______；
（2）如图1，点()1,D m -在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作
x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2．点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若2CMN S =△，求点M 的坐标．
2020-2021学年度第一学期部分学校九年级十月联合测试
数学试卷（答案解析）
一、选择题 1-10：ABCAA
CDDDA
10．解析：∵方程24x ax +=有四个不相等的实数根 ∴2y x ax =+与4y =的图象有四个不同的交点
函数2y x ax =+的图象可以看作抛物线2
y x ax =+在x 轴上方的保持不变，在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方形成．
由图象可得，当2
44
a >，即4a <-或4a >时，两个图象有四个交点．
二、填空题．
11-16：1x =；()2
31x --；1/1>-≥-；600；①②③：5
2
-
或8
16．解析：抛物线开口向下，对称轴为直线2
m x =． ①当
12m <-时，即2m <-时，1x =-时，216y m =-+=最大，解得52
m =-；
②当122m -≤≤时，即24m -≤≤时，2m x =时，2
2
2622m m
y m ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭
最大，解得2m =±（舍）；
③当22m
>时，即4m >时，2x =时，22226y m m =-++-=最大，解得8m = ∴5
2
m =-或8．
三、解答题
17．解：1a =，3b =，1c =-
24b ac ∆=-=
322
b x a --±==
即1x =
2x =． 注：其他解法酌情给分．
18．解：（1）设增长率为x ，根据题意可得：
()2
250013025x +=，
解得：0.110%x ==，或 2.1x =-（不符合题意）：
答：这两年的平均增长率为10%． （2）()3025110%3327.5⨯+=（万元）．
答：预计2021年该地区将投入教育经费3327.5万元． 19．解：（1）由根与系数的关系：3a b +=，ab p =， ∵2
2
18a ab b -+=．即()2
318a b ab +-=
∴3ab =-，即3p =-．
检验：当3p =-时，()2
349120p ∆=--=+>，符合题意 ∴3p =-．
（2）22
b a a b a b ab
++=
∵2
2
1815a b ab +=+=，
∴22
5b a a b a b ab
++=
=-． 20．解：（1）由题意，把点()1,5P -，()4,0A 代入2
y ax bx =+得5
1640
a b a b -=⎧⎨
+=⎩，
解得14
a b =⎧⎨
=-⎩，则抛物线的解析式为2
4y x x =-；
（2）B 的坐标为()6,12B ．
解析：如图，过P 点作PD x ⊥轴于D ，BE PD ⊥于E ，
∵()1,5P -，()4,0A ，∴5PD =，1OD =，4OA =， ∴145AD OD OA =+=+=，∴5PD AD ==， ∴45APD DAP ∠=∠=︒
设()
2,4B m m m -，则1BE m =+，2
45PE m m =--， ∵点B 在第一象限内的抛物线上， ∴4m >，
∵PA PB ⊥，即90APB ∠=︒，
∴18045BPE APD APB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴PBE △是等腰直角三角形，∴BE PE =， 即2
145m m m +=--，整理得：2
560m m --=，
解得6m =或14m =-<（舍去），此时2
2
464612m m -=-⨯=． 故点B 的坐标为()6,12B ． 21．
22．解：（1）由题意可得：50020y x =-；
（2）由题意可得：()()10500206000x x +-=．
215500x x -+=
解得：15x =，210x =． ∵尽可能投入少， ∴210x =舍去
答：应该增加5条生产线．
（3）()()21050020203005000w x x x x =+-=-++． ∴()2
207.56125w x =--+ ∵200a =-<，开口向下， ∴当7.5x =时，w 最大，
又∵x 为整数，所以当7x =或8时，w 最大，最大值为6120． 答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个． 23．解：（1）BE FD EF +=．
（2）上述结论不成立，正确结论是EF FD BE +=． 如图2所示，在DF 上截取BG DF =，并连接AG ．
∵180B ADC ∠+∠=︒，180ADF ADC ∠+∠=︒， ∴B ADF ∠=∠．
又∵AB AD =，BG DF =， ∴()ABG ADF SAS ≌△△． ∴BAG DAF =△△，AG AD =．
∴1
2
DAF DAE BAG EAD BAD ∠+∠=∠+∠=∠． ∴1
2
EAG BAD ∠=
∠．∴EAG EAF ∠=∠． 又∵AG AD =，AE AE =， ∴GAE FAE ≌△△ ∴GE FE =．
∴EF DF GE BG BE +=+=． 注：其他方法酌情给分 （3）
8
3
法一：延长AB 至K ，使得BK BC =，
∵180ABD CBD ∠+∠=︒，180ABD DBM ∠+∠=︒． ∴CBD MBD ∠=∠．
易证()DBK DBC SAS ≌△△，
可知DK DC =，K DCB ∠=∠，290KDC BDC ∠=∠=︒， 由::3:4:5AB AC BC =可得90BAC ∠=︒， 过点D 作DM AB ⊥，DN AC ⊥．
∵180K ACD ∠+∠=︒，180DCN ACD ∠+∠=︒ ∴K DCN ∠=∠，即DCB K DCN ∠=∠=∠．
可证()DKM DNC AAS ≌△△，∴MK CN =，DM DN =． ∴BC BK BM CN ==+，且四边形AMDN 为正方形．
设3AB x =、4AC x =、5BC x =，可列345x BM x CN BM CN x +=+⎧⎨+=⎩
解得32BM x
CN x
=⎧⎨
=⎩，
∴23AC AN =
，∴2
3
ACD DAN S S =△△．
∵14242DAN S =
⨯⨯=△，∴83
ACD S =△． 法二：同上证明CBD MBD ∠=∠，DCB DCN ∠=∠． 过点D 作DH BC ⊥，
由角平分线性质可得DM DH DN ==，即点D 为ABC △的“旁心”， 此时易证BH BM =，CH CN =．
则BC BH CH BM CN =+=+，且四边形AMDN 为正方形． 余下解法同法一． 24．解：（1）2
114
y x =
-； （2）当1x =-时，34y =-
，即：点D 为31,4⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
∴直线OD 为：3
4
y x =
． 设2
1,14
P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则Q 为2
2141,13
34t t ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
，则： 2
221
41413253
3333212PQ t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
∴当32t =
时，PQ 取最大值2512，此时点P 为37,216⎛⎫- ⎪⎝⎭
． （3）设点21,
14M m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，则214,(4)14N m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭
∵()0,1C -，∴可设直线CM 为：1y kx =-， 代入点M 可得：14k m =
，∴直线CM 为：1
14
y mx =-．
11 / 11 过点N 作//NE y 轴交CM 于点E ，则E 点为()14,414m m m ⎛
⎫++- ⎪⎝⎭
∴4EN m =-- ∵()()12CMN CNE MNE C N N M S S S x x x x EN =+=
-+-⋅⎡⎤⎣⎦△△△ ∴()()10422
m m ---= ∴2440m m +-=
解之得：12m =--
，22m =-+
∴(2M --+．。