理论力学7 刚体的基本运动
刚体的基本运动
第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。
线速度与角速度的关系：,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
力学中的刚体运动
力学中的刚体运动刚体运动是力学中的基础概念之一，涉及物体在空间中的平移和旋转运动。
刚体指的是一个具有无穷多个质点的物体，其内部任意两点之间的相对位置保持不变。
本文将介绍刚体运动的基本原理、刚体运动的类型以及刚体运动的相关公式。
一、刚体运动的基本原理刚体运动的基本原理是“刚体上的任一质点在任意时刻的平面运动状态都完全相同”。
这意味着无论刚体如何运动，刚体上的各个质点之间的相对位置都保持不变。
这种相对位置的不变性使得刚体的运动可以用一个简化的模型来描述。
二、刚体运动的类型刚体运动可以分为平面运动和空间运动两种类型。
1. 平面运动平面运动指的是刚体在一个平面内的运动。
在平面运动中，刚体的质心沿直线或曲线轨迹运动，同时围绕质心进行旋转。
平面运动可以进一步分为平行轴定理和垂直轴定理两种类型。
- 平行轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个平行于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是质心绕着某个轴的转动。
- 垂直轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个垂直于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是绕着该轴的转动。
2. 空间运动空间运动指的是刚体在三维空间中的运动。
在空间运动中，刚体的质心和各个质点都可以沿直线或曲线轨迹进行平移和旋转。
空间运动需要考虑刚体在三个方向上的运动和转动，其描述较为复杂，常用欧拉角和四元数等方法进行分析和计算。
三、刚体运动的相关公式刚体运动的描述离不开相关的公式和定理。
以下是一些常用的刚体运动公式：1. 质心运动的描述：- 质心速度公式：v = ds/dt，其中v为质心速度，s为质心位移，t为时间。
2. 刚体的平面运动：- 转动惯量公式：I = ∑mi ri²，其中I为转动惯量，mi为每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
- 角动量公式：L = Iω，其中L为角动量，ω为刚体的角速度。
- 动能定理：∑(1/2mi vi²) = (1/2)Iω²，其中vi为每个质点的速度。
第八章 刚体的基本运动
第八章刚体的基本运动一、内容提要刚体的基本运动包括刚体的平动和定轴转动。
1、刚体的平动（1）刚体的平动的定义：刚体在运动过程中，若其上任一条直线始终保持平行于它的初始位置，称这种运动为刚体的平动。
（2）刚体平动的运动特征：刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同并彼此平行；在每一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。
因此刚体的平动可简化为一个点的运动来研究。
2、刚体的定轴转动（1）刚体的定轴转动的定义：刚体运动时，若其上（或其延伸部分）有一条直线始终保持不变，称这种运动为刚体的定轴转动。
（2）刚体的定轴转动的运动特征：刚体定轴转动时，其上各点均在垂直于转轴的平面内绕转轴作圆周运动。
（3）刚体的转动规律转动方程ϕ=f(t)角速度ω=dϕ /d t角加速度ε=dω t（4）转动刚体上各点速度和加速度速度V=Rω加速度aτ=Rεa n=Rω2全加速度大小和方向a=√ aτ2 +a n2（5）转动刚体上各点速度和加速度的矢积表示：若沿转轴作出刚体的角速度矢ω和角加速度矢ε，则定轴转动刚体内任一点的速度V=ω⨯ r4142 加速度 a=a τ+a n =ε ⨯ r + ω ⨯ V二、基本要求1、熟练掌握刚体平动的运动特征。
2、熟练掌握刚体的转动规律和转动刚体上各点速度和加速度的求解。
三、典型例题1、曲柄O 1A 和O 2B 的长度均为2R ，分别绕水平固定轴O 1和O 2转动，固连于连杆AB 的齿轮Ⅰ带动齿轮Ⅱ绕O 轴转动。
若已知曲柄O 1A 的角速度为ω、角加速度为ε，O 1O 2=AB ， 齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的半径均为R 。
试求齿轮Ⅱ节圆上任一点D 的加速度。
解 轮Ⅰ与AB 杆固连在一起作平动。
设N 点是轮Ⅰ节圆与轮Ⅱ的接触点，则有V N =V A =2R ω ；a τN =a τA =2R ε ; a n N =a n A =2R 2ω又设M 点是轮Ⅱ节圆与轮Ⅰ的接触点，因两轮之间无相对滑动，所以有εM τ43V M =V N =2R ω ； a τM = a τN =2R ε因为轮Ⅱ作定轴转动，设其角速度为2ω，角加速度为2ε，则又有 V M = R 2ω，a τM =R 2ε，所以有 2ω=2ω ； 2ε=2ε 轮Ⅱ节圆任一点D 的切向和法向加速度大小分别为a τD = R 2ε=2R ε ; a n D =R 22ω=4R 2ω故点D 的加速度大小为 a D =()()222242ωετ+=+R a a n DD方向可由a D 与D 点处半径夹角α的正切表示为tan α=22ωετ=n D D a a。
理论力学运动学知识点总结
理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。
，当α与ω。
角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示。
• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
• 传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。
理论力学
第一章 力学基础
一、刚体、平衡与运动
1－刚体（不变形的物体）
物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不 变。它是一个理想化的力学模型
实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这 些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略 去不计，这样可使问题的研究大为简化。
首都机场候机楼顶棚拱架支座
铰 (Hinge)
固定铰支座
构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱形销钉连接起 来，支座固定在地基或者其他结构上。这种连接方式称为固定铰链 支座，简称为固定铰支(smooth cylindrical pin support)。桥梁上的 固定支座就是固定铰链支座。
将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接 起来，称为中间铰约束
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
mo(F)
mo(F) = r×F
mo(F)表示力F绕O点
A
r
O
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
同时作用于物体的一群力-------力系
汇交力系 平行力系 一般力系
空间力系 平衡力系
平面力系
等效力系
四、静力学的基本公理
二力平衡公理 加减平衡力系公理 力的平形四边形法则 作用与反作用定律
公理1 二力平衡公理 －最简单的平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体平 衡的必要和充分条件是：两个力的大小 相等，方向相反，作用线沿同一直线。
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
理论力学7—刚体的基本运动
7.4 轮系的传动比
1) 齿轮传动
ω1 R2 i12 = = ω2 R1
即： 即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径 成反比。 由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
ω1 z2 i12 = = ω2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比 与它们的齿数成反比。
at at
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a = at + a = R α +ω
2 2 n 2
4
at α tanθ = = 2 an ω
(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间 的夹角θ 都有相同的值。
此处有影片播放
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
7.1 刚体的平行移动
rA = rB + BA
v A = vB
z
A
vA aA vB
B B1
A1
A2
rA
O
a A = aB
rB
aB
B2
y
x
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一 瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一 点的运动。
z
如图，在轴线上任选一点 为原点 为原点， 如图，在轴线上任选一点O为原点， R 表示，则点M的速度可 动点的矢径用 r 表示，则点 的速度可 M 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， r 即 v =ω ×r 将上式对时间求一阶导数， 将上式对时间求一阶导数，有
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是一门研究物体机械运动一般规律的学科，它是许多工程技术领域的基础。
以下是对理论力学一些重要知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在力系作用下的平衡问题。
1、力的基本概念力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的表示方法包括矢量表示和解析表示。
2、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力则是约束对物体的作用力。
常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束等，每种约束对应的约束力具有特定的方向和特点。
3、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其隔离体，逐个分析作用在物体上的力，包括主动力和约束力，并画出受力图。
4、力系的简化力系可以通过平移和合成等方法进行简化，得到一个合力或合力偶。
力的平移定理指出，力可以平移到另一点，但必须附加一个力偶。
5、平面力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程有三个：∑Fx ＝ 0，∑Fy ＝ 0，∑Mo(F) ＝0。
对于平面汇交力系和平面力偶系，平衡方程分别有所简化。
6、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程数量增多，需要考虑三个方向的力平衡和三个方向的力矩平衡。
二、运动学运动学研究物体的运动而不考虑引起运动的力。
1、点的运动学描述点的运动可以使用矢量法、直角坐标法和自然法。
在自然法中，引入了弧坐标、切向加速度和法向加速度的概念。
2、刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动。
平动时，刚体上各点的运动轨迹相同、速度和加速度相同；定轴转动时，刚体上各点的角速度和角加速度相同。
3、点的合成运动点的合成运动是指一个动点相对于两个不同参考系的运动。
通过选取合适的动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理来求解问题。
4、刚体的平面运动刚体平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动刚体上各点的速度可以用基点法、速度投影定理和瞬心法求解，加速度则可以用基点法求解。
三、动力学动力学研究物体的运动与作用力之间的关系。
刚体的运动和转动
刚体的运动和转动刚体是指物体在运动或转动过程中，各部分之间保持相对位置不变的物体。
在物理学中，刚体是一个重要的概念，它的运动和转动具有一定的规律和性质。
本文将详细探讨刚体的运动和转动，以及相关的基本概念和原理。
一、刚体的运动刚体的运动是指整个物体的平动，即物体作为一个整体的运动。
平动可以是沿直线运动，也可以是曲线运动。
根据牛顿第一定律，当物体所受合外力的矢量和为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而当物体所受合外力的矢量和不为零时，物体将发生加速度，即产生直线运动。
刚体的平动可以通过理解质点来进行分析。
质点是指物体的质量集中在一个点上，没有形状和大小，无论是刚体还是非刚体，都可以看作是由许多质点组成的。
因此，在分析刚体的平动时，可以把刚体简化为质点。
同时，刚体的平动也满足牛顿第二定律，即合外力等于质量乘以加速度。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体绕某个轴进行旋转的运动。
转动的轴可以是任意选择的，但通常选择物体上的某个固定点或固定轴线作为转动的轴。
在刚体的转动中，每一个点都绕轴线进行圆周运动，并且所有点的转动角度相等。
刚体的转动可以由物体的转动惯量和转动力矩来描述。
转动惯量是物体对转动的抵抗程度或者旋转惯性的量度，它与物体的质量分布和形状密切相关。
转动力矩则是引起刚体转动的力和力臂的乘积，它的方向由右手定则给出。
根据角动量守恒定律，当刚体不受外力矩作用时，刚体的角动量守恒。
这意味着刚体的角动量大小和方向在运动过程中保持不变，从而导致刚体产生转动。
三、刚体的动力学方程刚体的运动和转动都可以通过动力学方程来描述。
对于平动的刚体，动力学方程可以表示为：∑F = ma其中，∑F表示物体所受合外力的矢量和，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
而对于转动的刚体，动力学方程可以表示为：∑τ = Iα其中，∑τ表示物体所受合外力矩的矢量和，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的运动和转动的实例刚体的运动和转动在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
刚体运动的理论力学分析
刚体运动的理论力学分析刚体运动是经典力学研究的重要内容之一，涉及物体在空间中作直线运动、旋转运动以及复杂运动等方面的分析和研究。
本文将针对刚体运动的理论力学进行分析，并探讨刚体运动的力学定律和相关公式。
一、刚体的定义与特性刚体是指物体在受力作用下，各部分的相对位置不会发生变化的物体。
刚体具有以下特性：1. 形状不变性：刚体的形状和大小在运动过程中保持不变。
2. 组成部分的相对位置不变：刚体各部分相对位置保持不变，即不发生形变。
3. 刚体可以进行平动和转动。
二、刚体运动的描述刚体运动可以通过刚体在空间中的位置和姿态的变化来描述。
刚体可以存在三种运动状态：平动、转动和整体运动。
1. 平动：刚体的各个部分保持平行移动，位置和相对位置不发生变化。
平动运动可以由平动的速度和加速度来描述。
2. 转动：刚体绕固定轴线旋转，各个部分围绕轴线进行圆周运动。
转动运动可以通过角速度和角加速度来描述。
3. 整体运动：刚体在空间中同时进行平动和转动，即平动和转动的叠加。
三、刚体运动的力学定律刚体运动的力学定律主要包括牛顿第二定律和角动量守恒定律。
1. 牛顿第二定律：对于平动的刚体，根据牛顿第二定律可以得出以下公式：$$\sum F = ma$$其中，$\sum F$表示作用在刚体上的合力，m为刚体的质量，a为刚体的加速度。
2. 角动量守恒定律：对于转动的刚体，根据角动量守恒定律可以得出以下公式：$$L = I\omega$$其中，L为刚体的角动量，I为刚体的转动惯量，$\omega$为刚体的角速度。
四、刚体运动的相关公式1. 刚体的质心位置：刚体的质心位置可以通过以下公式计算：$$\bar{r} = \frac{1}{M}\int r dm$$其中，$\bar{r}$为质心的位置矢量，M为刚体的总质量，r为刚体中各个质点的位置矢量，dm为刚体中微小质元的质量。
2. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过以下公式计算：$$I = \int r^2 dm$$其中，I为刚体的转动惯量，r为刚体质点到转轴的距离，dm为刚体中微小质元的质量。
刚体知识点总结归纳
刚体知识点总结归纳一、刚体的基本概念1. 刚体是指在空间中不受外力和外力矩作用，形状和大小不发生改变的物体，也就是说它们不会变形。
2. 刚体的运动包括平动和转动两种。
平动是指刚体以某一点为轴心作直线运动，转动是指刚体围绕其质心或其他点作圆周运动。
二、刚体的平动1. 平动的物理量刚体的平动涉及到了位移、速度、加速度等物理量。
其中，位移是指物体从一个位置到另一个位置的移动；速度是指物体单位时间内的位移量；加速度是指速度的变化率。
2. 平动的运动方程刚体的平动是由牛顿的运动定律来描述的，即F=ma，其中F为合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
这个定律说明了合外力与物体运动状态的关系。
3. 平动的应用刚体的平动运动是很常见的，比如地球的公转和自转、车辆的行驶等，这些都是平动的实际应用。
三、刚体的转动1. 转动的物理量刚体的转动同样涉及到了角位移、角速度、角加速度等物理量。
其中，角位移是指物体在单位时间内的旋转角度；角速度是指单位时间内的旋转角速度；角加速度是指角速度的变化率。
2. 转动的运动方程刚体的转动同样是由牛顿的运动定律来描述的，即τ=Iα，其中τ为合外力矩，I为物体的转动惯量，α为物体的角加速度。
这个定律说明了合外力矩与物体转动状态的关系。
3. 转动的转动惯量转动惯量是刚体在转动时的惯性特征，能够反映物体对于转动的惯性。
刚体的转动惯量与物体的形状、质量分布等因素有关。
4. 转动的应用刚体的转动运动同样是很常见的，比如摆钟的摆动、转轮的转动等，这些都是转动的实际应用。
四、刚体的静力学1. 刚体的平衡刚体的平衡是指物体对外力平衡的状态，包括了平衡的条件和平衡的稳定性。
2. 平衡的条件刚体的平衡需要满足两个条件：合外力为零，合外力矩为零。
这两个条件说明了刚体平衡的基本原理。
3. 平衡的稳定性刚体平衡的稳定性是指物体在外力作用下能够保持平衡的能力，包括了稳定、不稳定和中立三种状态。
五、刚体的动力学1. 刚体的动量刚体的动量是描写物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关，动量的守恒原理是刚体动力学的核心内容。
刚体运动知识点总结
刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
大物刚体知识点总结
大物刚体知识点总结一、刚体的定义1. 刚体是指物体的形状和体积在力作用下不发生变化的物体。
在刚体下，物体各质点的相对位置和方向保持不变，即不发生变形。
二、刚体的运动1. 刚体的平动运动：平动运动是指刚体的质心随时间变化的运动。
在平动过程中，刚体的形状保持不变，但质心的位置会随时间而发生改变。
2. 刚体的转动运动：转动运动是指刚体沿着固定轴线进行的运动。
在转动过程中，刚体的质点围绕着轴线作圆周运动，形成了转动运动。
三、刚体的运动学1. 刚体的位移：刚体的位移是指刚体在运动过程中位置的变化。
对于平动运动的刚体，位移是指质心位置的变化；对于转动运动的刚体，位移是指刚体围绕轴线旋转的角度。
2. 刚体的速度：刚体的速度是指刚体在单位时间内的位移变化量。
在平动运动中，刚体的速度等于质心的速度；在转动运动中，刚体的速度等于刚体围绕轴线旋转的角速度。
3. 刚体的加速度：刚体的加速度是指刚体速度在单位时间内的变化量。
在平动运动中，刚体的加速度等于质心的加速度；在转动运动中，刚体的加速度等于刚体围绕轴线旋转的角加速度。
四、刚体的动力学1. 刚体的力：刚体受到外力时会发生平动运动或转动运动。
外力可以分为两种：切向力和法向力。
切向力可以使刚体产生转动运动，而法向力可以使刚体产生平动运动。
2. 刚体的力矩：力矩是指外力在刚体上产生转动效果的力。
力矩的大小等于力的大小乘以力臂的长度，方向由右手螺旋定则确定。
3. 刚体的转动惯量：转动惯量是描述刚体对转动运动的惯性大小的物理量。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布和转动轴的位置，通常用I表示。
4. 刚体的角动量：刚体的角动量是描述刚体旋转速度和转动惯量之间的关系的物理量。
角动量的大小等于刚体的转动惯量与角速度之积，通常用L表示。
五、刚体的静力学1. 刚体的平衡：刚体在受力作用下处于平衡状态时，受力点所受的合力和合力矩均为零。
平衡状态分为稳定平衡、不稳定平衡和中立平衡。
2. 刚体的支反力：刚体在受力作用下，支持刚体静止的力叫做支持力，与支持力相抵消的力叫做反力。
理论力学刚体的简单运动课件
vMr0.36 m s－ 1
理论力学 刚体的简单运动
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
理论力学 刚体的简单运动
vM at
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM
v 理论力学 刚体的简单运动 M
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
理论力学 刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
例 题 6- 1
O1 l A
O
（+）
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为
0
s inπ 4
t，其中
t
为
时间，单位为s；转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
理论力学 刚体的简单运动
O1 φl
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大 方 小 向 右 手 r法 si则 n R v
加速度 advdr
dt dt
第七章刚体的基本运动_理论力学
和
得： 由于轮子作匀速转动，所以 ，得：
§7-3
轮
系
的
传
动
比
1. 齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。图 7-6 所示为 一对外接（啮合）齿轮。图 7-7 为一对内接齿轮。 （1）齿轮传动特点 ①两轮接触点的速度大小、方向相同。 ②两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。 （2）传动比 由图 7-6，7-7，并考虑式（7-4） ，可得：
2.
定轴转动的特点
观察刚体上任一点
的轨迹，可以看到刚体定轴转动的特点：
不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点 到转轴的距离。
3.
刚体的转动方程
为描述转动刚体在空间的位置随时间的
变化，需建立转动方程。 ★ 定轴转动刚体简化成平面图形 设刚体绕 轴作定轴转动， 如图 7-4 所示在刚体上任取一直线 作平动，可取其上任一点 代表 的运动。 平面上的平面图形绕 点的转动。 平行 轴， 则
。
， 此处 和 分别表示两皮带轮的角速度（rad/s） 。于是得
，
，
∴ 即两皮带轮的角速度（或转速）与其半径成反比。 §7-4 速度和加速度的矢量表示法
1.
以矢量表示角速度和角加速度 和角加速度矢量 。如图 7-11 所示。 （7-13） （7-14） 当 当 时，说明两者同向，作加速转动。 时，说明两者反向，作减速转动。
72刚体绕定轴的转动简称定轴转动定义刚体在运动过程中其上有且只有一条直线始终固定不动时称刚体绕定轴转动该固定直定轴转动的特点观察刚体上任一点的轨迹可以看到刚体定轴转动的特点
第七章 刚体的基本运动 知识点 1. 刚体的平动和定轴转动称为刚体的基本运动。 它不可分解， 是刚体运动的最简单形 态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。 2.平动刚体上各点的轨迹形状相同。同一瞬时刚体上各点的 和 相同。因此可以用刚体上 任一点的运动代表整体。换言之，若知道平动刚体上某点的运动（ 、 等） ，则其它各点 均为已知。
刚体的基本运动
刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。
平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。
转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。
平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。
复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。
延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。
绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。
把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。
刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。
刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。
第六章 刚体的基本运动
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
理论力学-刚体的基本运动
r2 r1
z2 z1
主动轮 从动轮
显然当：| i1,2 | 1 时，w2 w1 ，为升速转动； | i1,2 | 1 时，w2 w1 ，为降速转动。
21
二.皮带轮系传动
vA vB (而不是vA vB 方向不同 )
w ArA wBrB 皮带传动
i
AB
w w
A B
rB rA
三.链轮系
设有： A、B、C、D、E、F、 G、H 为轮系，则总传动比为：
30
a
v12 v0 2 2s
1600 625 9 2 200
0.27 m/s 2
v0
30 1000 3600
25 m/s, 3
v1
48 1000 3600
40 m/s 3
列车走上曲线时，
a 0.27 m/s 2 , an0 全加速度
v0 2 R
(25 / 3)2 300
0.23 m/s 2
解：由
x v0 c ost
①
y v0sin
t 1 gt2 2
②
v
y
dy dt
v0
sin
gt
由于在A点时，vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时
间为：
t
v0
s in
g
32
将上式代入①和②，得：
x
A
v02
sin2
2g
,
y
A
v02
sin 2g
2
③
yA xA
1.5 5
v02 sin2
2g
v02 sin 2
dt dt dt
dt
a ε r ω v
v ωr a ε r
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当 与 异号时，刚体作减速转动。
当 与 同号时，刚体作加速转动；
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度 刚体作定轴转动时，其上各点都在垂直于转
轴的平面内作圆周运动，设刚体上任选一点M，设
它到转轴的垂直距离（称为转动半径）为r，其转
动中心为O 。取当刚体转角 为零时点M所在位置
D点的全加速度为
2 n 2 2 2 2 m / s aD = (a ) + ( a ) = 1.256 2.629 2.914 D D
全加速度与转动半径的夹角为
tan n 2 0.4777 aD
a
D
25.5
例7-2 一半径为R = 0.2 m圆轮绕O轴作定轴转动，
M0为弧坐标原点，以转角增加的方向为弧坐标正 向，则任一瞬时点M的弧坐标可表示为：
S r
（7-8）
点M的速度大小为 ： dS d v r r （7-9） dt dt 结论：转动刚体内任一点的速度等于刚体角 速度与该点转动半径的乘积。速度的方向垂直于转 动半径，指向与角速度的转向一致。 点M的切向加速度为：
直杆AB上D点的速度和加速度分布等于A点的速度和
加速度。当 t 1s 时
2 vD vA O1 A 0.6 1.256 m / s 3 2 aD a A O1 A 0.6 1.256 m / s2 3 2
n D n A 2
2 a a O1 A 0.6 2.629 m / s2 3
D点的速度和加速度。
vA
1s ，直杆AB上
vD
解：由于O1A与O2B平行等
长，则直杆AB作平动。
aA
n aA
a D D
n aD
曲柄O1A的角速度和角加
速度为：
d 2 t rad / s dt 3
O1
A aD
B
O2
d 2 rad / s2 dt 3
的方向都垂直于各点的转动半径，各点加速度 a 与转 动半径的夹角都相等。
v
a O
O a
v
2 例7-1 曲柄O1A绕O1轴转动，其转动方程为 t 3 （rad），O2B 杆绕 O2 轴转动，且杆O1A与杆O2B平行
等长，O1A = O2B = 0.6 m，试求当 t
内绕固定点的转动，定点O是转轴上一点，称为
转动中心。
7.2.2 角速度和角加速度 角速度：
d lim t 0 t dt
角对时间的一阶导数。角速度
度为正，反之为负。
（7-5）
刚体的角速度（Angular velocity）等于其转
是代数量，从 z
轴的正向向负向看，刚体逆时针方向转动时角速
7 刚体的基本运动
刚体运动的两种基本形式： 刚体的平行移动
刚体绕定轴的转动
研究目的：
（1）基本运动在工程实际中有广泛的应用。
（2）研究刚体复杂运动的基础 。
7.1 刚体的平动运动 7.1.1 定义 刚体在运动的过程中，如其上任一直线始终 保持与初始位置平行则称这种运动为刚体的平行
移动，简称平动（Translation）。
平动分为直线平动和曲线平动两种。 例如，电梯的升降，沿直线行驶的火车车 厢，摆动筛AB的运动，刨床工作台的移动，等等。
7.1.2
平动刚体上各点的轨迹、速度和加速度
（1） 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同。
rB rA AB
（7-1）
AB 为常矢量。因此只要把点A的轨迹沿 AB 方向
平行搬移一段距离AB，就能与点B的轨迹完全重合。
转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
z rB rA A
B
aB
AB
vB aA vA y
O x
（2）刚体平动时，其上各点的速度相同，加速 度也相同。
rB rA AB
drA drB dt dt
v A vB
（7-2）
（7-3）
dv A dv B dt dt
aA aB
研究刚体的平动，可以归结为研究刚体上任一 点的运动。
dv d a r r dt dt
（7-10）
点M的法向加速度为：
v (r ) an r 2 r r
2 2
（7-11）
结论：转动刚体内任一点的切向加速度等于刚 体角加速度与该点转动半径的乘积，其法向加速度 刚体角速度平方与该点转动半径的乘积。切向加速
度垂直于转动半径，指向与角加速度的转向一致；
z P0
r M
M0 S O r
M0
O1
M
O an
a
a （+ ） v
P
f (t )
（7-4）
刚体的转动方程（Equation of rotation）。 刚体上平行于转轴的任一直线均为平动， 其上各点的运动特征量相同，因此刚体的定轴转 动可以简化为垂直于转轴的平面图形在自身平面
7.2 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，其上（或其延伸部分）存
在一条始终保持不动的直线，则这种运动称为刚体
的定轴转动（Rotation about a fixed axis），简称
转动。这条不动的直线段称为转轴。
转轴上各点的速度和加速度为零，转轴外各点
都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
7.2.1 转动方程 角 称为转角（Angle of rotation）。 按右手螺旋法则确定，或从z 轴的正向向负向 看，从定平面起按逆时针转向量得的角 取正；反 之，取负。
而法向加速度总是沿转动半径指向转轴，又称向心 加速度。 点 M 的全加速度 a 的大小和方向为
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an
ω
2
（7-13）
在同一瞬时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度
a 的大小均与该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v