理论力学7 刚体的基本运动

转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
7.2 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，其上（或其延伸部分）存
在一条始终保持不动的直线，则这种运动称为刚体
的定轴转动（Rotation about a fixed axis），简称
转动。这条不动的直线段称为转轴。
转轴上各点的速度和加速度为零，转轴外各点
都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
7.2.1 转动方程 角 称为转角（Angle of rotation）。 按右手螺旋法则确定，或从z 轴的正向向负向 看，从定平面起按逆时针转向量得的角 取正；反 之，取负。
dv d a r r dt dt
（7-10）
点M的法向加速度为：
v (r ) an r 2 r r
2 2
（7-11）
结论：转动刚体内任一点的切向加速度等于刚 体角加速度与该点转动半径的乘积，其法向加速度 刚体角速度平方与该点转动半径的乘积。切向加速
度垂直于转动半径，指向与角加速度的转向一致；
D点的全加速度为
2 n 2 2 2 2 m / s aD = (a ) + ( a ) = 1.256 2.629 2.914 D D
全加速度与转动半径的夹角为
tan n 2 0.4777 aD
a
D
25.5
例7-2 一半径为R = 0.2 m圆轮绕O轴作定轴转动，
直杆AB上D点的速度和加速度分布等于A点的速度和
加速度。当 t 1s 时
2 vD vA O1 A 0.6 1.256 m / s 3 2 aD a A O1 A 0.6 1.256 m / s2 3 2
n D n A 2
2 a a O1 A 0.6 2.629 m / s2 3
7 刚体的基本运动
刚体运动的两种基本形式： 刚体的平行移动
刚体绕定轴的转动
研究目的：
（1）基本运动在工程实际中有广泛的应用。
（2）研究刚体复杂运动的基础 。
7.1 刚体的平动运动 7.1.1 定义 刚体在运动的过程中，如其上任一直线始终 保持与初始位置平行则称这种运动为刚体的平行
移动，简称平动（Translation）。
平动分为直线平动和曲线平动两种。 例如，电梯的升降，沿直线行驶的火车车 厢，摆动筛AB的运动，刨床工作台的移动，等等。
7.1.2
平动刚体上各点的轨迹、速度和加速度
（1） 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同。
rB rA AB
（7-1）
AB 为常矢量。因此只要把点A的轨迹沿 AB 方向
平行搬移一段距离AB，就能与点B的轨迹完全重合。
M0为弧坐标原点，以转角增加的方向为弧坐标正 向，则任一瞬时点M的弧坐标可表示为：
S r
（7-8）
点M的速度大小为 ： dS d v r r （7-9） dt dt 结论：转动刚体内任一点的速度等于刚体角 速度与该点转动半径的乘积。速度的方向垂直于转 动半径，指向与角速度的转向一致。 点M的切向加速度为：
z rB rA A
B
aB
AB
vB aA vA y
O x
（2）刚体平动时，其上各点的速度相同，加速 度也相同。
rB rA AB
drA drB dt dt
v A vB
（7-2）
（7-3）
dv A dv B dt dt
aA aB
研究刚体的平动，可以归结为研究刚体上任一 点的运动。
内绕固定点的转动，定点O是转轴上一点，称为
转动中心。
7.2.2 角速度和角加速度 角速度：
d lim t 0 t dt
角对时间的一阶导数。角速度
度为正，反之为负。
（7-5）
刚体的角速度（Angular velocity）等于其转
是代数量，从 z
轴的正向向负向看，刚体逆时针方向转动时角速
z P0

r M

M0 S O r
M0
O1

M
O an

a
a （+ ） v
P
f (t )
（7-4）
刚体的转动方程（Equation of rotation）。 刚体上平行于转轴的任一直线均为平动， 其上各点的运动特征量相同，因此刚体的定轴转 动可以简化为垂直于转轴的平面图形在自身平面
D点的速度和加速度。
vA
1s ，直杆AB上
vD
解：由于O1A与O2B平行等
长，则直杆AB作平动。
aA
n aA
a D D

n aD
曲柄O1A的角速度和角加
速度为：
d 2 t rad / s dt 3

O1
A aD
B

O2
d 2 rad / s2 dt 3
的方向都垂直于各点的转动半径，各点加速度 a 与转 动半径的夹角都相等。
v

a O


O a

v
2 例7-1 曲柄O1A绕O1轴转动，其转动方程为 t 3 （rad），O2B 杆绕 O2 轴转动，且杆O1A与杆O2B平行
等长，O1A = O2B = 0.6 m，试求当 t
时间的二阶导数。
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当 与 异号时，刚体作减速转动。
当 与 同号时，刚体作加速转动；
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度 刚体作定轴转动时，其上各点都在垂直于转
轴的平面内作圆周运动，设刚体上任选一点M，设
它到转轴的垂直距离（称为转动半径）为r，其转
动中心为O 。取当刚体转角 为零时点M所在位置
而法向加速度总是沿转动半径指向转轴，又称向心 加速度。 点 M 的全加速度 a 的大小和方向为
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an


ω
2
（7-13）
在同一瞬时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度
a 的大小均与该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v