浙大微积分1期末考(参考答案并不重要)

浙江大学2012-2013学年秋冬学期 微积分I 期末试卷

1. 设4(sin 2)(arcsin 2)x y x x =+，求

dy dx

； 2. 设函数()f u 可导，()y y x =是由方程3()ln(1sin )y f xy x =++所确定的可导函数，求

dy dx

； 3. 设()y y x =是由参数方程2

032(3t

x t y u ⎧=+⎪

⎨=

⎪⎩

⎰4.

计算定积分1

-⎰；

5. 计算反常积分1+∞⎰；

6. 求极限011

lim ln(1sin )ln(1sin )x x x →⎛

⎫+ ⎪+-⎝⎭

（1） 存在(0,1)ξ∈使得以曲线()y f x =为顶在区间[0,]ξ上的曲边梯形

面积等于以()f ξ为高，以区间[,1]ξ为底的矩形面积； （2） 若增设()f x 可导且()0f x '<，则（1）中的ξ是唯一的。

13. 设()f x 在区间()0,+∞内可导且()0f x '<，11

121

()

()()x x

f u F x xf u du du u

=+⎰⎰

. （1） 求()F x ''（当0x >）；

（2） 讨论曲线()y F x =在区间()0,+∞内的凹凸性并求其拐点坐标。 14. 设40tan n n a xdx π

=⎰，2n ≥，

（1） 计算2n n a a ++

（2） 证明级数2

(1)n n n a ∞

=-∑

浙江大学2011-2012学年秋冬学期《微积分Ⅰ》课程期末试卷

一、求导数。

1、（7分）设12

2

3

3

=+--+xy y x y x ，求。)1,1(),(|),1,1(),(|22==y x dx

y

d y x dx dy

2、（7分）设

y 3、（7分）设(ϕ二、求极限。

1、（7分）求x lim

0→2、（7分）求x lim 0→三、求积分。

2、（6分）确定级数 ∑+∞

=-++222

)

1(1n n

n n x x 的收敛范围与和函数。

3、（6分）设曲线s 的方程为

10,)(32)(232

≤≤⎪⎩

⎪

⎨

⎧-=-=t t t t y t t t x ，求s 的弧长。

4、（6分）已知f （x ）满足关系式

⎰

=--x

x dt t x t x f 0

2)sin(2

1

))((，求函数f （x ）

。 五、证明题。

1、（7分）证明:在区间[0, 1]上导数连续的函数F （x ），F （0）=F （1）=0，

（1）若0)0('>+F ，则存在某一δ

（2）若0)1('<-F ，则存在某一2δ

（3）若0)0('>+F ，0)1('<-F 外，F （x ）至少还有两个零点。

2、（5分）f(x)是在[0，1]

0)2

1

(,0)1()0(<==f f

f '''(ξ)=6。

浙江大学2010-2011学年秋冬学期《微积分Ⅰ》课程期末试卷

第1至第9题及第14题每题6分,第10至第13题每题10分 1．求曲线ln()cos()y x xy x +-=上点0x =处的切线方程. 2．设ln(1)y x x =+，求y 对x 的10阶导数(10)

()y x .

3．求

x →．

4．求 2

1

2

lim(sin cos )x x x x →+．

5．设当1x >-时()lim 1nx

nx

n x e f x e →+∞+=+

6.求

2cos d sin x x

x x ⎰.

7. 求

11

(2)x x x -+⎰

.

8. 设常数 a 满足01a <<,讨论级数

∞

,并写出其成立范围. b 的值及该积分的值. ()S n π；(2) 求()

lim

x S x x

→+∞.

n a ； (2) 求1

(1)n n n na ∞

=-∑.

0,()0f x ''<>,证明: (1) ()f x 至多有两个零点,至少有一个零点；（2）若()f x 的确有两个零点，则此两个零点必反号.（注：()f x 的零点就是方程()0f x =的根）

14. 设常数0α>,积分210cos d 1x I x x π

α

=+⎰与2

20sin d 1x I x x π

α=+⎰, 试比较1I 与2I 的大小,是12I I >,12I I <,还是12I I =,或者要由α而定,应说明推理过程.

浙江大学2009-2010学年秋冬学期《微积分Ⅰ》课程期末试卷

一、求导数或微分(每小题6分,共18分) （1

）设2arcsin

x

e y x =，求d y .

（2）设()y y x =由参数式2

204cos d ,

sin ,

t x s s y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰所确定，求22d d y x . （3）设()y y x =是由方程2

ln()x y +=二、求极限(每小题6分,共18分) （4）求

x →, (6)2

1

02cos lim()3

x x x →+.

三、求积分(每小题6分,共24分)

（7） 23

ln(1)d x x x +⎰, （8）求0⎰ (10) 已知sin x

x

是()f x 的一个原函数四、(本题8分)

. 一阶导数，(0)0f =，(0)1f '=，并设

n 为等价无穷小，求A 与n 的值．

D ，求D 的V 的体积． 设()f x 在0x x =处存在二阶导数，00()0,()0(0)f x f x A A '''==><，则0()f x 为()f x 的极小（大）值．

并请举例说明：上述定理仅是充分条件而非必要条件，即：()f x 在0x x =处存在二阶导数，

0()0f x '=，0()f x 为()f x 的极小（大）值，但0()f x ''并不一定为正（负）．

八、(本题６分) （1）写出2

2

()x x f x e e -=+展成x 的幂级数展开式，并写出其收敛域；

（2）积分

22

10

()d x x e e

x -+⎰

与积分

33

10

()d x x e e

x -+⎰

谁大谁小，并请说明理由．