线性系统理论基础
线性系统理论试卷
《 线性系统理论基础》 考试试卷 A 卷考试说明：考试时间：95分钟 考试形式（开卷/闭卷/其它）：闭卷适用专业： 自动化承诺人： 学号： 班号：。
注：本试卷共 6 大题，共 14 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。
请将答案统一写在答题纸上，如因答案写在其他位置而造成的成绩缺失由考生自己负责。
一、（20分）建立下列系统的状态空间模型：1．已知图1所示的质量-弹簧-阻尼器系统，其中质量1kg m =，弹性系数为2k =，阻尼为3f =。
以外力u 为控制输入，以位移y 和速度y 作为输出建立状态空间模型。
2．已知图2所示的由两个基本模块反馈连接的线性系统，写出其状态空间模型。
二、（20分）给定线性系统[]011,11650x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1．将系统化为对角标准型。
2．求系统在输入t u e -=下的零初态响应()x t 和输出响应()y t 。
图 23．分别画出原系统和对角标准型系统的结构框图。
三、（20分）给定如下线性系统[]310010300000110000122002x x u y x-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= 1. 将系统进行能控能观测子空间分解.2. 写出其最小实现（即能控能观子系统）的状态空间表达式。
四、（10分）给定线性系统如下11226129x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1. 求该系统的平衡点。
2. 选择形为2212()V x ax bx =+的李亚普诺夫函数判断系统平衡点是否渐近稳定。
五、（10分）给定线性系统如下1122010002x x u x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦和二次型性能指标{}22112J x ru dx ∞=+⎰0， 1．确定最优线性状态反馈控制u kx =使得系统的性能指标J 达到最小。
2.讨论权值r 的大小对控制增益k 的影响。
现代控制理论(II)-讲稿课件ppt
03
通过具体例子说明最小值原理在最优控制问题中的应
用方法。
06 现代控制理论应用案例
倒立摆系统稳定控制
倒立摆系统模型建立
分析倒立摆系统的物理特性，建立数学模型，包括运动方程和状态 空间表达式。
控制器设计
基于现代控制理论，设计状态反馈控制器，使倒立摆系统实现稳定 控制。
系统仿真与实验
利用MATLAB/Simulink等工具进行系统仿真，验证控制器的有效性； 搭建实际实验平台，进行实时控制实验。
最优控制方法分类
根据性能指标的类型和求解方法， 最优控制可分为线性二次型最优控 制、最小时间控制、最小能量控制 等。
最优控制应用举例
介绍最优控制在航空航天、机器人、 经济管理等领域的应用实例。
05 最优控制理论与方法
最优控制问题描述
控制系统的性能指标
定义控制系统的性能评价标准，如时间最短、能量最小等。
随着网络技术的发展，分布式控制系统逐渐 成为现代控制理论的研究热点，如多智能体 系统、协同控制等。
下一步学习建议
01
02
03
04
深入学习现代控制理论相关知 识，掌握更多先进的控制方法
和技术。
关注现代控制理论在实际系统 中的应用，了解不同领域控制
系统的设计和实现方法。
加强实践环节，通过仿真或实 验验证所学理论知识的正确性
机器人运动学建模
分析机器人的运动学特性， 建立机器人运动学模型， 描述机器人末端执行器的 位置和姿态。
运动规划算法设计
基于现代控制理论，设计 运动规划算法，生成机器 人从起始点到目标点的平 滑运动轨迹。
控制器设计与实现
设计机器人运动控制器， 实现机器人对规划轨迹的 精确跟踪；在实际机器人 平台上进行实验验证。
线性系统理论1数学基础
T 1 T 2 T T n
我们称 a a a 为关于基 e1 , e2 , , en 的坐标。若 向量 e , e , , e 构成 R n 的另一组基，则有
1.6
广义Sylvester矩阵
AV BW VF 其中: A R W C
r n nn
(1.6.1)
nr
,BR
;V C
nn
,
; F 为n价的Jordan矩阵当取 .
定W 阵, 并令C BW , 则上式化为 常规的Sylvester矩阵方程 : AV VF C (1.6.2)
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关联的Jordan块的个数.
矩阵某特征值的代数重数:
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关所有的Jordan块的阶数之和.
命题1.5.1 设A R 构如上述.记
n n
,其Jordan矩阵的结
i =max pi1 pi2 piq ,i=1,2, ,l
v1 v 2 v n v 1 v P 2 v n
v Rn ，有
e , e , , e n 和基 e1 , e 2 , , e n 之间的坐标 我们称 P 为基 1 2
1.4有理分式矩阵及其互质分解
1.4.1 互质多项式矩阵
1.4.2 有理分式矩阵的互质分解
1.4.3 矩阵(sI A) B的右既约分解
1
W ( s ) ( sI A) B N ( s ) D ( s )的求取: 第一步:利用算法1.3.1求取幺模矩阵P ( s ) 和Q ( s )满足 : P ( s ) sI A B Q(s) 0 I 第二步 : 将幺模阵Q ( s )做如下分块 : Q11 ( s ) Q12 ( s ) Q( s) Q21 ( s ) Q22 ( s ) 其中, Q11 ( s ) R nr [ s ], Q21 ( s ) R r r [ s ]. 第三步 : 取 N ( s ) Q11 ( s ), D ( s ) Q21 ( s ) 则N ( s )与D ( s )满足右既约分解式 W ( s ) ( sI A) 1 B N ( s ) D 1 ( s )。
线性系统理论和设计
线性系统理论和设计是控制工程中的重要内容，涉及到对线性系统的建模、分析和控制设计。
以下是关于线性系统理论和设计的基本内容：
1. 线性系统模型
-线性系统描述：线性系统是指具有线性性质的动态系统，其输出与输入之间满足线性关系。
-线性系统模型：通常用微分方程、差分方程或状态空间方程描述线性系统的动态特性。
2. 线性系统分析
-系统稳定性分析：通过研究系统的零点、极点等性质来判断系统的稳定性。
-频域分析：通过频率响应、波特图等方法分析系统在频域下的性能。
-时域分析：通过阶跃响应、脉冲响应等方法研究系统在时域下的响应特性。
3. 线性系统设计
-控制器设计：设计合适的控制器来实现系统的性能要求，常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、根轨迹设计等。
-系统鲁棒性设计：设计具有鲁棒性的控制器，能够抵抗参数变化和外部干扰的影响。
-最优控制设计：利用最优控制理论设计最优的控制器，使系统性能
达到最佳。
4. 线性系统应用
-自动控制系统：将线性系统理论和设计方法应用于自动控制系统，实现对各种工程系统的自动控制和调节。
-信号处理系统：利用线性系统理论设计数字滤波器、信号处理算法等，对信号进行处理和提取。
-机电系统：应用线性系统理论设计机电系统的控制器，实现机电系统的精密控制和运动规划。
线性系统理论和设计在控制工程领域具有广泛的应用，能够帮助工程师分析和设计各种复杂系统的控制策略，提高系统的性能和稳定性。
线性系统理论基础课程设计
线性系统理论基础课程设计1. 简介线性系统理论是控制科学中不可或缺的基础理论，它研究的是线性系统的性质和行为。
本课程设计旨在帮助学生深入了解线性系统理论的基础概念和方法，培养学生分析和设计线性控制系统的能力。
2. 课程目标本课程的目标是：1.帮助学生了解线性系统的基础概念和性质，如线性性、时不变性、可穿透性、可控性和可观性等；2.帮助学生掌握线性时间不变系统的时域和频域分析方法，如状态空间法、传递函数法、拉普拉斯变换和傅里叶变换等；3.帮助学生了解线性系统的设计方法，包括极点配置法、根轨迹法、频率响应法和最小二乘法等；4.培养学生分析和设计线性控制系统的能力，使其能够在实际应用中解决相关问题。
3. 课程大纲本课程的大纲如下：3.1 线性系统基础概念•线性性、时不变性、可穿透性；•可控性和可观性；•稳定性和稳定性判据。
3.2 线性系统时域分析•状态空间法；•传递函数法。
3.3 线性系统频域分析•拉普拉斯变换；•傅里叶变换；•傅里叶级数。
3.4 线性系统设计方法•极点配置法；•根轨迹法；•频率响应法；•最小二乘法。
3.5 应用实例•根据实际问题设计线性控制系统；•使用 MATLAB 或其他工具进行仿真。
4. 考核方式本课程的考核方式包括：1.课程作业：包括理论掌握程度和问题解决能力；2.课程论文：针对一个实际问题设计线性控制系统，并使用 MATLAB 或其他工具进行仿真；3.期末考试：测验学生的理论知识水平和设计能力。
5. 教学方法本课程将采用以下教学方法：1.讲述理论知识，包括基础概念、时域和频域分析方法、系统设计方法等；2.以典型实例为例，讲述如何应用理论知识解决实际问题；3.利用 MATLAB 或其他工具进行仿真实验，帮助学生掌握实际应用能力；4.布置课程作业和课程论文，通过实际问题和案例分析，培养学生分析和设计线性控制系统的能力。
6. 教学资源本课程需要的教学资源包括：1.课本资料：例如《现代控制工程》、《线性系统理论与设计》等；2.电子资源：例如 MATLAB 或其他仿真工具；3.实验平台：具备线性系统控制实验条件的实验室。
线性系统理论讲义
对于线性系统
X A(t)X B(t)u Y C(t)X D(t)u
1/2,12/50
时变系统和时不变系统
若向量f,g不显含时间变量t,即
f
g
f (x, u) g(x, u)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系
的、一阶微分方程（组）：x&(t) Ax(t) Bu(t)
(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关
系的数学表达式： y(t) Cx(t) Du(t)
(7)状态空间表达式： (5)+ (6). 状态变量的特点： (1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1
x2
0
0
xn1 xn
0
a0
1 0 0 1
0 0 a1 a2
0 0
x1 x2
0 0
1 an
1
xn1
xn
u 0 1
y b0 a0bn
b1 a1bn
bn2 an2bn
x1
x2
bn1 an1bn bnu
5/18,18/50
结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空
uc
R2C
duc dt
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
线性系统理论第一章(1)
或脉冲函数的概念，为此考虑图 1—2 所示的脉动 函数 dD (t - t1 ) ，即
t1+△
图 1—2 脉动函数 dD (t - t1 )
0 ì ï ï ï ï1 dD (t - t1 ) = ï í ï D ï ï 0 ï ï î
t < t1 t1 £ t < t1 + D t ³ t1 + D
0
的定理给出的判断可以不必知道系统过去的历史。 定理 1—1 由下式描述的系统
y(t ) =
ò-¥ G(t, t )u(t )d t
0 ,+¥)
+¥
在 t0 是松弛的，必要且只要 u[t
0 ,+¥)
º 0 隐含着 y[t
º 0。
¥
证明 必要性。若系统在 t 0 松弛，则对于 t ³ t 0 ，输出 y(t ) 为 ò
图 1—1 系统的输入—输出描述 我们先介绍一些符号。在图 1—1 中，有 p 个输入端， q 个输出端； u1 u2 u p 为 输入，或用 p ´ 1 列向量 u = [u1 u2 u p ]T 表示输入。 y1 y2 yq 表示输出，同样， 可 用 q ´ 1 列 向 量 y = [y1 y2 yq ]T 表 示 输 出 。 输 入 或 输 出 有 定 义 的 时 间 区 间 为
ti
图 1—3 用脉冲函数近似输入 因为系统是初始松弛的线性系统，故输出
y = Hu »
å [H dD (t - ti )]u(ti )D
i
(1—7)
当 D 趋于零时，(1—7)式成为
y =
ò-¥ [H d(t - t )]u(t )d t
H d(t - t ) = g(t, t )
电子工程中的线性系统理论
电子工程中的线性系统理论线性系统理论是电子工程中非常重要的一部分内容。
其涉及到信号处理、控制系统、通信系统等多个领域。
本文将对线性系统理论的定义、特征、基本理论等方面进行简要介绍。
一、线性系统的定义线性系统是指其输入和输出具有线性关系的系统。
简单地说，就是许多输入信号叠加组成的输出信号，与单独输入信号的输出信号相加之和完全相同。
其中输入信号可以是电压、电流、功率等，输出信号也可以是同样的类型。
例如，如果一个系统的输入信号为 $x_1$ 和 $x_2$，对应的输出信号为 $y_1$ 和 $y_2$，则该系统是线性的，当且仅当：$$y_1 = ax_1 + bx_2 \\y_2 = cx_1 + dx_2$$其中 $a,b,c,d$ 均为常量。
二、线性系统的特征1. 叠加性：线性系统具有叠加性，即当系统中输入信号为$x_1$ 和 $x_2$ 时，对应的输出信号分别为 $y_1$ 和 $y_2$，则系统中同时输入 $x_1+x_2$ 时，输出信号为 $y_1+y_2$。
2. 抑制性：线性系统具有抑制性，即输入信号越大，输出信号越小。
如果输入信号的某一部分被视为噪声，则线性系统可以减小噪声的影响，同时保持信号的大部分原始信息。
3. 延时特性：线性系统具有延时特性，即在特定的时间段内输入信号可以得到响应。
例如，音频系统在接收到输入信号后需要一定时间来处理信号，并绘制出相应的声音波形。
三、线性系统的基本理论1. 系统函数和频率响应系统函数是将输入信号转换为输出信号的函数，通常用$H(s)$ 或 $H(jw)$ 表示，其中 $s$ 是连续时间变量，$jw$ 是离散时间变量，表示系统的频率响应。
频率响应是指系统在不同频率下的输出功率和输入功率之比，通常用 $H(jw)$ 表示。
2. 系统的稳定性稳定性是指系统在输入端输入有限信号时输出端不会产生无限响应的性质。
在线性系统中，通常采用相对稳定性来描述系统的稳定性，这意味着系统相对于任意有限的输入信号都稳定。
线性系统理论基础教学设计
线性系统理论基础教学设计1. 前言线性系统理论是控制工程领域的重要基础知识，对于相关专业的学生具有重要的理论和实践意义。
本文将探讨如何设计一门有效的线性系统理论基础教学课程，并介绍一些教学方法和实践。
2. 教学目标通过本课程的学习，学生应该能够掌握以下知识和技能：•线性系统的概念和基本性质；•线性时不变系统的描述和分析方法；•卷积、功率谱密度等基本信号分析工具；•控制系统的设计思想和方法。
3. 教学内容3.1 线性系统的概念和基本性质介绍线性系统的定义、线性时不变系统的特点、线性系统的超定和欠定等基本概念，通过实例说明最基本的线性时间不变系统（LTI）模型及其稳定性、可控性和可观性。
3.2 线性时不变系统的描述和分析方法介绍连续时间系统的微分方程和离散时间系统的差分方程，从时域的角度讨论线性时不变系统的性质，如零输入响应、零状态响应和全响应；从频域的角度讨论线性时不变系统的性质，如频率响应、传递函数和极点零点分析，介绍Bode图的构画和相位、增益裕度等基本概念。
3.3 卷积、功率谱密度等基本信号分析工具介绍卷积的定义和性质，以及卷积在连续时间和离散时间下的实现；介绍功率谱密度的概念和基本性质，以及如何通过傅里叶变换计算信号的功率谱密度，还介绍平稳随机信号在LTI系统下的响应和谱密度。
3.4 控制系统的设计思想和方法介绍常见的控制系统设计方法，如比例控制、积分控制和比例积分控制；介绍根轨迹的基本概念和绘制方法，以及如何通过根轨迹分析控制系统的稳定性和性能。
4. 教学方法本课程采用授课、课堂讨论和课程设计相结合的教学方法，即教师在课堂上讲授相关知识，引导学生进行相关思考，同时还将提供一些相关案例分析。
此外，还将组织学生完成一些线性系统的实验或课程设计，并通过实验或课程设计来检验和巩固所学内容。
5. 教学评价本课程将采用多种教学评价方式，如闭卷考试、开卷考试、实验报告和课程设计报告等，以全面评价学生的学习成果和自主能力。
线性系统理论全
稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质
线性系统理论
线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。
线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。
在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。
一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。
当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。
当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。
当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。
线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。
其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。
换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。
另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。
这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。
除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。
二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。
下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。
1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。
例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。
我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。
这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。
这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。
2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。
它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。
在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。
这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。
控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。
《线性系统理论基础》复习提纲
已知系统 x& = Ax + Bu, y = Cx + Du
1）求矩阵的互不相同的特征根 λi ,i = 1, 2,L, n ：即求特征多项式 λ I − A = 0 的根 2）求每个特征根 λi 对应的特征向量 vi ：即求解线性方程组
(λ iI − A)vi = 0
3）构造线性变换 x = Px 的矩阵 P ：即以特征向量 vi 为列向量构成矩阵
m
,将其转化为
⎡ x1 ⎤ ⎡ y ⎤
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y(n) y=
+ an−1y(n−1) + " + a1y + bm y(m) + bm−1y(m−1) + "
a0 y = u + b1y + b0
y
，选取状态向量
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
y #
⎥ ⎥ ⎥
已知系统的状态方程 x& = Ax + Bu 、初始状态 x(0) 和输入控制量 u(t) ，求状态响应 x(t) ： 1）求状态转移矩阵 eAt
∫ 2）分别求系统的零输入响应 eAt x(0) 和零状态响应 t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
3）系统的状态响应为
∫ x(t) = eAt x(0) + t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
( A − λ i I ) pij3 = pij2 M
(A−λ
i I ) pikj j
=
pj i(k j −1)
（其中 k j 表示相应于特征向量 pij 的广义特征向量个数）
变换矩阵的构造如下：
à 对应于 λ i 的 βi 个约当块的分块矩阵为 Pi j = ⎡⎣ pi1j pij2 L
第三章线性网络的一般分析方法和网络定理
第三章线性网络的一般分析方法和网络定理线性网络的一般分析方法和网络定理是线性系统理论的基础，对于理解和分析线性网络的性质和行为具有重要意义。
本章将介绍线性系统的一般分析方法和一些常见的网络定理。
线性网络一般分析方法包括模型描述、稳态分析和频域分析等。
模型描述是指将线性系统用数学方程建模，常见的描述方法包括微分方程、差分方程和传递函数等。
稳态分析是指研究系统在长时间作用下的稳定行为，包括零输入响应和零状态响应。
频域分析是指将系统的输入和输出用频域表达，通过频率响应函数分析系统的频率特性。
线性系统的性质和行为可以利用一些重要的网络定理进行分析和描述。
常见的网络定理包括叠加原理、超级位置原理、频域定理和稳定性条件等。
叠加原理是线性系统最基本的性质之一，它表示系统输出可以分解为各个输入分量响应的叠加。
具体地说，如果一个线性系统对于输入信号x1(t)的响应为y1(t)，对于输入信号x2(t)的响应为y2(t)，那么对于输入信号x(t)=x1(t)+x2(t)，系统的响应为y(t)=y1(t)+y2(t)。
超级位置原理是叠加原理的一种推广，它描述了线性系统对于输入信号的定比例缩放响应的性质。
具体地说，如果一个线性系统对于输入信号x(t)的响应为y(t)，那么对于输入信号kx(t)（k为常数），系统的响应为ky(t)。
频域定理是指在频域上分析线性系统的性质和行为，常见的频域定理包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换等。
通过频域分析，可以得到系统的频率响应函数，从而研究系统的频率特性。
稳定性条件是指线性系统的稳定性的必要和充分条件。
对于连续时间系统，稳定性条件是系统的所有特征根（极点）的实部都小于零；对于离散时间系统，稳定性条件是系统的所有特征根（极点）的模都小于1除了以上介绍的常见网络定理外，还有一些其他重要的网络定理，如包络定理、发散定理、主值定理等，它们在具体的分析和设计问题中具有重要的应用。
总之，线性网络的一般分析方法和网络定理是理解和分析线性系统行为和性质的基础。
线性系统理论研究与应用
线性系统理论研究与应用线性系统在现代工程学科中有着非常广泛的应用，无论是在工业、电子、控制等领域中，线性系统的理论都扮演着至关重要的角色。
本文就对线性系统理论研究及其在应用中的重要性进行探讨。
一、线性系统的基础理论线性系统理论是指对线性系统进行分析和研究的学科，线性系统是指系统在任何作用下均满足叠加原理的系统，即若对输入施加两个不同信号，系统响应的结果等于这两个输入相应结果的简单相加。
因此，线性系统具有非常重要的数学特性，如可逆性、稳定性、等等。
在线性系统的理论中，研究重点往往包括系统的范数、稳定性、传递函数、矩阵变换等。
其中，传递函数是线性系统理论中最为重要的概念之一，它描述了输入与输出之间的关系，也是设计控制器的基础。
二、线性系统在现代工程中的应用线性系统的理论有广泛的应用，涵盖了工业、制造、电力、交通、通讯、控制工程等领域。
1、自动化控制系统在自动化控制系统中，对于网络、传感器等设备的建模和控制设计，需要利用线性系统的理论进行分析。
同时，线性系统的理论也是PID控制器的核心基础，通过使用线性系统理论，控制器可以更好地稳定和控制系统。
2、通讯工程线性系统理论也在通讯领域得到了广泛应用。
例如，调制解调器的设计可以利用传递函数来描述它的行为。
通讯领域中的信道等都可以采用线性系统进行建模和分析。
3、电力输电与变压器在电力系统中，通过调整系统的输入电信号，可以改变系统的输出电信号。
通过对电力线路和变压器进行建模和控制器设计，可以使整个系统在高效稳定和安全的情况下运行。
4、飞行控制航空工业是线性系统理论的重要应用领域，如飞行控制系统中，线性系统的理论起到至关重要的作用。
通过对飞行器的建模和控制器设计，可以保证飞机在空中的稳定性和可操作性。
三、结语总之，在现代工程学科中，线性系统理论的应用是无处不在的。
通过对线性系统的建模和分析，可以有效解决工程问题。
虽然本文没有涉及太多具体细节，但是希望读者可以对线性系统理论在现代工程领域的应用有一个更系统的认识。
线性系统理论全PPT课件
稳定性是线性系统的一个重要性质，它决定了系统在受到外部干扰后能否恢复到原始状态。如果一个系统是稳定 的，那么当外部干扰消失后，系统将逐渐恢复到原始状态。而不稳定的系统则会持续偏离原始状态。
03
线性系统的数学描述
状态空间模型
01
定义
状态空间模型是一种描述线性动态系统的方法，它通过状态变量和输入
航空航天控制系统的线性化分析
线性化分析
在航空航天控制系统中，由于非线性特性较强，通常需要进行线性化分析以简化系统模 型。通过线性化分析，可以近似描述系统的动态行为，为控制系统设计提供基础。
线性化方法
常用的线性化方法包括泰勒级数展开、状态空间平均法和庞德里亚金方法等。这些方法 可以将非线性系统转化为线性系统，以便于应用线性系统理论进行控制设计。
线性系统理论全ppt课件
• 线性系统理论概述 • 线性系统的基本性质 • 线性系统的数学描述 • 线性系统的分析方法 • 线性系统的设计方法 • 线性系统的应用实例
01
线性系统理论概述
定义与特点
定义
线性系统理论是研究线性系统的 数学分支，主要研究线性系统的 动态行为和性能。
特点
线性系统具有叠加性、时不变性 和因果性等特性，这些特性使得 线性系统理论在控制工程、信号 处理等领域具有广泛的应用。
线性系统的动态性能分析
动态性能指标
描述线性系统动态特性的性能指 标，如超调量、调节时间、振荡
频率等。
状态空间分析法
通过建立和解决线性系统的状态方 程来分析系统的动态性能，可以得 到系统的状态轨迹和响应曲线。
频率域分析法
通过分析线性系统的频率特性来描 述系统的动态性能，可以得到系统 的频率响应曲线和稳定性边界。
线性系统理论复习大纲
第一部分复习大纲1.什么是线性系统？线性系统一般怎样分类？2.状态空间的描述和输入输出描述的基本概念及其关系。
3.系统状态空间描述建模。
主要是指电路、力学装置、机电装置的状态空间描述数学模型。
4.状态方程的约当标准型及其性质。
5.传递函数矩阵概念。
传递函数矩阵与状态空间描述之间的关系（已知状态空间描述求传递函数矩阵和已知传递函数矩阵进行状态空间描述实现）。
6.线性坐标变换。
7.组合系统的状态空间描述，输入输出描述建模。
8.矩阵指数函数及其性质。
9.线性系统的运动求解，系统矩阵特征值，特征向量对运动的影响。
10.脉冲响应阵与传递函数阵的关系、卷积定理。
11.状态转移矩阵及其性质。
12.线性连续系统离散化及其性质、求解。
13.连续系统与离散系统的能控性、能达性、能观性、能测性及其判据。
14.能控性指数、能观性指数、对偶原理。
15.能控能观标准型及其结构分解，结构分解后各部分与输入输出描述，状态空间描述之间的关系，会对约当标准型进行结构分解并求传递函数。
16.线性系统内部稳定、BIBO稳定概念及其性质。
17.连续和离散系统的lyapunov稳定概念及其各种判别定理，会用lyapunov方法判断连续系统、离散系统的稳定性。
18.状态反馈、输入输出反馈性能比较。
19.极点配置及其算法。
20.镇定条件、镇定与极点配置的关系（算法不考，但对一个线性系统能进行是否能镇定条件判断）。
21.解耦控制形式、分类，各种解耦方法特点，系统能否解耦判断，会进行积分型解耦算法。
22.跟踪问题及其结构框图、内模原理（会建立跟踪问题的内模）、可跟踪条件。
23.各种线性二次型最优控制问题指标含义，掌握最优控制及其性能指标求法。
24.无限时间最优控制的稳定裕度，反馈增益可摄动范围及其物理意义。
25.状态观测器设计、分类及其特点，掌握全维和降维观测器设计方法。
26.状态观测器设计与状态反馈设计之间的关系问题。
第二部分复习大纲1.多项式、多项式矩阵的基本概念。
线性系统理论主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程
线性系统理论一、主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。
1、系统、系统模型，线性系统理论基本内容2、状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述3、连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析4、线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据5、对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解6、系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据7、系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题二、线性系统及其研究的对象一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。
因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。
控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。
但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
三、研究线性系统的基本工具研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。
用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。
线性系统理论基础
《线性系统理论基础》实验指导书嵇启春西安建筑科技大学信息与控制工程学院第一章课程简介，实验内容及学时安排一、课程简介线性系统理论基础是自动化类专业的主要专业理论课，是现代控制理论的基础。
它将使学生们系统地学习并掌握现代控制理论的基本分析和设计方法，为后续专业课程的学习打下良好的基础。
教学目标：熟练掌握现代控制基本理论，能运用所学知识进行系统建模、性能分析和综合设计。
《线性系统理论基础实验》是《线性系统理论基础》课程的重要教学环节，是自动化类专业学生必须掌握的教学内容。
其目的主要是使学生学习和掌握控制系统基本的分析、设计方法，加深理解线性系统理论的基本知识和原理，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，为学生今后从事该领域的科学研究和技术开发工作打下扎实的基础。
二、实验内容及学时安排本课程的实践环节由必作和选作两类实验构成，对能力较强的学生指导他们课外进行选作实验。
目前实验主要基于MATLAB仿真软件进行仿真实验。
必作实验为三个，每个实验2学时。
要求学生一人一机，独立完成必作的实验，由此使学生得到较全面的基础训练。
通过该课程的实验训练，应达到下列要求：1. 使学生了解MATLAB仿真软件的使用方法，重点掌握MATLAB控制工具箱的使用方法；2. 通过实验加强对所学理论知识的理解和应用；3. 实验前预习，实验后按要求撰写实验报告。
第二章 《线性系统理论基础》课程实验实验一 MATLAB 控制工具箱的应用及线性系统的运动分析一、实验目的1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中的基本命令的操作方法；2、掌握线性系统的运动分析方法。
二、实验原理、内容及步骤1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中基本命令的操作设系统的模型如式(1-1)所示：p m n R y R u R x DuCx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+= (1-1)其中A 为n ×n 维系数矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
《线性系统理论讲义》课件
时域分析
卷积积分
学习卷积积分的计算方法，掌握时 域分析的基本方法。
因果性
认识系统因果性的概念，学习如何 判断一个系统是否是因果系统。
冲击响应
了解系统的冲击响应特性，学会如 何使用冲击响应分析系统的动态特 性。
单位脉冲响应
学习单位脉冲响应的计算方法，掌 握时域分析的基本方法。
频域分析
1
傅里叶变换
学习傅里叶变换的基本概念与性质，掌握在频域下分析系统的方法。
本课件内容详细介绍了线性系统的基本概念、信号与系统分析、时域分析、频域分析、线性系统设计和应用实例。 通过本课件的学习，您将掌握线性系统理论的基础知识和应用技能。
学会设计控制系统，实现系统的自动控制。
应用实例
机械控制系统设计
了解机械控制系统的构成和特点， 学会使用线性系统理论设计控制系 统。
自动控制系统设计
认识自动控制系统的概念与分类， 掌握自动控制系统的设计方法。
信号处理应用实例
了解信号处理的基本知识和应用领 域，学会使用线性系统理论进行信 号处理。
总结
线性系统理论讲义PPT课 件
本课程将深入讲解线性系统基础知识和应用技能，介绍系统的数学模型、信 号与系统分析、时域分析、频域分析、线性系统设计等内容。
线性系统基础
1
概念
了解什么是线性系统及其特点。
2
性质
掌握线性函数的性质，了解线性系统的基本概念。
3
数学模型
学习如何使用数学方法描述线性系统的模型。
4
时不变系统
认识时不变系统的概念和特性，掌握时不变系统的分析方法。
信号与系统分析
信号分类及性质
了解信号的种类与性质，熟悉不同种类的信号的特 点。
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《线性系统理论基础》实验指导书嵇启春西安建筑科技大学信息与控制工程学院第一章课程简介，实验内容及学时安排一、课程简介线性系统理论基础是自动化类专业的主要专业理论课，是现代控制理论的基础。
它将使学生们系统地学习并掌握现代控制理论的基本分析和设计方法，为后续专业课程的学习打下良好的基础。
教学目标：熟练掌握现代控制基本理论，能运用所学知识进行系统建模、性能分析和综合设计。
《线性系统理论基础实验》是《线性系统理论基础》课程的重要教学环节，是自动化类专业学生必须掌握的教学内容。
其目的主要是使学生学习和掌握控制系统基本的分析、设计方法，加深理解线性系统理论的基本知识和原理，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，为学生今后从事该领域的科学研究和技术开发工作打下扎实的基础。
二、实验内容及学时安排本课程的实践环节由必作和选作两类实验构成，对能力较强的学生指导他们课外进行选作实验。
目前实验主要基于MATLAB仿真软件进行仿真实验。
必作实验为三个，每个实验2学时。
要求学生一人一机，独立完成必作的实验，由此使学生得到较全面的基础训练。
通过该课程的实验训练，应达到下列要求：1. 使学生了解MATLAB仿真软件的使用方法，重点掌握MATLAB控制工具箱的使用方法；2. 通过实验加强对所学理论知识的理解和应用；3. 实验前预习，实验后按要求撰写实验报告。
第二章 《线性系统理论基础》课程实验实验一 MATLAB 控制工具箱的应用及线性系统的运动分析一、实验目的1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中的基本命令的操作方法；2、掌握线性系统的运动分析方法。
二、实验原理、内容及步骤1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中基本命令的操作设系统的模型如式(1-1)所示：p m n R y R u R x DuCx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+= (1-1)其中A 为n ×n 维系数矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示：D B A sI C s den s num s G +-==-1)()()(()( (1-2)式(1-2)中，)(s num表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。
[例1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1-3)式，求系统的传递函数。
(1-3) 程序:%首先给A 、B 、C 阵赋值；A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];C=[1 0 0];D=0;%状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u),631234100010321321u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) 程序运行结果: num =0 1.0000 5.0000 3.0000 den =1.00002.00003.00004.0000 从程序运行结果得到系统的传递函数为：43235)(232+++++=s s s s s S G (1-4)[例1.2] 从系统的传递函数(1-4)式求状态空间表达式。
程序:num =[1 5 3]; den =[1 2 3 4];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 程序运行结果:A =B = -2 -3 -4 1 1 0 0 0 0 1 0 0C =D = 1 5 3 0由于一个系统的状态空间表达式并不唯一, [例1.2]程序运行结果虽然不等于式(1-3)中的A 、B 、C 阵，但该结果与式(1-3)是等效的。
不妨对上述结果进行验证。
[例1.3] 对上述结果进行验证编程。
%将[例1.2]上述结果赋值给A 、B 、C 、D 阵；A =[-2 -3 -4;1 0 0; 0 1 0];B =[1;0;0];C =[1 5 3];D=0； [num,den]=ss2tf(A ，B ，C ，D,1) 程序运行结果与[例1.1]完全相同。
[例1.4] 给定系统125.032)(2323++++++=s s s s s s s G ，求系统的零极点增益模型和状态空间模型，并求其单位脉冲响应及单位阶跃响应。
解：num=[1 2 1 3];den=[1 0.5 2 1]; sys=tf(num,den)%系统的传递函数模型Transfer function: s^3 + 2 s^2 + s + 3 ----------------------------- s^3 + 0.5 s^2 + 2 s + 1 sys1=tf2zp(num,den) %系统的零极点增益模型 sys1 =-2.1746 0.0873 + 1.1713i 0.0873 - 1.1713isys2=tf2ss(sys) %系统的状态空间模型模型；或用[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)形式 a = -0.5000 -2.0000 -1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0 b = 1 0 0c = 1.5000 -1.0000 2.0000d = 1impulse(sys2)%系统的单位脉冲响应图2-1 系统的单位脉冲响应 step(sys2)%系统的单位阶跃响应：图2-2 系统的单位阶跃响应2、实验内容（1）自选控制对象模型，应用以下命令，并写出结果。
1） step, damp, pzmap, rlocus, rlocfind, bode, margin, nyquist ； 2） tf2ss, ss2tf, tf2zp, zp2ss ； 3） ss2ss, jordan, canon, eig 。
（2）掌握线性系统的运动分析方法1)已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210A ，求Ate 。
(用三种方法求解) 2) 利用MATLAB 求解书上例2.8题，并画出状态响应和输出响应曲线，求解时域性能指标。
(加图标题、坐标轴标注及图标)3) 利用MATLAB求解书上例2.12题，并画出状态响应和输出响应曲线。
(加图标题、坐标轴标注及图标)4) P36 1.4-2 1.5-3；P56 2.3-3三、实验设备及注意事项1、计算机120台；2、MATLAB6.X软件1套。
注意不同版本MATLAB软件的异同。
四、实验报告要求按照预习报告中的程序进行验证实验，并按实验记录完成报告。
五、预习要求及思考题预习相关的理论知识。
实验二系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。
掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的稳定性分析；3、系统的最小实现。
二、实验原理、内容及步骤1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t1-t）内，能把任一给定的初态x(t)转移至预期的终端x(t1)，则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。
状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为：[]p B CACAB CB Rank RankQ n cy ==-1（2-1）状态能控性判别式为：[]n B A AB BRank RankQ n c ==-1 （2-2） 系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。
状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：[]nCA CA C Rank RankQ Tn o ==-1（2-3）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。
已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。
实现的方式不唯一，实现也不唯一。
其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
[例2.1] 对下面系统进行可控性、可观性分析。
[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=xy ux x 021102101110221解：a=[-1 -2 2;0 -1 1;1 0 -1];b=[2 0 1]';c=[1 2 0] Qc=ctrb(a,b)%生成能控性判别矩阵= 2 0 0 0 1 0 1 1 -1 rank(Qc) %求矩阵Qc 的秩 ans = 3%满秩，故系统能控 Qo=obsv(a,c)%生成能观测性判别矩阵rank(Qo)%求矩阵Qo 的秩ans = 3%满秩，故系统能观测2、系统稳定性分析系统稳定是系统正常工作的首要条件。
只要系统的状态矩阵A 的特征根全部具有负实部，系统就是状态稳定的。
当状态方程是系统的最小实现时，式(1-2)中A sI s den -=)(，系统的状态渐近稳定与系统的BIBO （有界输入有界输出）稳定等价；当A sI s den -≠)(时，若系统状态渐近稳定则系统一定是的BIBO 稳定的，而系统的BIBO 稳定不一定是系统的状态渐近稳定。
[例2.2] 已知系统状态空间方程描述如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=01000010000124503510A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001B ，[]242471=C 试判定其稳定性，并绘制出时间响应曲线来验证上述判断。