逆向思维在解题中的应用

浅谈逆向思维在解题中的应用

【摘要】对有些数学问题，如果从正面去直接探求，常常一筹莫展，但是，若改变一下思维的角度，避开正面强攻，从问题的反面进行逆向思考，又常能找到解题的通道，甚至获得优秀的解法。波利亚在《怎样解题》中写道“毫无疑问，这种方法有些发人深思之处。不照直走一条通往目标的道路，而是从目标走开，转头来倒着干。”

【关键词】逆向思维应用浅谈

【中图分类号】 g633.6 【文献标识码】 a 【文章编号】

1674-4772（2013）03-023-01

一、逆用定义

本来数学定义总是可逆的，但学生在解题中往往习惯于正向使用，而对定义的逆用缺乏自觉性和敏感性。

例1. 已知点a（ 2，0），b （2，0）和动点p（x ， y），△ abp 的周长为10，求点p 的轨迹方程.

解析：本题可直接用两点的距离公式，求动点p的轨迹方程.但运算量大，考虑到ab+ pa+ pb =10 ，即pa+ pb =6>4 ，ab = 4.逆用定义，可得点p 的轨迹是椭圆，于是设点p 的轨迹方程是■+■=1（x≠±3）

二、逆用公式

对所给的数学问题，若能挖掘其隐含的某些公式的特征，借以逆用，使问题转化，常可得到简捷、巧妙的解法。

例2. 求证：对于任意自然数n（n≥3），总有不等式■>n成立。证明：2 =21+2+3+……（n-1）=21×22×23……×2n-1

又2n-1=cn-1 +cn-1+cn-1+……+cn-1 =1+n-1+cn-1 +……>n

∴2 =21×22×23……×2n-1>1×2×3……×n=n！

注：逆用了1+2+3+……+n=■，cn-1 +cn-1+……+cn=2n

三、运用互为逆否的命题的等价关系

有时将某命题转换成与它等价的命题，即逆否命题，以降低解答的难度.

例3. 已知甲： x + y ≠3，乙： x ≠1，或y ≠2，则甲是乙的（）.

（a）充分非必要条件（b）必要非充分条件

（c）充要条件（d）既非充分又非必要条件

解析：命题“甲乙”等价于它的逆否命题：“若x = 1，且y = 2则 x + y = 3，”是真命题，而命题“乙甲”等价于它的逆否命题：“若x + y = 3，则x = 1，且y = 2”是假命题，所以乙推不出甲，故甲是乙的充分非必要条件，选a.

四、运用命题的否定，求补解决

原命题的情况复杂，而命题的否定简单，不妨从命题的否定去思考和探索，得出结论后，通过补集思想容易求出原命题结论，这也是逆向思维的一种方式。

例4. 设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx.若存在x0∈[0，■]，使 | a f（x）-g（x）-3|≥■成立，求实数a的取

值范围.

解析：可设t=sinx+cosx，则a f（x）-g（x）-3=t2-at+2

∵ x0∈[0，■]，则t=sinx+cosx=■sin（x0+■）∈[1，■]

设命题p：“存在t0∈[1，■]，使 | t02-at0+2|≥■成立”

则命题p的否定“t∈[1，■]， | t2-at+2|t+■恒成立.（1） a>■（1）

t0∈[1，■]，a故由命题p得：a的取值范围■五、执果索因，逆序探求

当从题设条件出发，“由因导果”受阻时，不妨从肯定结论入手进行“执果索因”，从而探求出因果之间的联系。

六、反证法

它是逆向思维的常用武器，是常见一种方法。

例6 设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数中a，b，c均为整数，且f（0）、f（1）均为奇数，求证：f（x）=0无整数根。

证明假设f（x）=0有整数根x0，∴ax02+bx0+c=0，∵f（0）、f （1）为奇数，∴c为奇数，a+b+c为奇数或a、b、c同为奇数或a、b同为偶数且c为奇数，（1）当x0为奇数时，ax02+bx0为偶数（2）当x0为偶数时，ax02+bx0为偶数，由（1）（2）得ax02+bx0为偶数，∴ax02+bx0+c为奇数与ax02+bx0+c=0矛盾，∴f（x）=0无整数根。

七、反面思考

对于一些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题可先攻其反

面，从而使正面问题得以解决，我们常称为“正难则反”。

例7. 求二项式（15■x-y）15展开式中所有无理系数之和.

解析：该二项式的展开式中所有有理系数只有两项（15■x-y）15=3x15及（-y）15=-y15，其系数之和为3+（-1）=2.又在二项式（15■x-y）15中，令x=y=1，可得展开式中所有各项的系数和为（15■-1）15。故所有无理系数之和为（15■-1）15-2.

八、反客为主

解题时，总是把注意力集中在那些主要变元上，会思维受阻，若能注意在某种特定的条件下，变换思维角度，反客为主，常能取得解题突破。

九、反例否定

证明一个命题需进行严格的逻辑推理，而否定一个命题仅需举出一个反例即可。举反例否定某一命题是一种逆反思维形式。