第四章稳定性(轴压)

v v1 v0 Nv0 v0 NE N
N
l
N
l
1 v0 1 N NE
eo 0
根据上式，可得理想 无限弹性体的压力—挠度 曲线，具有以下特点：①v 随N非线形增加,当N趋于NE 时，v趋于无穷;②相同N作 用下,v随v0的增大而增加; ③初弯曲的存在使压杆承 载力低于欧拉临界力NE。
焊接工字形：在工厂制造，利用自动焊焊接所需的尺
寸，其腹板按局部稳定的要求作得很薄以节省钢材， 应用十分广泛。
常用的截面形式及特点：
十字形截面：在两个主轴方向的回转半径是相同的，
对于重型中心受压柱，当两个方向的计算长度相同时， 这种截面较为有利。在高层钢结构中应用广泛，但要 保证不发生抗扭屈曲。
4.3实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
4.3.1实腹式柱截面选择计算
1. 截面选择原则： 1)截面面积的分布应尽量开展，以增加截面的惯性 惯性矩和回转半径，提高它的整体稳定性和刚度； 2)等稳定性：使两个主轴方向的稳定系数（长细比） 大致相等； 3)便于与其他构件进行连接； 4)尽可能构造简单，制造省工，取材方便。
纵向残余应力
残余应力是杆件截面内存在的自相平衡的初始应力。 残余应力有平行于杆轴方向的纵向残余应力和垂直于
杆轴方向的横向残余应力两种。横向残余应力的绝对 值一般很小，而且对杆件承载力的影响甚微，故通常
只考虑纵向残余应力。
初 始 缺 陷
力学缺陷：残余应力、材料不均匀等。 几何缺陷：初弯曲、初偏心等；
稳定分岔屈曲——平板；延性破坏的特征；
不稳定分岔屈曲——园柱壳体、短粗园管压杆、
薄壁方管压杆等；脆性破坏的特征；
跃越屈曲——拱矢较小的坦拱、扁球顶盖等；
脆性破坏的特征；
从完善构件的稳定分析到有缺陷的实际杆件的稳 定分析，这一思路贯穿各类构件的稳定分析中。
一阶分析、二阶分析
一阶分析：不考虑变形对外力效应的影响。例
1.
2.
3.
弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主轴旋转，杆 纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见的失稳形式；
扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面均绕纵轴扭 转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式；
弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆件发生弯曲变形的同
时必然伴随着扭转。
实际轴心受压构件的整体稳定计算 （弯曲屈曲）
对x x轴屈曲时：
2 2 2 2
kb b
a a’ c
crx
E I ex E 2t ( kb)h 4 E 2 2 2 k 2 x I x x 2tbh 4 x
b’
( 4 9)
对y y轴屈曲时：
cry
2 E I ey 2 E 2t ( kb) 3 12 2 E 3 2 2 2 k 3 y I y y 2tb 12 y

b’


fy
b
c’ σrc σrt
σ1
t
h
x
x
t
y
初弯曲对轴心受压杆件的整体稳定性 的影响
以两端铰接的、具有初弯 曲的弹性轴心压杆为例， 建立平衡微分方程：
x EIy N y v0 sin 0 l
a) N b) N
eo 0
x y0 y x y
杆长中点总挠度为：
3、折算模量计算压杆的非弹性稳定临界力：
Nr
2 Er I
l
2
Et I1 EI 2 Er I
经过实验发现临界力达不到Nr，但接近Nt。
4、新切线模量理论：应用在钢结构的稳定分析中。
稳定问题的多样性、整体性、相关性
多样性：失稳形式不只一种； 整体性：对一个杆件的分析，应考虑其他杆件
绕非对称轴 轴： x l ox i x x
绕对称轴y轴屈曲时，一般为弯扭屈 曲，其临界力低于弯曲屈曲，所以计 算时，以换算长细比λyz代替λy 。 计算公式如下：
x
y
x
y
轴心受压构件的稳定承载力与那些因 素有关？
1. 构件的几何形状与尺寸：影响屈曲形式，而
屈曲形式对构件的稳定承载力有直接关系。 2. 杆端约束程度：约束程度愈高，则承载力愈 高。 3. 残余应力、初弯曲、初偏心：残余应力的分 布位置和大小对轴心受压构件的稳定承载力 影响很大。初弯曲和初偏心对轴心受压构件 的稳定承载力影响本质是相同的。 4. 钢材的强度：构件在弹性阶段屈曲时与强度 无关，而在弹塑性阶段屈曲时，强度高的构 件比强度低的构件临界力要高。
对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取 值，详见有关章节。
轴心受压构件整体稳定计算

弹性屈曲（失稳）和弹塑性 屈曲（失稳） 屈曲形式： 弯曲屈曲：只发生弯曲变形， 杆件的截面只绕一个主轴旋 转，杆的纵轴由直线变为曲 线。 扭转屈曲：失稳时杆件除支 承端外各截面均绕纵轴扭转。 弯扭屈曲：杆件在发生弯曲 变形的同时伴随着扭转。
圆管截面：轴心压杆的承载能力较高，轧制钢管取材
不易，应用不多。焊接圆管压杆用于海洋平台结构， 因其腐蚀面小又可作成封闭构件，比较经济合理。
方管或由钢板焊成的箱形截面：因其承载能力和刚度
都较大，虽然和其他构件连接构造相对复杂些，但可 用作轻型或高大的承重支柱。
根据前述压杆屈曲理论，当 应力；
N A fp
或 p E f p 时，可采用欧拉公式计算临界
当 或 p E f p 时， N A fp 截面出现塑性区，由切线模量理论知，柱屈曲 时,截面不出现卸载区，塑性区应力不变而变 形增加,微弯时截面的弹性区抵抗弯矩，因此, 用截面弹性区的惯性矩Ie代替全截面惯性矩I， 即得柱的临界应力：
2. 常用的截面形式及特点：
角钢：单角钢截面适用于桁架中受力较小的腹杆。双
角钢能满足等稳定性的要求，常用于由节点板连接杆 件的平面桁架。
热轧普通工字钢：制造省工，适用于两个主轴方向计
算长度相差较大的情况，如：工作平台柱；
轧制H型钢：面积分布较合理，制造简单，生产量少。
轴压构件宜采用宽翼缘。
第4章 单个构件的承载能力—稳定性
4.1 稳定的一般问题
失稳的类别
完善直杆沿轴心受压时其失稳时其平衡形式由
直变弯——分支点失稳；
实际的轴心受压杆由于存在几何缺陷（初始弯
曲），受力后，挠度不断增加，失稳时是以变 形的发展导致承载力达到极限——极值点失稳
现在钢结构的分类方式是以屈曲后的性能如何进 行分类 :
2、实际轴心受压构件的柱子曲线
我国规范给定的临界应力σcr，是按最大强度
准则，并通过计算机数值分析确定的。
由于各种缺陷对不同截面、不同对称轴的影响 不同，所以σcr-λ曲线（柱子曲线），呈相当宽的 带状分布，为减小误差以及简化计算，规范在试验 的基础上，给出了四条曲线（四类截面），并引入 了稳定系数
1、残余应力的影响 （1）残余应力产生的原因及其分布 A、产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却； ②型钢热轧后的不均匀冷却； ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩； ④构件冷校正后产生的塑性变形。
实测的残余应力分布较复杂而离散，分析
时常采用其简化分布图（计算简图）：
典型截面的纵向残余应力的分布：
(3)、仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力
2 EI e 2 EI I e N cr 2 2 I l l 2 E Ie cr 2 I
以忽略腹板的热轧H型钢柱为例， 推求临界应力：
当σ>fp时，截面出现塑性区，应 力分布如图。 柱屈曲可能的弯曲形式有两种： 沿强轴（x轴）和沿弱轴（y轴） 因此，临界应力为：
的约束影响。这种约束作用要从结构的整体分 析来确定；
相关性：不同失稳模式的耦合作用
4.2 轴心受压构件的整体稳定性
实际轴心受压柱的受力性能受许多因素的影响， 主要的因素有截面中的残余应力，杆轴的初弯 曲，荷载作用点的初偏心以及杆端的约束条件 等。这些因素的影响是错综复杂的，其中残余 应力，初弯曲和初偏心都是不利的因素，并被 看作是轴心压杆的缺陷；而杆端约束有有利的 一面，也有不利的一面。
1、实际轴心受压构件的临界应力
确定受压构件临界应力的方法，一般有： （1）屈服准则：以理想压杆为模型，弹性段以欧拉临 界力为基础，弹塑性段以切线模量为基础，用安全系 数考虑初始缺陷的不利影响； （2）边缘屈服准则：以有初弯曲和初偏心的压杆为模 型，以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限； （3）最大强度准则：以有初始缺陷的压杆为模型，考 虑截面的塑性发展，以最终破坏的最大荷载为其极限 承载力； （4）经验公式：以试验数据为依据。
公式使用说明：
（1）截面分类：见教材表4-4，第97页；
构件长细比的确定
①、截面为双轴对称或极对称构件：
x
y
x
y
x l ox i x
y l oy i y
对于双轴对称十字形截面，为了防止扭转 y 屈曲，尚应满足： b t x 或 y 5.07 b t x x b t 悬伸板件宽厚比。 y ②、截面为单轴对称构件：
x y
N
eo 0
(4 22)
其压力—挠度曲线如图：
曲线的特点与初弯曲 N N e0=0 压杆相同，只不过曲线过 1.0E 圆点，可以认为初偏心与 B e0=3mm 初弯曲的影响类似，但其 A B’ 影响程度不同，初偏心的 A’ 影响随杆长的增大而减小， 初弯曲对中等长细比杆件 0 影响较大。 v 我国的规范将二者缺 仅考虑初偏心轴心压杆的 压力—挠度曲线 陷合二为一，以初弯曲代 替初偏心的影响。
N NE 1.0
v0=0 v0=3mm
0.5
0
v
结论：1、当N=NE时，νm将无限增大，其物理意义 就是杆件的刚度随其所受压力的增大而不断退化，当 N达到临界力NE时，杆件的刚度退化为零，杆件无法 再保持稳定的平衡了。 2、初弯曲使轴心受压杆件的整体稳定承载力降低了。 我国规范将初弯曲取为杆长的1/1000。
杆端约束对轴心受压杆件的整体稳定性的影响
实际压杆并非全部铰支，对于任意支承情况的 压杆，其临界力为：
N cr
2 EI 2 EI 2 2 l0 l
式中：l 0 杆件计算长度， 0 l； l
计算长度系数，取值如 下表。
l0 的物理意义：将具有端部约束的杆件比拟为承载 力相同而长度不同的两端铰接构件看待。
初偏心对轴心受压杆件的整体稳定性 的影响 b) N e a) N
o
0
以两端铰接的、具有初偏心的弹
性轴心压杆为例，建立平衡微分 方程： x
EIy" Ny Ne0
x y
l
y0
y x
l
所以，压杆长度中点（x=l/2） y 最大挠度v： N
v y max N 1 e 0 sec 2 NE
(4 10)
fy
b
c’ σrc σrt
σ1
t
h
x
x
t
y
显然，残余应力对弱轴的影 响要大于对强轴的影响（k<1）。
分析得到：

kb b
a a’ c
残余应力使构件提前进入塑性 状态，而对弹性状态无影响；
残余应力的存在使得由I降低到 Ie,,使得抗弯刚度降低了，其稳 定承载能力也就降低了； 残余应力对截面的弱轴的影响 比强轴要大得多； 残余应力对截面的强度无影响。

。

ห้องสมุดไป่ตู้r
fy
轴心受压构件不发生整体失稳的条件为，截面 应力不大于临界应力，并考虑抗力分项系数γR后， 即为：
N cr cr f y f A R fy R N 即： f (4 24) A 稳定系数，可按截面分 类和构件长细比查 表得到。
如：强度计算。 例如：稳定计算和悬索结构等。 一阶分析、二阶分析的区别： 1）静定和超静定结构： 2）叠加原理：
二阶分析：针对已变形的结构来分析它的平衡。
3）缺陷的存在：
稳定极限承载能力
1、欧拉临界力：即σ ≤fp的情况时适用。
2、切线模量计算压杆的非弹性稳定临界力：
Nt
2 Et I
l2
这三种屈曲形式中最基
本、最简单的屈曲形式 是弯曲屈曲。 理想轴心压杆的发生弹 性弯曲屈曲时临界承载 力：欧拉临界力 理想轴心压杆的发生弹 塑性弯曲屈曲时临界承 载力：切线模量理论计 算临界力 实际轴心压杆由于存在 初弯曲和残余应力，弯 曲失稳属于极值点失稳， 承载力分析采用极限承 载力理论。