高等代数 知识点

第一章定义1 数域定义2 数域P上的一元多项式定义3 多项式相等定义4 一元多项式环带余除法定义5 整除定理1 r（x）=0定义 6 最大公因式定理 2 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g(x);(f(x),g(x))= u（x）f（x）+v（x）g(x)定义7 互素(f(x),g(x))=1定理 3 u（x）f（x）+v（x）g(x)=1定理4 f ，g互素且f|gh，则f|h推论f1|g，f2|g，且f1，f2互素，则f1f2|g，定义8 不可约多项式定理5 一个不可约多项式p，能够表达成P|fg，则p|f或者p|g因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f，都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。

第四章1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。

2单位矩阵E=[1⋯0⋮⋱⋮0⋯1]数量矩阵为kE=[k⋯0⋮⋱⋮0⋯k]如：AE=A，EA=A3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵4 秩（A+B）≤秩A+秩B5 如：A= (a11⋯a1n ⋮⋱⋮an1⋯ann)则矩阵的数量乘积kA=[ka11⋯ka1n ⋮⋱⋮kan1⋯kann]6 矩阵的转置记作A的转置为A’。

例如A= (a11⋯a1n ⋮⋱⋮an1⋯ann)则A’=(a11⋯an1⋮⋱⋮a1n⋯ann)注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’(kA)’=kA’定理1 假设A B是数域P上的两个n×n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积推论1 |A1A2⋯An|=|A 1||A 2|⋯|An|定义6数域P上的一个n×n矩阵A，如果|A|≠0，称为非退化的，否则称为退化的推论2 假设A B是数域P上的两个n×n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的定理2 假设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上的m×s 矩阵，于是秩（AB）≤min[秩A，秩B]。

即乘积的秩不超过个因子的秩推论3 如果A=A1A2⋯An，那么秩A≤min（秩Ai）定义7 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，则n级方阵A称为是可逆的定义8 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1定义9 假设A ij是矩阵A= (a11⋯a1n ⋮⋱⋮an1⋯ann)中a ij的代数余子式，矩阵A*=[A11⋯A1n⋮⋱⋮A n1⋯Ann]称为A的伴随矩阵。

A*A=AA*=dE其中d=|A|定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是A是非退化的，而A-1=1dA*推论如果A，B可逆，那么AB与Ａ＇也可逆，且(A’)-1=(A-1)’,(AB)-1=B-1A-1注意：对于一个线性方程组，系数矩阵为A ，X=(x1,x2,⋯xn )’等号后面的B=（b1，b2⋯b n ）’，那么AX=B, X=A -1B,则X 是线性方程组的唯一解定理4 A 是一个s ×n 矩阵，如果P 是s ×s 可逆矩阵，Q 是n ×n可逆矩阵，那么 秩A=秩PA=秩AQ ，（利用的是乘积的秩小于等于各因子的秩）性质 AB ＝０的充分必要条件是Ｂ列向量是ＡＸ＝０的解矩阵的分块的性质 对于相n ×m 的A 矩阵和m ×s 的B 矩阵，如果A 的行的分法与B 的猎德分法相同，那么，分块矩阵的乘法运算和非分块矩阵的运算一样。

矩阵B 的行向量B1B2⋯Bm ，那么B=B1B2 Bm，那么AB=a11B1+a12B2+⋯+a1mBma21B1+a22B2+⋯+a2mBm an1B1+an2B2+⋯+anmBm。

有上面的AB 可得，AB 的行向量是B1B2⋯Bm 的线性组合。

注意：D=[A O B C ] ，那么D -1=[A （−1）O −C (−1)BA （−1）C （−1）]定义对角矩阵的形式如下 A=[a1⋯0⋮⋱⋮0⋯an ]，只有对角线上的数不全是零，其余地方的数全是零准对角矩阵的形式如下A=[A1⋯0⋮⋱⋮0⋯An]，这是分块矩阵的一种特殊形式。

而对角矩阵是准对角矩阵的一种特殊形式对于有相同分块的两个准对角矩阵，如果他们相应的分块是同级的，那么它们的加法，乘法所得的结果仍然是准对角矩阵定义10 由单位矩阵经过一系列的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

注意：1 P（i，j）表示互换E的i，j行互换E的i，j列；P（i（c））表示用数域P的一个非零的常数c乘E的i行或i列；P（i，j（k））表示把矩阵E的j行乘k加到i行上，或者是表示矩阵E的i列乘k加到j列上。

2 P（i，j）-1= P（i，j），P（i（c））-1= P（i（c-1）），P（i，j（k））-1= P（i，j（-k））定义11 如果B可以由A经过一系列的初等变换得到，那么就称A与B等价定理5 任意一个s×n的矩阵A都与一形式为[1⋯0⋮1⋮0⋯0]的矩阵等价，那么它就称为A的标准形，其中1的个数等于A的秩1的个数可以是0。

等价的性质如果两个s×m的矩阵A，B，他么人呢等价的充要条件是他们的秩相等。

注意；矩阵A，B等价↔A，B的秩相等↔A，B的标准形相同↔存在初等矩阵P1P2⋯Ps，Q1Q2…Qm，使得A=P1P2⋯PsB Q1Q2…Qm定理6 n 级矩阵A 为可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积的形式，即A= Q1Q2…Qm 。

A 与E 等价。

推论1 两个s ×m 的矩阵A B 等价的充要条件是存在可逆的s ×s 矩阵P ，m ×m 矩阵Q 使得A=PBQ推论2 可逆矩阵一定能经过一系列初等变换转换成单位矩阵 推论2 的应用；n 级可逆矩阵A 与n 级单位矩阵E 合成一个新的n ×2n 矩阵（A E ），Q1Q2…Qm （A E ）=（E A -1）单位矩阵的分块 [Em 00En ] 相应的得到初等分块矩阵[0En Em 0][P 00En ][Em 00P ]|Em P 0En ||Em 0P En|(以上5个仅仅是行变换得到的，另外列变换还有5个) 特例；[1101]n =[1n 01]，[cos α−sin αsin αcos α]n =[cos nα−sin nαsin nαcos nα] 课本P198第二题的（7）（8） 定义 如果AB=BA 那么矩阵B 就称为与A 可交换性质 1与对角矩阵可交换的矩阵仍然是对角矩阵2假设A 是n ×n 矩阵，证明：存在一个n ×n 非零的矩阵B使得AB=0的充要条件是|A|=03 n ×n 矩阵A ，B ，满足AB=0，那么秩A+秩B ≤n注意：求A -1的方法 1 直接假设 A -1的矩阵，使得A 与假设的矩阵相乘得E ，利用矩阵对应元素相等得出A -1方法2 利用A -1 =1/d A *方法3 利用（A ，E ）得出（E ，A -1）第五章 二次型二次型的形式：f(x1,x2⋯xn )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+⋯+2a 1n x 1x n +a 22x 22+⋯+2a 2n x 2x n +…..+a nn x n x n定义1 非退化的线性替换注：1二次型的矩阵都是对称的2 f(x1,x2⋯xn )=X ’AX=∑∑aijXiYj n i=1n i=13 非退化线性替换 X=CY , 则X ’AX=Y ’C ’ACY=Y ’BY定义 2 合同----满足存在数域P 上的可逆的n 级矩阵使得B=C ’AC （其中A 不一定是对称的矩阵）合同的性质：反身性，对称性，传递性注意：二次型经过非退化的线性替换 ，新的二次型的矩阵与原来的二次型矩阵是合同的定理1 数域P 上若任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换转化成平方和的形式定理2 在数域P 上，任何一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵二次型转化成标准形后的矩阵是对角矩阵二次型的规范性完全被它的秩确定定理3 任意一个复系数的二次型，规范性唯一任意一个对称矩阵合同于[1⋯00⋮⋱1⋮0⋯00]，两个复数对称矩阵合同的充要条件是他们的秩相等定理4 任意一个实数域的二次型的规范性唯一定理5 任意一个实对称矩阵合同于[1⋯00⋮−1⋱−1⋮0⋯00]定义3 正惯性指数p，负惯性指数q，符号差p-q。

其中p+q=二次型的秩标准形中正的平方项的个数与规范性中正的平方项的个数相等定义4 正定二次型定理6 正定二次型的正惯性指数等于n定义5 如果X’AX是正定的，那么实对称矩阵A是正定的性质实对称矩阵正定当且仅当它与E合同推论正定矩阵的行列式大于零定义6 顺序主子式定理7 二次型正定充要条件是全部的顺序主子式大于零定义7 负定，半正定，半负定，不定定理8 二次型半正定↔正惯性指数=秩↔有可逆矩阵C使得C’AC=[d1⋯0⋮⋱⋮0⋯dn]其中di≥0↔所有的主子式都≥0↔有实矩阵C使得A=C’CA是正定的，那么所有的主子式都大于零A是正定矩阵，那么A-1也是正定的A是一个实矩阵，那么秩A’A=秩A第六章1 集合就是作为整体看的一堆东西，组成集合的东西称为元素，集合之间的交并包含于以及元素与集合间的属于和不属于。

2 映射就是运算法则3 恒等映射或者单位映射：即σ(α)=α4 （τσ）（α）=τ（σ(α)5 原像，像，单射，满射，双射，6 1M=σ（−1）σ1M’= σσ(−1)定义1 线性空间：如果加法与数量乘法满足下述规则加法满足下面四条规则1α+β=β+α2(α+β)+γ=α+（β+γ）3在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有，0+α=α（具有这个性质的元素0称为零元素）4 对于V中每一个元素α ，都有V中的元素β使得 α+β=0数量乘法满足满足5 1β=β6 k（pβ）=（kp）β数量乘法与加法满足7 （k+l）β=kβ+lβ8 k（α+β）=k α+kβ（在以上的规则中，常数属于数域P，向量属于集合V中的任意元素）8 数域P上的一元多项式环P[x]，构成数域P上的相形空间，如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]n 元素属于数域P的的m×n矩阵，记作P m×n分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的线性空间，这个线性空间记作P n9 线性空间的元素叫做向量，线性空间又称为向量空间定义2 线性组合定义3 向量组的等价定义4 线性相关，线性无关定义5 线性空间的维数：最多有n个线性无关的向量，那么线性空间的，如果能找到任意多个，就称为线性空间是无限维的定义6 n维线性空间V中的一组基ε1ε2⋯εn任意一个向量都可以用它们表示a=a1ε1+a2ε2⋯+anεn其中a1,a2….an 是被a和ε1ε2⋯εn唯一确定的，这组数a1,a2….an 就称为在基ε1ε2⋯εn的坐标，记作（a1,a2,….an）定理1 如果线性空间中有n个线性无关的向量ε1ε2⋯εn，且V中的任意一个向量都可以用它们表示，那么V是n维的，而ε1ε2⋯εn 是V的一组基10 基变换与坐标变换（ε1′,ε2′⋯εn′）=(ε1,ε2,⋯εn)A其中A=[a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann]，A称为由基ε1，ε2⋯εn到ε1′,ε2′⋯εn′的过度矩阵11 同一个向量在不同基下的坐标定义7 线性子空间（满足加法封闭和数乘封闭，即：如果W包含a，那么它就包含a的倍数，如果a，b属于W，那么，a+b也属于W）定理2 线性子空间注：零子空间，平凡子空间，非平凡子空间由a1,a2….ar向量生成的子空间记作L（a1,a2….ar）定理3 1）两个向量组生成的子空间相同的充要条件是两向量组等价2）L（a1,a2….ar）的维数等于a1,a2,,,,,,,ar的秩定理4 任意一个子空间的基一定能扩充为整个空间的基定理5 如果Ｖ１Ｖ２是Ｖ的线性子空间，那么Ｖ１∩Ｖ２也是Ｖ的线性子空间定义V1与V2的和记作V1+V2={a+b|a∈V1，b∈V2}、定理6 如果V1，V2是V的线性子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间性质L(a1,a2,…ar)+L(b1,b2….bs)=L(a1,a2,…ar,b1,b2,…bs)定理7 如果V1，V2是V的线性子空间，那么，维V1+维V2=维（V1+V2）+维（V1∩V2）推论如果n维的线性空间V中的两个子空间V1，V2的维数之和大于n，那么V1，V2一定含有非零的公共向量定义9 如果和中的每个向量a，都有分解式a=a1+a2，a1∈V1，a2∈V2，分解式是唯一的，这个和就称为直和记作V1◎V2定理8 和V1+V2是直和的充要条件是等式a1+a2=0，a1∈V1，a2∈V2，只有在a1，a2全为零时成立简称：零向量的分解式是唯一的推论和V1+V2是直和的充要条件是V1∩V2={0}定理9 和W=V1+V2是直和的充要条件是维W=维V1+维V2 定理10 假设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使得V=U◎W定义10 假设V1，V2，V3。