幂的运算方法总结

•幂的运算方法总结

幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：

①a m×a n=a m+n

②(a m)n=a mn

③(ab)m=a m b m

④a m÷a n=a m-n

只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。

问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。

思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。

方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。

方法原则：可用公式套一套。

但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。

问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。

思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。

因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728

方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。

方法原则：整体不同靠一靠。

然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？

问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。

思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。

简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300

方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。

方法原则：逆用公式倒一倒。

当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？

问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。

思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。

简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x

=6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3

∴x=1.5

方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。

问题5、已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。

思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。

简解：64m+1÷2n÷33m =24m+1×34m+1÷2n÷33m=24m+1-n×3m+1=81=34

∵m、n是正整数∴m+1=4,4m+1－n=0

∴m=3,n=13

方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。

问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。

思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。

简解：由题意知2c=2×2b=4×2a

∴2c=2b+1=2a+2

∴c=b+1=a+2

方法思考：底数是相同的常数时，通常把冪的值同乘以适当的常数变相同，然后比较它们的指数。

方法原则：系数质数和指数，常数底数造一造。

综合用到以上方法就更需要引起注意。

问题7、已知2x=m,2y=n,求22x+3y+1的值。

思路探索：要求的代数式与已知距离甚远，考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。

简解：22x+3y+1=22x×23y×21=(2x)2×(2y)3×2=m2n3×2=2m2n3

方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。

问题8、已知a=244,b=333,c=422，比较a、b、c的大小。

思路探索：同底数幂比较大小观察指数大小即可，底数不能变相同的，只好逆用公式将指数变相同，比较底数大小了。

简解：a=244=24×11=（24）11=1611,

b=333=33×11=（33）11=2711

c=422=42×11=1611

∴a=c＜b

方法思考：化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。

思考归纳：幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，不但会直接套用公式，还要能逆用。其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三，底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式，有常数指数的通常求出其值，作为该项的系数。第四，底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘。

思考原则：

可用公式套一套，整体不同靠一靠，逆用公式倒一倒，常数底数造一造，

系数质数和指数，综合运用瞧一瞧。

自我查验：（用上面的方法原则解答）