渗流力学例题

（2）渗流速度和压力梯度计算结果如下表：
r (m）
渗流速度(cm / s）
0.1 0.3
100 0.00003
10000 0.0000003
压力梯度( MPa / m）
0.87
0.00087
0.0000087
例3-3 在刚性水压驱动下单相均质液体向井作平面径向流，地层模型 如图所示，渗透率分区发生突变，求产量公式和压力分布曲线的表达式。
面径向流时的产量表达式。
k
ke kw
o r w
re
r
例3-4：某井实测得到的系统试井数据如表：
油嘴(mm)
0
3
16.62 24
5
15.90 72
7
15.51 100
10
15.09 140
15
14.62 176
流压(MPa) 16.93 产量(m3 /d) 0
解：作 q ~ P 关系曲线，得一直线：
q re K 2 r1 ( ln ln ) K1 rw r1
1. 刚性水压驱动的均质水平圆形地层中心一口生产井， 油井以定产量 q 生产，已知井半径 rw ，供给边界半径 re ，井
底压力 P ，边界压力 eP ，地层厚度 h ，渗透率 k ，原油粘 wf 度 ，若在 r1 （地层中某点）到 re 之间服从线性渗流规律，
外边界条件
q r rw 2Kh
r re
P r
0 (t 0)
1.写出如图所示，
Pe
PBi
单相液体作单向稳定渗
流的数学模型。
L
d 2 a 2
y
2.写出如图所示，封 闭矩形地层中心一口井定 产量生产的弹性不稳定渗 流的数学模型。
o
d 2
a 2
x
2. 解：对于矩形封闭地层，其数学模型为：
q r 1 Pwf dp 2h rw Kr dr
P
K1
Pe
K2
P 1
r

2h Kr
Pe
产量为：
re 1 q r1 1 Pwf dp 2h [rw K1r dr r1 K 2 r dr ]
2K 2 h( Pe Pwf ) 积分： q r K r ( 2 ln 1 ln e ) K1 rw r1
可取 r1 1.5h
例3-6 如图所示，比较大的地层中有三口井生产，三口井分布区域的 中心到供给边界的距离为re ，井与井之间的距离、各井的产量及地层和流 体参数均已知，求各井井底压力。
解：由势的叠加原理，地 层中任一点 M 的势为：
Pe
供给边界上：
n
qi M ln ri C ① i 1 2h
2 2 P P 1 P 2 P 2 2 x y t
P( x, y,0) Pi
P r r
P x P y
q r rw 2Kh
a x 2
a d (x , y ) 2 2
(t 0)
0 0
d y 2
例3-1 圆形均质等厚地层中为单相液体稳定渗流，中心一 口井井半径 rw 0.1米，供给半径 r 10000米，试计算从供 e 给边缘到距井1000、100、10、1米处的能量（压力）损耗百分 数。 Pe Pwf re ln 解： 由压力分布公式 P Pe 得： re r ln re rw ln Pe P r Pe Pwf ln re 则计算结果如表所示： rw
▲ 常用于解决实际应用中的两方面问题：
﹡已知各井产量，可确定各井井底压力； ﹡已知各井井底压力，可确定各井产量。
1井井底 2井井底
3井井底
求解方程组，即可得到各井井底的势或井底压力。
例3-7 设有一个三面封闭，一面有液源供给的带状油藏，有三排井同 时生产，求产量或求井底压力。 Pe
则该井的采油指数为：
J o (qoa qob ) /( Pwfa Pwfb )
=(100-24)/(16.62-15.51)
=68.468 m3/(d.Mpa)
流动系数：
kh 1.842 10
3 3

re qO ln r p w

1.842 10
2
q
2rw
re
h
P r rw Pw 内边界条件
P r re Pe
外边界条件
来自百度文库
②. 对于封闭弹性不稳定渗流，其数学模型为：
d 2 P 1 dP 1 P 2 dr r dr t
P t 0 Pi
P r r
(rw r re ) 初始条件
(t 0)
内边界条件
解： 方法Ⅰ：由稳定流连续性关系求。
rw r r1 区间内压力分布规律为： re Pe q1 r1 PP ln K1 1 2K1h r Pwf r1 r r1 r re 区间内压力分布规律为： K 2 P 1 re q2 P Pe ln 2K 2 h r 渗透率突变的圆形地层 由稳定流连续性关系： q1 q2 q 可求出产量 q 为：
……①
rw r r1 为球面径向流 ： q C 2r q w C 生产井底 rw处： 2rw q C 某一半径 r1 处： 1 2r1 q 1 1 两式相减得： 1 w ( ) 2 rw r1
由①、 ②式相等可得产量公式为：
……②
2h(e w ) q re 1 1 ln h( ) r1 rw r1
方法Ⅲ：由等值渗流阻力法求。
rw r r1 区间内压力分布规律为：
P Pwf q Ru q r P Pwf ln 2K1h rw
re
K2
Pwf r1
K1
Pe
P 1
r
r1 r re 区间内压力分布规律为：渗透率突变的圆形地层 re q P Pe ln Pe P q Ru 2K 2 h r 产量为： Pe Pwf q ( Ru1 Ru 2 ) r1 re ln ln rw r1 Pe Pwf q ( ) 2K1h 2K 2 h 2K 2 h( Pe Pwf ) 整理得：
B
A h=10 m
PAr PBr
故，流向为由B点向A点。
例1-2 设有一下套管射孔完成井，液体仅能从直径为0.5厘米的100个小 孔流入井中，油层厚度为10米，折算自地下日产量为100立方米，井半径 r =10厘米，地层渗透率K=1平方微米，孔隙度 =0.2,原油粘度 ，原油密度0.80,试问：此时井底附近地层内渗流是否服从达西定律。
e
1
1
w
作球面径向流，已知井底压力 P
wf
，边界压力
Pe
，求产量公式。
解：r1 r re 为
2rw
Pwf
平面径向流 ：
q ln r C 2h
供给边界 re 处：
r1
q e ln re C 2h
球面径向渗流模型
q 某一半径 r1 处： 1 ln r1 C 2h re q ln 两式相减得： 1 e 2h r1
从指示曲线上延伸直线到q=0直线交与16.94MPa的流压， 与实测地层静压16.93MPa甚为接近，则认为该地层压力为 16.94MPa 。
直线的斜率即为采油指数 Jo ：
Pwfa =16.62MPa 在直线上取两点： qoa =24 m3 /d，
qob =100 m3 /d,Pwfb =15.51MPa
n
re
1
r12
2
r31 r23
3
M
qi e ln rei C i 1 2h 为求解方便取 rei 同为 re 则： n qi e ln re C ② i 1 2h
由②式减①式得：
re 的选取
只要供给边界半径大于井群分布 区域直径的2~2.5倍时，取井群所 在区域的中心至供给边缘的距离 re 作为各井到供给边缘的距离 rei ， 可满足精度要求。
100 860 ln 16.94 15.62 0.1
m 2 m 1.28 mP s a
还可以求得：
地层系数： Kh ( Kh / )
K ( Kh) / h 有效渗透率：
例3-5 如图所示，液体从r 到某一半径 r 作平面径向流，从r 到 r
2K 2 h( Pe Pwf ) q re K 2 r1 ( ln ln ) K1 rw r1
方法Ⅱ：由达西定律微分形式积分求。 K dP q v 分离变量积分得： dr 2rh rw r r1 区间内压力分布规律为：
re
Pwf r1
积分：
q r P Pwf ln 2K1h rw 渗透率突变的圆形地层 r1 r re 区间内压力分布规律为： re q Pe q re 1 dp dr 积分： P Pe 2K h ln r 2 P r
r (米）
Pe P Pe Pwf
0.1 1
1 0.8
10 0.6
100 0.4
1000 0.2
10000 0
从1米至0.1米处的压力损耗与从一万米至一千米处的压 力损耗相等，同为20﹪，说明能量损耗主要集中在井底附近。
例3-2 在一水平均质等厚圆形地层中心有一口完善井，地层边缘有充 足的液源供给，地层由单相不可压缩液体饱和且按达西定律渗流。已知：
故，井底附近的渗流不服从达西定律。
例2-1 圆形均质等厚地层中为单相流体，中心一口井定产 量生产，写出下面两种情况下渗流的数学模型： ①.边界定压，地层中为平面径向稳定渗流； ②.边界封闭，地层中为平面径向弹性不稳定渗流。 解： ①对于稳定渗流，产量、 压力均未定值，所以，其数学模型 为：
d P 1 dP 0 2 dr r dr
qi re e M ln ri i 1 2h
n
③
由③式，M 点分别取在三口井的井底则（油井半径都为 rw ）：
re re re 1 e w1 (q1 ln q2 ln q3 ln ) 2h rw r12 r31 re re re 1 e w 2 (q1 ln q2 ln q3 ln ) 2h r12 rw r23 re re re 1 e w3 (q1 ln q2 ln q3 ln ) 2h r31 r23 rw
re 10000, rw 0.1, Pe 10MPa, Pwf 9MPa, K 0.5m2 , 3mPa s, h 10m。试求： （1）井产量；（2）离井轴线0.1、
100、10000米处的渗流速度和压力梯度值。
解： （1）由产量公式得：
2Kh( Pe Pwf ) 2 0.5 10 100 (10 9) 10 q 898.15(cm3 / s) re 10000 3 ln ln 77.6(m3 / d ) 0.1 rw
为常数，试推出地层中压力分布的表达式。
dp rw到 r1 之间服从非线性渗流规律 Av Bv 2 dr
，其中A、B
re
Pwf r1
Pe
r
2. 如图所示，地层渗透率与井距 r 成线性规律变化。在 井底 rw处， k
k w , 在供给边界 re 处，k ke , 且井底压力Pwf ，
边界压力 eP ，试推出地层中流体满足达西线性渗流定律作平
=3毫帕秒
w
解：流入小孔的渗流速度为：
v
q D2 n 4 100 106 / 86400 58.976(cm / s ) 2 0.5 100 4
2rw
q A
h
小孔直径D，孔数n
则由雷诺数公式得井底附近地层内渗流的雷诺数为：
58.976 0.8 1 v K 10.084 0.3 Re 3/ 2 3/ 2 17.5 3 0.2 17.5
§1.2 渗流过程中的力学分析 及驱动类型
例1-1 油藏中两点A、B，高差10米，压力分别为 PA
=9.35Mpa， PB =9.55Mpa，地层原油密度0.85，试判断地层 中流体的流向？ 解：以B点所在平面为基准面， 则：
PBr 9.55MPa
PAr PA gh 9.35 850 9.8 10 10 6 9.433( MPa)