单轴晶体和各向同性介质界面上e光的折射

e光折射后传播方向的计算

刘谈1)†

1）(西安交通大学理学院,西安 710049)

在单轴晶体的光轴与入射面平行的情形下用惠更斯原理计算e光的折射角，并利用matlab进行了数值计算.

关键词: e光，双折射，单轴晶体

PACC: 4225L

1.引言

在单轴晶体中传播的光线会出现双折射现象. o光的传播规律与普通各向同性介质中的一样，它沿各个方向的传播速度都是v o. e光沿各个方向的传播速度不同. 沿光轴方向的方向的是v o，而垂直光轴方向的是v e. 经∆t时间后，e光的波面是围绕光轴方向的旋转椭球面[1].

2.e光传播方向的计算

2.1.惠更斯作图法确定e光传播方向[1]

为了简化讨论,假设晶体的主截面与光线的入射面重合，光线从空气或真空入射.如图1所示:

图1 惠更斯作图法求e光折射线

(1)画出平行的入射光束, 令两边缘光线与界面的交点分别为A、B'.

̅̅̅̅̅=ct,式中c为真空或

(2)由先到界面的A点作另一边缘入射线的垂线AB, 它便是入射线的波面. 设BB′

空气中的光速, t为B到B'的传播时间.

(3)以A为中心, v e t为长半轴长, v o t为短半轴长在介质内作半椭圆, 且椭圆的短轴沿光轴方向. 这就是另一边缘入射线到达B'时，A点发出的次波面.

(4)通过B'点作上述半椭圆的切线, 切点为A'.联接AA'便得到了折射光线的传播方向.

†通讯联系人．E-mail：lewton@

2.2. e 光传播方向的理论计算

由惠更斯作图法只能定性地给出e 光的传播方向,下面基于这种方法精确计算e 光的传播方向.不失一般性地取t=1.将图1中椭圆绕A 点逆时针旋转角度φ,则旋转得到的椭圆方程为

x 2v o 2+y 2

v e

2=1 (1) 任取旋转前椭圆上一点(x,y),作逆时针旋转变换(

cosφ

sinφ

−sinφ

cosφ

)得点(x',y').故有 (x′

y′

)=(

cosφsinφ−sinφcosφ)(x

y

) (2) 把点(x',y')带入方程(1)得

(xcosφ+ysinφ)2o 2+(−xsinφ+ycosφ)2

e

2=1 (3) 即为A 点发出的次波面的方程，再将此椭圆用参数方程表示如下

{xcosφ+ysinφ=v o cosθ−xsinφ+ycosφ=v e sinθ

(4)

其中θ为参数

设θ=θ0时对应的点为A'(x 0,y 0),则

{x 0=v o cosθ0cosφ−v e sinθ0sinφy 0=v o cosθ0sinφ+v e sinθ0cos

(5) 椭圆在A'处切线的方向向量为

r ⃗=(−v o sinθ0cosφ−v e cosθ0sinφ,−v o sinθ0sinφ+ v e cosθ0cosφ)=(r 1,r 2) (6) A'处的切线方程为

y −y 0=

r 2

1

(x −x 0) (7) 该直线过点B',把B'(c

sini ,0)带入(7)式，得

−y 0=

r 21(

c

−x 0) (8) 当给定单轴晶体的主折射率n o ,n e , 光轴方向与介质分界面夹角φ, 光线入射角i 后, 方程（8）中就只有θ0一个未知数了, 将θ0求解后回带到(5)式就可以得到A'的坐标, 由γ=arctan x

0y 0

可确定e 光的方向.

表1 数值计算的e 光折射角

表2 参考文献[2]中相同条件下e 光折射角

i 0 15 30 45 60 75 0

15

30 45 60 75 γ

-5.1181 3.6204

12.238

20.242

26.939

31.487

3. matlab 数值求解

以钠黄光从真空中入射到主折射率为n o =1.6584, n e =1.4864的方解石晶体, 光轴方向与介质分界面的夹角φ=30 为例进行计算, 得到不同入射角i 对应的折射角γ的部分数据如表1所示，与文献[2]中相同条件下的数据(表2所示)吻合较好. 绘制的曲线如图(1)所示. 为了进行直观的比较, 将参考文献[2]中的数据以及o 光的入射角i 与折射角γ的关系曲线也绘制在图(2)中.

从图(2)可以看出,当入射角较小时,e 光与入射线在法线的同侧; 入射光与界面不垂直e 光也会沿法线传播. e 光与0光的夹角始终保持在5°左右. 当入射角趋向90°时,e 光的折射角小于35°. 由光路可逆原理可知, e 光存在全反射现象.

图2 光线的入射角与对应的折射角

[1] 赵凯华 2004 新概念物理教程.光学 (北京:高等教育

出版社) 291~293

[2] 许方官 1996 大学物理 15(5) 21

Calculating of propagation direction after e-refraction

Liu Tan 1)†

(School of Science, Xi'an Jiao Tong University, Xi'an, 710049)

Abstract

In the case of optical axis of uniaxial crystal being parallel with the incident plane, the angle of refraction of e-light is calculated by using Huygens' principle, and using MATLAB numerical calculation. Keywords : e-light, birefringence, uniaxial crystal PACC : 4225L

入射角/°

折射角/°

† Corresponding author . E-mail: scnbczp@