点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点
弦问题中的妙用
Prepared on 22 November 2020
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）
圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两
点，点
),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2
2
00a b x y k MN =
⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,122
22
2222
1221 b y a x b
y a x )2()1(-，得.022
22
122
22
1=---b
y
y a x x
又.22,0
0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=
同理可证，在双曲线122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于
M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则
22
00b
a x y k MN =⋅.
典题妙解
例1 已知双曲线13
:2
2
=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；
（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.
设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3
1
21=⋅--x y x y ，
整理得：.032322=+--y x y x
∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x
（2） P 恰为弦AB 的中点，
∴由2200b
a x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32
=AB k
∴直线l 的方程为)2(3
2
1-=
-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P
（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.
解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=
由⎩⎨⎧=--+=.
22,22
2y x k kx y 得.064)2(2)2(2
222=+-+---k k x k k x k 直线l 与C 有两个公共点，
∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.
0)64)(2(4)2(4,022
2222 k k k k k k 解之得：k ＜2
3
且.2±≠k
∴k 的取值范围是).2
3
,2()2,2()2,( ---∞
（2）双曲线的标准方程为.2,1,12
222
2
==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由22
00a b x y k AB =
⋅得：.1,22=∴=⋅k k 由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，
∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y
（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2
2
00a b x y k AB =
⋅得：.2,21=∴=⋅k k 由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，
∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.
例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知
+=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . 由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点.
设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛2,2y x .
由222
2a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y
x y x y x y
，
整理得：.0422=+-x y x
配方得：
14
4)2(2
2=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是
14
4)2(2
2=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.
例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；
（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C
的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由24y =-得)3
2(322-
=x y ，
∴3=p ，抛物线的顶点是)0,3
2(
，准线是3
21
3223=
+-
=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
==.
321,322c
a c . ∴.1,3122==
b a
∴双曲线
C 的方程为1322=-y x .
（Ⅱ）由⎩⎨
⎧=-+=.
13,
122
2y x x y 得：0242=++x x .
设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .
∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .
（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k
a 1-=，从而41:'+-=x k
y l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由
2
2
00a
b x y k AB =⋅得：
30
=⋅
x y k ，
∴003x ky =.…………………………………………①
由41
00+⋅-=x k
y 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………②
由①、②得：3,00==y k x .
由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .
又由⎩⎨⎧+==-.
1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k
直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点， ∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .
∴符合题意的k 的值存在，2±=k .
金指点睛
1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于
M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15
22
2=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线12
2
2
=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；
（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么
3. 已知双曲线1322
=-y x ，过点)2
3
,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;
（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.
4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆
113
252
2=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线
)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.
参考答案
1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35
-=y . 由2200a b x y k MN =
⋅得22253235
1a b ==--
⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a .
故答案选D.
2. 解：（1）2,12
2
==b a ，焦点在x 上. 由22
00a
b x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .
∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .
（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .
∴直线CD 的方程为03=-+y x .
又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD
=⋅得：21=⋅-x
y
，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.
2,
03x y y x 得6,3=-=y x . ∴点M 的坐标为)6,3(-.
又由⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.
由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .
若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.
由22a
b x y k AB =⋅得：
32
123=⋅++
x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .
∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .
（2）由22
00a
b x y k AB =⋅得：32123
=--
⋅AB k ，∴1=AB k .
∴所求的直线l 方程为)2
1
(123+⋅=+x y ，即1-=x y .
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==-
.1,132
2x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x .
4. 解：（1）在椭圆
113
252
2=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，
∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.
在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为2
3
=
x . ∴在双曲线中，2
32=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19
32
2=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61
:'+⋅-=x k
y l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .
由22
00a b x y k AB =⋅得：
300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………① 由61
00+⋅-=x k
y 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………②
由①、②得：2
9
,2300==y k x
又 300+=kx y ，
∴
32329+⋅=k
k ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-
.3,1932
2kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，
∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.
故k 的值为1±.。